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1、南京工程学院概率论与南京工程学院概率论与数理统计第一章课件数理统计第一章课件- -盛骤盛骤“ 得得 分分 问问 题题 ” 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝上上，甲得，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反之，乙得1分，分，甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部赌注赌注. 当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去，问如何公平分配赌注？不能进行下去，问
2、如何公平分配赌注？现代概率论起源：现代概率论起源：十七世纪十七世纪 Pascal 与与Fermat 赌博问题赌博问题本学科的本学科的 ABC概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配
3、赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门研究客观世界随机现象数量概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪世纪微积分学微积分学说建立以后说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利伯努利；而概率论的飞速；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真
4、正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率数理统计学是一门研究怎样去有效地收集数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.（大数据大数据 淘宝淘宝 出租车出租车 相亲节目、网站相亲节目、网站 春运春运“前夕地图前夕地图”中国人的学习优势中国人的学习优势） 课程特点：课程特点： 1、预备知识多预备知识多：集合：集合, 排列组合排列组合,
5、微积分微积分, 级数等；级数等； 2、公式多公式多，解题中应注重方法；，解题中应注重方法；前后连贯性较强前后连贯性较强. 注重基本概念和基本理论，特别注重彼此间的注重基本概念和基本理论，特别注重彼此间的内在内在联系和融会贯通联系和融会贯通，使学习更具启发性和主动性，从而克，使学习更具启发性和主动性，从而克服埋头盲目做题的弊端。服埋头盲目做题的弊端。 强调对强调对概念的深刻理解和相互之间联系概念的深刻理解和相互之间联系，使得概念，使得概念和结论更容易理解和记忆和结论更容易理解和记忆要记得其实更少了，高效要记得其实更少了，高效率学习的关键。率学习的关键。 3、重视、重视模型化模型化能力和能力和软件
6、软件应用能力应用能力 强调基本概念和规律性为此增加重要分布律产生的强调基本概念和规律性为此增加重要分布律产生的背景，从而提高模型化能力和准确判断使用的能力。背景，从而提高模型化能力和准确判断使用的能力。 EXCEL MATLAB 学习要求：学习要求： 1、读书：教材中的定理、公式和例题；、读书：教材中的定理、公式和例题； 2、及时完成作业；、及时完成作业； 3、课前预习、课前预习认真听课、课后复习认真听课、课后复习.学好本课程的必要性学好本课程的必要性 1. 考试考试 ；2. 后继学习的基础后继学习的基础.近期：近期：1. 考研的基础；考研的基础；2. 进一步提高的阶梯；进一步提高的阶梯；3.
7、 思维方式的培养思维方式的培养.远期：远期：关于补考、重修的问题关于补考、重修的问题数学：高数，概率，线代数学：高数，概率，线代. 考研考研 教学参考书：1.概率论与数理统计 葛余博 清华大学出版社 清华大学公共基础平台课教材2.概率论与数理统计 徐全智 高等教育出版社 电子科技大学应用数学学院 国家工科数学课程教学基地系列教材3.概率论基础教程 Sheldon Ross 南加州大学 机械工业出版社4. 概率论与数理统计中的典型例题分析与习题 龙永红高等教育出版社 例例1 盒中有盒中有2白白3黑黑5 个球个球, 现随机取出现随机取出 3 个球个球 : 3 球中至少包含一个黑球球中至少包含一个黑
