《高中数学 （主干知识+典例精析）8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教B版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 （主干知识+典例精析）8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教B版（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 三年三年8 8考考 高考指数高考指数:1.1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想. .1.1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；2.2.常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性
2、质结常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合合, ,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系；重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系；3.3.题型以选择题和填空题为主，属中低档题目题型以选择题和填空题为主，属中低档题目. .有时与其他知识有时与其他知识点交汇在解答题中出现点交汇在解答题中出现. .1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式判断位置关系判断位置关
3、系. . 相离相离 相切相切 相交相交位置关系位置关系 0 0=0=00 0(2)(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离的距离d d与半径与半径r r比较大小来判断直线与圆的位置关系比较大小来判断直线与圆的位置关系. . d d 与与r r 的关系的关系 位置位置 关系关系 相交相交 相切相切 相离相离drdrdr【即时应用即时应用】(1)(1)“k=1k=1”是是“直线直线x-y+k=0x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的的 条件条件. .(2)(2)已知点已知点M(xM(x0 0,
4、y,y0 0) )是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内异于圆心的一点，则直内异于圆心的一点，则直线线x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2与此圆的位置关系是与此圆的位置关系是 . .【解析解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直线的距离时，圆心到直线的距离此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得解得 所以，所以，“k=1k=1”是是“直线直线x-y+k=0x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的充分不必要条件的充分不必要条件. .(2)(2)因为点因为点M(xM(x0 0,y,y0
5、0) )是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内的一点，所以内的一点，所以x x0 02 2+y+y0 02 2rr2 2，圆心到直线，圆心到直线x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距离的距离所以直线与圆相离所以直线与圆相离. .答案：答案：(1)(1)充分不必要充分不必要 (2)(2)相离相离2.2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O O1 1:(x-a:(x-a1 1) )2 2+(y-b+(y-b1 1) )2 2=r=r1 12 2(r(r1 10),0),圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2 2) )2 2+(y-b+(y-b2 2)
6、 )2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？程有何关系？提示：提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于两圆的方程作差，消去二次项得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程方程，就是公共弦所在的直线方程. .(2)(2)判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与与x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是 . .xx2 2+y+y2 2
7、+2x+4y+1=0+2x+4y+1=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-4y-1=0-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是 . .xx2 2+y+y2 2-4x+2y-4=0-4x+2y-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-2y+4=0-4x-2y+4=0的位置关系是的位置关系是 . .【解析解析】因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|=|=而两圆的半径之和而两圆的半径之和r r1 1+r+r2 2=1+2
8、=3=1+2=3；两圆的半径之差；两圆的半径之差r r2 2-r-r1 1=2-1=1=2-1=1；所以所以r r2 2-r-r1 1|O|O1 1O O2 2|r|r1 1+r+r2 2，即两圆相交；，即两圆相交；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，(x-2)(x-2)2 2+ +(y-2)(y-2)2 2=9=9，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|= |= 而两圆而两圆的半径之和的半径之和r r1 1+r+r2 2=2+3=5=2+3=5；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+
