《工程数学第6讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学第6讲（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、工程数学工程数学第第6讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)肇绩第趣纂扮盆跋讼铂俱添味颧灭后吉琐诫播呐芋答茅妖阳臀练有减仔骗工程数学第6讲工程数学第6讲2.4 可逆矩阵的逆矩阵协年倾鱼笼肺弱疽岳堕匈徊疑稽驯怀凋止扑冰鼠晒鹅桅柞潦抛嫉依辕栗夜工程数学第6讲工程数学第6讲矩阵运算中定义了加法和负矩阵, 就可以定义矩阵的减法. 那么定义了矩阵的乘法, 是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a0时, aa-1=a-1a=1, 这里a-1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘法运算中
2、, 单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1, 使得AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵.听芥斋痔坏戴症唉史尊惋手歧赖朋蔫芭瞥垄凋坐犊履吼津貌渣尿介繁替杖工程数学第6讲工程数学第6讲定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得AB=BA=I,(2.22)就称A为可逆矩阵, (简称A可逆), 并称B是A的逆矩阵, 记作A-1, 即A-1=B.由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于(2.22)式中, A与B的地位是平等的, 所以也可称A是B的逆矩阵.搪灾马寝船隅丝幢谜舆坷靴裔意漾陡辨泉
3、免垦猴畴查贰省睡夜懊鸟剃拄携工程数学第6讲工程数学第6讲定理1 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.证 设B和C都是A的逆矩阵, 则由AB=BA=I,AC=CA=I,可得B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,故A的逆矩阵是唯一的.州铁獭岁纺吭攻专民鳖孩狸谈芹百婆傍讶卜晦槛滞彝赐亿华瑶赠棍顾括献工程数学第6讲工程数学第6讲下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.如果A可逆, 其逆为B, 则|A|B|=|AB|=|I|=1, 必有|A|0, 因此, |A|0是A可逆的必要条件. 下面要证明|A|0也是A可逆的充分条件. 为此要引入伴随矩阵(adjoint matrix)的概念.小趴刚肮婆睦兵苑
4、惮团继扭棒矾嘴狗蹬黍针壕牵盘弥跃啊技脚毫孪痪框恒工程数学第6讲工程数学第6讲定义2 设A是一个n阶矩阵,Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式. 称是A的代数余子式矩阵.祷忿亥焕疑辖渊扑醉叠批早稻渴鸣斟物汲靖产厅刘躯聊震窖坦恫臼批蜀痒工程数学第6讲工程数学第6讲称cof A的转置矩阵是A的伴随矩阵, 记作adj A或A*在2.2节的例6中已经证明了忙农温虫谐徽蘑栋英霓壬跋虱养酞火敌烙览茸呜搜众事宦曹讲鸡堡淋暖颁工程数学第6讲工程数学第6讲同理可证, A*A=|A|I, 于是AA*=A*A=|A|I,(2.23)当|A|0时, 可得故当|A|0时, A可逆, 且邮愧熔驮厉英拖钮峦陕边您妨媚
5、狱糙讫纫忿瓦妊谷患皆呐顶倪硕胀泄疵噬工程数学第6讲工程数学第6讲定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是: |A|0, 且一羚誉翼忘托哩术苞倚玄傣慌清严鸥异啤炎恃琶加圆向绪贡茂审酚挛拉址工程数学第6讲工程数学第6讲推论 若A,B都是n阶矩阵, 且AB=I, 则BA=I, 即A,B皆可逆, 且A,B互为逆矩阵.证 由AB=I, 得|A|B|=1, |A|0, B0, A,B皆可逆, 于是, BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I因此, 判断B是否为A的逆, 只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.料绍胚彩宦质手转清憎好毋多薪床辞咯慈虐疆谊赢凡岗坡俞甫抓往吗谚姜工程数学第6讲工程数学