8、球. 3 球中包含黑球的个数球中包含黑球的个数.第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 不确定性现象不确定性现象 (随机现象随机现象).确定性现象确定性现象 (必然现象必然现象), 1 随机试验随机试验 若一个试验满足：若一个试验满足： (1) 相同条件下可重复进行；相同条件下可重复进行； (2) 每次试验出现的可能结果不止一个，所有结果已知；每次试验出现的可能结果不止一个，所有结果已知； (3) 每次试验前不能确定会出现哪个结果每次试验前不能确定会出现哪个结果. .则称此试验为则称此试验为随机试验随机试验. . 简称简称试验试验，一般用，一般用E表示表示. . E1：掷一均匀硬币三次
9、，观察正：掷一均匀硬币三次，观察正(H)、反、反(T)面出现的情况面出现的情况. E2 ：掷一枚骰子两次，观察它们点数的情况：掷一枚骰子两次，观察它们点数的情况.例例2 随机试验例子随机试验例子 样本空间的元素，即样本空间的元素，即 E 的每个结果称为的每个结果称为 E 的的样本点样本点. 试验试验 E 的所有可能结果的集合称为的所有可能结果的集合称为 E 的的样本空间样本空间，记为，记为 S.一、一、样本空间样本空间2 2 样本空间样本空间 随机事件随机事件 E1 ：掷一个均匀硬币三次，观察正：掷一个均匀硬币三次，观察正( H )、反、反( T )面出现的情况面出现的情况. S1 = S2
10、=例例1 E2 ：掷一个均匀硬币三次，观察正、反面出现的次数：掷一个均匀硬币三次，观察正、反面出现的次数. HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT (0, 0), (0,1), (0,2), (0, 3),|, (3,0), ( 3,1), (3, 2), (3, 3) 写出各下列试验写出各下列试验Ei 的样本空间的样本空间Si .E3 ：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命.S3 = t | | t 0 .E4 ：某飞船返回舱返回地面时开伞的空间位置：某飞船返回舱返回地面时开伞的空间位置. S4 = ( x, ,y, z ) |
11、x 经度经度，y 纬度纬度，z 高度高度 .二、二、 随机事件随机事件 定义定义 样本空间样本空间 S 的子集称为的子集称为随机事件随机事件 (简称事件简称事件). 记记为为 A、B、C . 注注1 特殊情况：特殊情况：S 称为称为必然事件必然事件；空集；空集 称为称为不可能事件不可能事件. 注注2 含有含有n个样本点的个样本点的样本空间样本空间 S 共有共有2 n个事件个事件.由一个样本点组成的集合称为由一个样本点组成的集合称为基本事件基本事件. 例例2 掷一枚硬币三次，观察正反面出现的情况掷一枚硬币三次，观察正反面出现的情况. . 随机事件随机事件 A1 = H比比T多一次多一次 = HH
12、T, HTH , THH . A4 = H和和T一样多一样多 = . A2 = 第二次是第二次是T = A3 = 仅第二次是仅第二次是T =HTH . HTH，HTT，TTH，TTT .基本事件基本事件不可能事件不可能事件 A5 = H和和T不一样多不一样多 =S .必然事件必然事件注注 事件事件A 发生发生 A中某个样本点在试验中出现中某个样本点在试验中出现. .三三、事件的关系与运算事件的关系与运算1. . 事件的事件的包含包含关系关系 （集合的包含）（集合的包含） 若若A 发生必导致发生必导致 B 发生发生, 则称则称A包含于包含于 B , 记为记为A B . 注注 A S . 例如，设
13、例如，设 A =三次都是三次都是H= HHH , B = 第一次是第一次是H= HHH, HHT, HTH, HTT, ，则，则 A B .2. 事件的事件的相等相等关系关系 （集合的相等）（集合的相等）若若 A B且且 B A，则称则称A 与与B相等，记为相等，记为 A=B.相当于相当于 3. . 事件的事件的和和 （集合的并）（集合的并）注注 AA = A， A = A， AS = S.例如，例如， A= HHH, B =TTT, AB = HHH, TTT . AB=x| x A或或x B称为称为A与与B的和事件的和事件. AB 发生发生 A和和B至少至少有一个发生有一个发生. 4. .