9、r2 2，即两圆外切；，即两圆外切；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9，(x-2)(x-2)2 2+ +(y-1)(y-1)2 2=1=1，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|= |= 而两圆而两圆的半径之差的半径之差r r1 1-r-r2 2=3-1=2=3-1=2；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1-r-r2 2，即两圆内切，即两圆内切. .答案：答案：相交相交 外切外切 内切内切 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】代数法判断直线与圆的位置关系的步骤代数法判断
10、直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)将直线方程与圆的方程联立，消去将直线方程与圆的方程联立，消去x(x(或或y)y)得到关于得到关于y(y(或或x)x)的一的一元二次方程；元二次方程；(2)(2)求上述方程的判别式，并判断其符号；求上述方程的判别式，并判断其符号；(3)(3)得出得出结论结论. .2.2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤几何法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)求出圆心到直线的距离求出圆心到直线的距离d d；(2)(2)判断判断d d与半径的大小关系；与半径的大小关系；(3)(3)得出结论得出结论. .【提醒提醒】如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离如果能判断直线
11、过定点，则可由定点到圆心的距离( (即即点在圆内、圆上、圆外点在圆内、圆上、圆外) )判断直线与圆的位置关系，小于半径相判断直线与圆的位置关系，小于半径相交；等于半径相切或相交；大于半径相交、相切、相离都有可交；等于半径相切或相交；大于半径相交、相切、相离都有可能能. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012济南模拟济南模拟) )圆心在原点且圆周被直线圆心在原点且圆周被直线3x+4y+15=03x+4y+15=0分成分成1212两部分的圆的方程为两部分的圆的方程为 ；(2)(2)若经过点若经过点A(4,0)A(4,0)的直线的直线l与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=
12、1有公共点，则直线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为 . .【解题指南解题指南】(1)(1)设直线与圆交于设直线与圆交于A A、B B两点，圆周被直线分成两点，圆周被直线分成1212两部分即两部分即AOB= AOB= 360360=120=120, ,又因为圆心是坐标原点，又因为圆心是坐标原点，求出原点到直线的距离，根据直角三角形中求出原点到直线的距离，根据直角三角形中3030角所对的直角边角所对的直角边等于斜边的一半求出圆的半径，即可得到圆的方程等于斜边的一半求出圆的半径，即可得到圆的方程. .(2)(2)直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直直线与圆有公共
13、点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可线的距离小于等于半径即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)如图，因为圆周被如图，因为圆周被直线直线3x+4y+15=03x+4y+15=0分成分成1212两部分，两部分，所以所以AOB=120AOB=120，而圆心到直线而圆心到直线3x+4y+15=03x+4y+15=0的的距离距离在在AOBAOB中，可求得中，可求得OA=6,OA=6,所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2=36.=36.答案：答案：x x2 2+y+y2 2=36=36(2)(2)由题可知直线斜率存在，设直线方程为由题可知直线斜率存在
14、，设直线方程为y=k(x-4)y=k(x-4)，即：，即：kx-y-kx-y-4k=04k=0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：等于半径，即：解得：解得：答案：答案： 【反思反思感悟感悟】1.1.求解直线与圆的位置关系问题的方法求解直线与圆的位置关系问题的方法(1)(1)几何法几何法: :利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解；利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解；(2)(2)代数法代数法: :联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来解决；联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来解决；2.
15、2.求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的情况，否则容易求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的情况，否则容易漏解漏解. . 与圆有关的弦长、中点问题与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛方法点睛】直线被圆截得弦长的求法直线被圆截得弦长的求法(1)(1)代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的一的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=|AB|= ( (该方法在解决圆中弦长问题时较少用到该方法在解决圆中弦长问题时较少用到););(2)(2)几何法：设圆的半径为几何法：设圆的半径