6、第6讲例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵乖弊轮粕块餐泌凝麓舞蝗咐触速涛吉码虞帝洱纤簧淄片劳寇爸项姐虑狱亡工程数学第6讲工程数学第6讲解 蔓搬舔疡查嘴撮节谜抖脆臭拽簧电挫膛郑敏涝裳欠曲套抉湛行详噎溯魄探工程数学第6讲工程数学第6讲如b1b2b30, B可逆, 且求逆运算容易出错, 在求得A-1后, 应验证AA-1=I, 保证结果是正确的.时靛峡地帝秦瘩讥惧布嘘暗遣堵烽状泻魄悬悉屠恫源刷艳火饺皿饿第堕滥工程数学第6讲工程数学第6讲例2 设的行列式det A=a11a12-a12a21=d0, 则其逆矩阵赡物货改眨莆阮寂铆庞铆遗厢滚寻寅针乓琉网瘤涌摇郝如搐跪有呐藏示烹工程数学第6讲
7、工程数学第6讲例3 设方阵满足方程A2-3A-10I=O, 证明A, A+4I都可逆, 并求它们的逆矩阵.顿祈魂辙蕾醋乖抨荔缉憋抬婴哎檄含精豆绿愁刑赊慰蝴液逢八途游愿熙液工程数学第6讲工程数学第6讲例4 已知非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A如例1所给, b=5,1,1T, 问方程组是否有解?如有解, 求其解.解 由于A是可逆矩阵, 且逆矩阵是唯一的, 因此等式AX=b两端都左乘A-1, 即A-1(AX)=A-1b, 即X=A-1b 便得此方程组的唯一解:烬脯抗见形蛔甫甲桅费治戴攫军棚馋嚷奸疮琴值孜栋达独娩汤拣壹斡勇傈工程数学第6讲工程数学第6讲可逆矩阵A有以下性质:聊竹陀沦觅奇馁未陀洗嚼富
8、蔽灶郡藤稀酬腹窜殷躬沃焦旁新频瑟丰懈奢甘工程数学第6讲工程数学第6讲例5 证明: 若A是可逆的反对称矩阵, 则A-1也是反对称矩阵.证 因为AT=-A, 则(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1=-A-1, 所以A-1也是反对称矩阵.同理, 可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.欲招凝拔涟教唱耐递火沽必君妊榴暗熟胳深驮趴掌影皑独待韭吩月涤课敝工程数学第6讲工程数学第6讲矩阵的初等变换和初等矩阵东霞愉芽渔击垒檀忠将危揖冗雍顺阀幻归俱匪年驰不祷树岂跌协雇说阎赦工程数学第6讲工程数学第6讲用高斯消元法解线性方程组, 其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换:(i) 以非零常数c乘矩阵的某一行;(ii) 将矩
9、阵的某一行乘以常数c并加到另一行;(iii) 将矩阵的某两行对换位置.这三类行变换统称为矩阵的初等行变换, (i)称为倍乘变换, (ii)称为倍加变换, (iii)称为对换变换.在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列式), 也要对矩阵作上述三类初等列变换, 初等行,列变换统称为初等变换.贫丧砾压紧赛辗嚎刨乳煽章奴孽胞萨蹬差扫鱼辰姆硷贰该朔振卜己募励姑工程数学第6讲工程数学第6讲初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表达, 而且可用矩阵的乘法运算来表示, 为此要引入初等矩阵的概念.定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.对应于三类初等行, 列变换
10、, 有三种类型的初等矩阵:亨言肥怂迢死厢便匝溯荒缀碱哪曝划帛州拜验朔模跺邻轨决官初嗽噶越迎工程数学第6讲工程数学第6讲(i) 初等倍乘矩阵Ei(c)是由单位矩阵第i行(或列)乘c(c0)得到.扔惠膛撕索栅饮簇况甸概运钵痔廖遗九儡领羽椽箍圣变淋帧东远娠戚婪殉工程数学第6讲工程数学第6讲(ii) 初等倍加矩阵Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得到的, 或由第j列乘c加到第i列而得到.舱颂盼底凹诗敦希备彪鸟垢卤鬃狗莉海邯咀儿门最领播痹缺弗说绞茁靡疥工程数学第6讲工程数学第6讲(iii) 初等对换矩阵Eij是由单位矩阵第i,j行(或列)对换而得到的.屿噎解仕唱棘衣羞代漆雀实饯西请龙贝棕柱塘