14、 事件的事件的积积 （集合的交）（集合的交） AB=x| x A且且x B称为称为A和和B的积事件的积事件. AB 可记为可记为AB. AB 发生发生 A和和B同时同时发生发生. 注注 AA = A， A = ，AS = A 例如例如, A=第一次是第一次是H= HHH, HHT, HTH, HTT, B =第二次是第二次是H = HHH, HHT, THH, THT . 则则 AB = HHH, HHT.5. . 事件的事件的差差 （集合的差）（集合的差） AB=x|x A且且x B称为称为A与与B的差事件的差事件. AB发生发生 A发生发生. 注注1 常用常用 A B = A AB. 注注
15、2 A = A， A S = ， A A = . 例如，例如， A = 前两次都是前两次都是H = HHH, HHT ，B= 第三次是第三次是T = HHT, HTT, THT, TTT ，则，则 A B = HHH.6. . 事件的事件的互不相容互不相容关系关系 （集合的（集合的不相交不相交） 若若AB = , ,即则称即则称A与与B互不相容互不相容(互斥互斥). 即即A与与B不能同时发生不能同时发生.注注1 不可能事件不可能事件 与任意一个随机事件与任意一个随机事件 A 互斥互斥.例如，事件例如，事件A = HHH, HHT与与 B= TTH, TTT 是互斥的是互斥的.注注2 基本事件为
16、两两互斥的基本事件为两两互斥的。 7. . 逆逆事件事件 （集合的（集合的补补） 称称 S A为为A的逆事件的逆事件 (对立对立事件事件)，记为，记为 . 发生发生 A不发生不发生. 例如例如, A=HHH, TTT, 则则A=HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH. 注注3 常用公式：常用公式：注注2 A 与与 A 互为逆事件互为逆事件.注注1 AA=S，AA= .完备事件组完备事件组事件事件A, B, C 的运算满足的运算满足:(1) 交换律交换律 AB = BA ， AB = BA ；(2) 结合律结合律 (AB)C = A( BC )， (AB)C = A(BC)；(
17、3) 分配律分配律 A(BC)=(AB)(AC)，A(BC ) = (AB)(AC )；(4) De Morgan(德莫根德莫根) 律律注注 事件的关系与运算可推广到有限、无穷多个事件事件的关系与运算可推广到有限、无穷多个事件.四四、随机事件的运算规则随机事件的运算规则 例例3 设设 Ai 为为: 第第i 个电器工作正常个电器工作正常( i =1, 2, , n). B为为: 整个电路整个电路LR工作正常工作正常. 在下列两种情况中，用在下列两种情况中，用Ai 表示事件表示事件B.B = B =LRA1A2AnLRA1A2 An 例例4 掷硬币三次掷硬币三次, , 设设 A1=HHH, HHT
18、, HTH, HTT, A2=HHH，TTT, 求求 A1 A2，A2 A1， .解解 S = HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT . 因因 A1A2 =A1 A2 = A1 A1A2 =A2 A1 = A2 A1 A2 = THH，THT，TTH . THH, THT, TTH, TTT, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH , HHH，HHT，HTH，HTT ，TTT，= = = 例例5 把把 AB 分解成分解成互不相容互不相容的事件的和的事件的和.解解 AB = A(B A) = A(B AB) ； AB = (A B) A
19、B (B A) = (A AB)AB(B AB) . BA SAB 例例6 A、B、C 是三个事件，利用事件的关系与运算是三个事件，利用事件的关系与运算表示下列事件表示下列事件.(1) A 发生而发生而 B 与与 C 都不发生：都不发生：(2) A、B都发生而都发生而 C 不发生：不发生：(3) A、B、C 都发生：都发生：或或 A B C 或或 A (BC).或或 AB C 或或 AB ABC .ABC S BA C(7) 三者三者至少有一个发生至少有一个发生：(5) 三者三者恰好只有一个发生恰好只有一个发生：(6) 三者三者恰好只有两个发生恰好只有两个发生：(4) A、B、C 都不发生：都