16、为r r，弦心距为，弦心距为d d，弦长为，弦长为l，则有：，则有：l【例例2 2】已知点已知点P(0,5)P(0,5)及圆及圆C C：x x2 2+y+y2 2+4x-12y+24=0.+4x-12y+24=0.(1)(1)若直线若直线l过点过点P P且被圆且被圆C C截得的弦长为截得的弦长为 求直线求直线l的方程；的方程；(2)(2)求过点求过点P P的圆的圆C C的弦的中点的轨迹方程的弦的中点的轨迹方程. .【解题指南解题指南】(1)(1)本题求直线方程，因为直线过点本题求直线方程，因为直线过点P(0,5)P(0,5)，所以只，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；差直线的斜率，因此
17、可利用条件求斜率；(2)(2)设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程. .【规范解答规范解答】圆圆C C的标准方程为的标准方程为:(x+2):(x+2)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=16,=16,所以圆心坐标为所以圆心坐标为C(-2C(-2，6)6)，半径，半径r=4.r=4.(1)(1)当斜率不存在时，直线方程为当斜率不存在时，直线方程为x=0x=0，圆心到此直线的距离为，圆心到此直线的距离为2 2，此时弦长为此时弦长为 符合题意；符合题意；当直线当直线l的斜率存在时，设直线方程为的斜率存在时，设直线方程为y=kx+5
18、y=kx+5，即即kx-y+5=0kx-y+5=0，又因为圆的半径，又因为圆的半径r=4r=4，弦长为，弦长为 圆心到直线圆心到直线l的距的距离为离为解得，解得， 因此直线方程为因此直线方程为 x-y+5=0x-y+5=0，即即3x-4y+20=0,3x-4y+20=0,综上可知：所求直线方程为综上可知：所求直线方程为x=0x=0或或3x-4y+20=0.3x-4y+20=0.(2)(2)设弦的中点为设弦的中点为M(x,y)M(x,y)，由圆的性质得：，由圆的性质得：(x+2,y-6)(x+2,y-6)(x-0,y-5)=0,(x-0,y-5)=0,化简得：化简得：x x2 2+y+y2 2+
19、2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.因此，所求轨迹方程为：因此，所求轨迹方程为：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.【反思反思感悟感悟】1.1.本题第一问是已知直线过一点求直线方程，因本题第一问是已知直线过一点求直线方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；2.2.解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等量关系，解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等量关系，本题
20、利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解. . 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.两圆公切线的条数两圆公切线的条数位置关系位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切外离外离公切线条数公切线条数0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2.2.判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解值之间的关系求解. .【提醒提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能
21、判断内切与外切、外离与内含外切、外离与内含. .【例例3 3】已知两圆已知两圆x x2 2+y+y2 2-2x-6y-1=0-2x-6y-1=0和和x x2 2+y+y2 2-10x-12y+m=0.-10x-12y+m=0.(1)m(1)m取何值时两圆外切；取何值时两圆外切；(2)m(2)m取何值时两圆内切，并求此时公切线的方程取何值时两圆内切，并求此时公切线的方程. .(3)(3)求求m=45m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. .【解题指南解题指南】先把两圆化为标准方程先把两圆化为标准方程(1)(1)利用两圆圆心距等于两利用两圆圆心距
22、等于两圆半径之和求圆半径之和求m m；(2)(2)利用两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值利用两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值求求m m，利用圆心与切点连线垂直于切线，圆心到切线的距离等于，利用圆心与切点连线垂直于切线，圆心到切线的距离等于半径求切线方程；半径求切线方程；(3)(3)两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程，弦长可用几何法求解差所得直线方程，弦长可用几何法求解. .【规范解答规范解答】两圆的标准方程为：两圆的标准方程为：(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=11=11，(x-5)(x-5)2 2+(y-6)+(y
23、-6)2 2=61-m=61-m，圆心分别为，圆心分别为M(1,3)M(1,3)、N(5,6)N(5,6)，半径分别为，半径分别为 、(1)(1)当两圆外切时，当两圆外切时，解得：解得：m=25+10m=25+10(2)(2)当两圆内切时，因定圆的半径当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆的圆心距小于两圆的圆心距5 5，因此，有因此，有 解得：解得：m=25-10m=25-10因为因为 所以两圆公切线的斜率一定为所以两圆公切线的斜率一定为 设切线方程设切线方程为为y= x+by= x+b，则有，则有 解得：解得：容易验证当容易验证当 时，直线与后一圆相交，故所求公切线时，直线与后一圆相交，故所求
24、公切线方程为方程为 即即4x+3y+ -13=0.4x+3y+ -13=0.(3)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为：两圆的公共弦所在直线的方程为：(x(x2 2+y+y2 2-2x-6y-1)-(x-2x-6y-1)-(x2 2+y+y2 2-10x-12y+45)=0,-10x-12y+45)=0,即即4x+3y-23=0,4x+3y-23=0,所以公共弦长为：所以公共弦长为：【反思反思感悟感悟】1.1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解；足的圆心距与半径的几何关系求解；2.2.当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆
25、的一般方程当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆的一般方程( (注意二注意二次项系数需一致次项系数需一致) )相减得到相减得到. .【创新探究创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题直线与圆的位置关系的创新命题【典例典例】(2011(2011江苏高考江苏高考) )集合集合A=(x,y)| (x-2)A=(x,y)| (x-2)2 2+y+y2 2mm2 2, ,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,若若AB ,AB ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 . .【解题指南解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的
26、关键是本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数得实数m m的取值范围的取值范围【规范解答规范解答】AB ,A ,mAB ,A ,m2 2m m 或或m0.m0.显然显然BB. .要使要使ABAB, ,只需圆只需圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=m=m2 2(m0)(m0)与与x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交点，即有交点，即又又m m 或或m0, m2+m0, m2+当当m=0m=0时，时，(2(2，0)0)不在不在0x+y10x+y
27、1内内. .综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的m m的取值范围为的取值范围为 . .答案：答案： 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题的创新点有以下两点：本题的创新点有以下两点：(1)(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且两几何图形常考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且两几何图形常见但不落俗套；见但不落俗套；(2)(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，而是借助
28、于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用类讨论思想的应用. .备备考考建建议议解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：(1)(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；置关系；(2)(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论以便确定是否分类讨论. .1 1(2012(2
29、012湛江模拟湛江模拟) )过坐标原点且与圆过坐标原点且与圆x x2 2-4x+y-4x+y2 2+2=0+2=0相切的直相切的直线方程为线方程为( )( )(A)x+y=0 (B)x+y=0(A)x+y=0 (B)x+y=0或或x-y=0x-y=0(C)x-y=0 (D)x+ =0(C)x-y=0 (D)x+ =0或或x- =0x- =0【解析解析】选选B.B.当斜率当斜率k k不存在时不存在时, ,过原点的直线方程为过原点的直线方程为x=0x=0，因为，因为圆心圆心(2,0)(2,0)到此直线的距离到此直线的距离 ( (圆的半径圆的半径) )，此时不合题意；，此时不合题意；当斜率当斜率k
30、k存在时存在时, ,过原点的直线方程为过原点的直线方程为kx-y=0kx-y=0，要使该直线与圆，要使该直线与圆相切，则有相切，则有 解得解得k=k=1 1，所以，切线方程为所以，切线方程为x+y=0x+y=0或或x-y=0.x-y=0.2.(20112.(2011江西高考江西高考) )若曲线若曲线C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与曲线与曲线C C2 2:y(y-mx-m)=0:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则实数有四个不同的交点，则实数m m的取值范围是的取值范围是( )( )(A)( )(A)( )(B)(B)(C)(C) (D)(D)【解析解析】选选
31、B.B.如图如图,C,C1 1:(x-1):(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.C C2 2:y=0:y=0或或y=mx+m=m(x+1).y=mx+m=m(x+1).当当m=0m=0时，时，C C2 2:y=0,:y=0,此时此时C C1 1与与C C2 2显然只有两个交点显然只有两个交点, ,当当m0m0时，要满足题意，需圆时，要满足题意，需圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1与直线与直线y=m(x+1)y=m(x+1)有两交点，当圆与直线相切时，有两交点，当圆与直线相切时， 即直线处于两切线之间时满足题意，则即直线处于两切线之间时满足题意，则 或或3.(20123.(
32、2012威海模拟威海模拟) )过点过点G(0G(0，1)1)的直线与圆的直线与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相交于相交于A A，B B两点，则两点，则|AB|AB|的最小值为的最小值为( )( )(A)2 (B) (C)3 (D)(A)2 (B) (C)3 (D)【解析解析】选选B.B.由弦长一半及圆的半径和圆心由弦长一半及圆的半径和圆心O O与弦中点连线所组与弦中点连线所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点易知当圆心与定点G(0G(0，1)1)的连线与直线的连线与直线ABAB垂直时，圆心到直线垂直时，圆心到直线ABAB的距离的距离d d取得最大值，即取得最大值，即d=|OG|=1,d=|OG|=1,此时弦长最短，即此时弦长最短，即|AB|AB|minmin= = 故选故选B.B.