20、不发生：ABC 或或S BA C3 频率与概率频率与概率一、频率一、频率 1. 频率的定义频率的定义 n 次重复试验中次重复试验中, A 发生的次数为发生的次数为 nA ，则定义，则定义 A 发发生的生的频率频率为为 fn (A) = . nA n 2. 频率的性质频率的性质 (1) ( 非负有界非负有界 ) 0 fn (A) 1 ; (2) ( 规范性规范性 ) fn (S) = 1 ; ; (3) ( 有限可加有限可加 ) 若若 A1, A2, , Am 两两互不相容两两互不相容, 则则 fn ( A1A2Am ) = fn (A1)fn (A2)fn (Am) . (1) 随机波动性随机
21、波动性 (2) 稳定性稳定性频率频率的特点：的特点： 例例2. “英语字母使用频数英语字母使用频数”试验试验 (黛维黛维, 1970，438023个字母个字母)例例1. “抛硬币抛硬币”试验试验 实验者实验者 实验次数实验次数 n 出现出现H次数次数 nH 频率频率 fn(H) 德德摩根摩根 2048 1061 0.5181 蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069K皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005 维维 尼尼 30000 14994 0.4998 E T A O I N Z0.1268 0.0978 0.0788 0.0776 0.0707 0.0706 0.0006
22、可以证明，当可以证明，当n时，频率时，频率 f n (A) 的极限在一定的极限在一定意义下等于概率意义下等于概率 P (A).二、概率二、概率 定义定义 对样本空间对样本空间S 的的每个事件每个事件 A 定义一个实数定义一个实数 P (A) ，若满足：，若满足： (1) ( 非负性非负性) P (A) 0 ； (2) ( 规范性规范性) P (S) = 1 ； (3) ( 可列可加性可列可加性 ) 若若A1，A2， ，为任意两两，为任意两两不相容的事件不相容的事件 ，则有：，则有： P ( A1A2 ) = P (A1)P (A2)则称则称 P (A) 为为事件事件 A 的概率的概率.1. 概
23、率的定义概率的定义(1) 不可能事件的概率为零：不可能事件的概率为零：P ( ) = 0；2. . 概率的四个基本性质概率的四个基本性质 (2) 有限可加性：若有限可加性：若Ai Aj= , 1i0, P (A)0, 则成立：则成立：P (A) = .全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式 P (Bm| A) = . 完备事件组 全概 贝叶斯 例题例例5 总厂仓库中的元件由三个分厂提供，数据见下表总厂仓库中的元件由三个分厂提供，数据见下表: (1) 随机从仓库取一件随机从仓库取一件, 求求取到次品的概率；取到次品的概率； (2) 如果取到一件次品，最如果取到一件次品，最有可能来自哪个分厂？最
24、不有可能来自哪个分厂？最不可能的又是哪个分厂的？可能的又是哪个分厂的？ 解解 以以 Bi 表示取到的元件来自第表示取到的元件来自第i 分厂分厂 (i=1,2,3 ), A 表示取到的表示取到的元件是次品元件是次品. 则则 P(B1) = 0.15, , P(B2) = 0.8, , P(B3) = 0.05 , , P(A|B1)=0.02, , P(A|B2)=0.01, , P(A|B3)=0.03 . .分厂分厂 所占份额所占份额 出厂次品率出厂次品率 1厂厂 0.15 0.02 2厂厂 0.80 0.01 3厂厂 0.05 0.03(2) 由由Bayes公式，公式， 同理，同理，P (
25、B2 | A ) = 0.64 ，P (B3| A ) = 0.12 .这个次品最有可能是这个次品最有可能是2分厂的，最不可能是分厂的，最不可能是3分厂的分厂的. (1) 由全概公式，由全概公式， P(A)= P(B1|A)= 0.150.02 + 0.80.01 + 0.050.03 = 0.0125 ；= 0.24 ， 例5 0.0125 0.24 0.64 0.12 先验概率 后验概率“先验概率先验概率” 与与 “后验概率后验概率”先验概率：过去先验概率：过去经验或知识经验或知识.后验概率：有新的后验概率：有新的信息以后对过去认信息以后对过去认识的修正识的修正.厂家厂家 次品率次品率 所
26、占份额所占份额 条件概率条件概率甲厂甲厂 0.02 0.15 0.24 乙厂乙厂 0.01 0.80 0.64 丙厂丙厂 0.03 0.05 0.12作业作业 P26 14 ; 17 ；19 ； 21; 24 事件独立性第六节第六节 事件的独立事件的独立一一、两个事件的独立两个事件的独立P(B|A) 与无条件概率与无条件概率 P(B)一般并不相同一般并不相同. P(B|A)P(B) 理解成理解成 A 的发生的发生“阻碍阻碍”了了B的发生；的发生； P(B|A)P(B) 理解成理解成 A 的发生的发生“促进促进”了了B的发生的发生； P(B|A)= P(B) 说明说明 A 的发生对的发生对B 发
27、生的概率没有任何影响发生的概率没有任何影响, 即即A 与与B 相互独立相互独立. 定义定义1. A、B是两个事件是两个事件, 若若P(AB) = P(A)P(B), 则称则称 A 与与 B 相互独立相互独立. 例例1 掷硬币三次掷硬币三次, 判断判断A=第一次出现第一次出现 H 与与B=仅前两次结果相仅前两次结果相同同 是否独立是否独立. 解解 P(A) = P(B) = P(AB) =因因 P(AB) = P(A) P(B) ，故知，故知A与与 B 相互独立相互独立.4/8=1/2，2/8=1/4，1/8 . P(B|A)= P(B)比较 定义 例题注1 独立与互不相容关系 注注2 A与与B
28、，A与与 ， 与与B， 与与 的相互独立是等价的的相互独立是等价的. 注注3 S、 与任意事件与任意事件A 是相互独立的是相互独立的. 注注4 若若 P(A)0，则，则A、B 独立独立 P(B|A) = P(B). 注注1 若若 P(A)0，P(B)0，则，则A、B 独立独立与与A、B 互不相容互不相容不能不能同时成立同时成立.二二、若干个随机事件的相互独立性若干个随机事件的相互独立性 定义定义2 若事件若事件A、B、C 满足：满足： P (AB ) = P (A ) P (B ) P (AC ) = P (A ) P (C ) P (BC ) = P (B ) P (C ) P (ABC )
29、 = P (A ) P (B ) P (C )则称这三个随机事件相互独立则称这三个随机事件相互独立.1. 三个随机事件的相互独立性三个随机事件的相互独立性两两独立两两独立2. 任意多个随机事件的相互独立性任意多个随机事件的相互独立性 (略略)注2四组独立等价 注3S与A独立注4 独立的条件概率定义三个事件独立 多个(略) 独立事件的加法公式3. 独立事件的加法公式独立事件的加法公式 若若A1 , ,A2 , , ,An 相互独立相互独立，则，则PA1A2 An = 1 1 P (A1 )1 P (A2 )1 P (An ) . 注意区别：若注意区别：若 n 个随机事件个随机事件互不相容互不相容
30、时，则有时，则有PA1A2 An =P(A1)+P(A2)+P(An) . 例例2 如右图，设每个开关闭合的概率是如右图，设每个开关闭合的概率是 p ，并且各个开关间，并且各个开关间互不影响互不影响 . 求点求点 L、R 接通的概率接通的概率. 解解 若用若用A、B、C、D表示开关表示开关a、b、c、d 接通，则点接通，则点L、R 接通等接通等价于事件价于事件 (AC)(BD) 发生发生. 可认为可认为A、B、C、D 是相互独立的是相互独立的. 所以，所以， P (LR 接通接通) = P(AC)(BD) = P(AC )+ P(BD) P(ACBD) = p2+p2 p4 =2 p2(1 p
31、2).LRab c d 注注 实际问题中实际问题中,可根据实际意义来判断事件的独立性可根据实际意义来判断事件的独立性.加法公式 互不相容的加法公式实际问题独立性判别 例题例2 例3产品检验例例3 验收验收 100 件产品的方法是：取件产品的方法是：取3 件产品进行件产品进行独立独立测测试，若至少有一件次品就拒绝接收试，若至少有一件次品就拒绝接收 . 假设一个次品被测出的假设一个次品被测出的概率为概率为 0.95 ，一个合格品被误认为次品的概率是，一个合格品被误认为次品的概率是 0.01 . 若这若这 100 件产品中恰好有件产品中恰好有4 件次品件次品, 求这求这100 件产品被接受的概率件产
32、品被接受的概率. 解解 设设A=产品被接受产品被接受=抽取出的抽取出的 3 件产品都件产品都被认为是合格的被认为是合格的. 用用 B0 B3 分别表示抽到的分别表示抽到的 3 件产品件产品恰恰有有0 3个次品数个次品数 . 其中其中P (Bk ) 服从超几何分布服从超几何分布: C4k C96 3 k C1003P (Bk ) = ，由独立性，由独立性，P(A|B0)=0.0500.993, , 由全概公式由全概公式 P (A ) =k=03 P (Bk ) P (A | Bk ) . P(A|B1)= 0.05 0.992 , , P(A|B2)=0.0520.99, P(A|B3)=0.0530.990 . . 因此这批产品被接受的概率是因此这批产品被接受的概率是 P(A)=k=03 P(Bk)P(A|Bk) = k=03 0.05k0.99 3 k 0.8629 . C4k C96 3 k C1003作业作业 P 27 28 ； 34 ； 36 .例3产品检验 全概 0.8629 第一章结束