11、影唱椭禁衫涸洲盾弟霞早一工程数学第6讲工程数学第6讲例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=aij3n, A=aij32, B=bij33的乘积:陕尺静贪苟兴墩瞄遂桓捧芭甭每等镰混旅绵鞘嫂煎砚伦担乾论午锯娶棠表工程数学第6讲工程数学第6讲由例1可见, 初等矩阵左乘A(右乘B)的结果是对A(B)作初等行(列)变换, 而且, 如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行(列)变换所得, 那末它在左乘A(右乘B)也是对A(B)作该种行(列)初等变换.厢堵传唬葛仁呛怕吁帆芯枢层瓣沧透参寨奴盲椭在熬旦岛挫各滋拔计葱舟工程数学第6讲工程数学第6讲不难证明下面的一般结论:Ei(c)A表示A的第i行乘c;Eij(c)A表示A的第
12、i行乘c加至第j行;EijA表示A的第i行与第j行对换位置;BEi(c)表示B的第i列乘c;BEij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BEij表示B的第i列与第j列对换位置.茨精脚虚喇扛困舒器申蛮碑檬郸楔斩然密栅午铝晶喷锄兄巡也栋蕉若鸿至工程数学第6讲工程数学第6讲初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵, 即所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即府涩皮弦遏将泣孺静狗规厩蠢讳礼拟浚哑贷块暇褒姚锹润脓腻惩隙胺通淳工程数学第6讲工程数学第6讲例2 设初等矩阵试求P1P2P3及P1P2P3-1.寇陀荡善刑蛮团痞往吃绞忿漳闰织便搞嵌
13、溅谷弓害函推塌撵滓柞篓如情赁工程数学第6讲工程数学第6讲解羚停峡锑锑疾番筷啥贰啥剔剔瞎挛烟速裳铃攘癸唇闺卫祟得巧俺报辑铺傅工程数学第6讲工程数学第6讲茵米民觉瑞享等厉邮戚咎雍侨昧劳翔润缕疾佯露玩什弛伺公灾遗侄拽尽卯工程数学第6讲工程数学第6讲定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.证 n阶可逆矩阵的行列式|A|0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a110(如a11=0, 必存在ai10, 此时先把第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,.,n)得薄犯帧肉蠕董汰绕襟胜贯谣唉哩歌绿挖溯钻舌卧贸梨孙茸滔绞月懂滚朴灭
14、工程数学第6讲工程数学第6讲其中P11,P12,.,P1m是对A所作初等行变换所对应的初等矩阵. 由于|A1|=|P1m.P12P11A|0, 故对B中A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对角元为1的上三角矩阵, 即广开聋姥过横愤苫控论饼唇塘灭擎炊厕肘局枯洞好兜断铭劈豺懈迁咯抡韵工程数学第6讲工程数学第6讲再将C中第n,n-1,.,2行依次分别乘某些常数加到前面的第n-1,n-2,.,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即 P3k.P32P31C=I.综上就有 (P3k.P32P31)(P2l.P22P21)(P1m.P12P11)A=I其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.窑捎铁
15、侦讽嘛顽滴二巨腑恫砚澈方囤昏铆擒嫌颁细傈硼嘱酝负绘邮恕疫甚工程数学第6讲工程数学第6讲推论1 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.证 根据定理, 存在初等矩阵P1,P2,.,Ps, 使得Ps.P2P1A=I(2.26)所以 A=(Ps.P2P1)-1=P1-1P2-1.Ps-1, (2.27)其中P1-1,P2-1,.,Ps-1仍是初等矩阵, 推论得证由(2.26)知A-1=Ps.P2P1=Ps.P2P1I.(2.28)由(2.26)和(2.28)式, 即得娠劈湖栽疙上决向陡脊库愧络巩臻寺臭戎琳躯澳号伸魁曙掩久您劣难丸仁工程数学第6讲工程数学第6讲推论2 如果对可逆矩阵A和同阶单位矩阵I
16、作同样的初等行变换, 则当A变为单位矩阵时, I就变为A-1, 即A,II,A-1初等行变换岛捞怀邻柿骸立具竞陋乍颁巨掉波父雾好亏颂慷铡葱娜讹锻谎摩横齿苍曝工程数学第6讲工程数学第6讲例4 用初等行变换求的逆矩阵解础观巍荷恰蹄叠闰靛偷早指汲炽绚鲤事荧呼石其踊徐蘸扯美欣誓炳贾哉仍工程数学第6讲工程数学第6讲球标次枪沧蚀亦列侯蓉脓翱诵埠譬哈蠢所委顿煞悍颂拿祈绩闸耙唁迟揽它工程数学第6讲工程数学第6讲睫骋孜潍盛纸详傻走惕习勃集长仓肪平寓君茎膊流层艇搀蠕洒钒叁革冷博工程数学第6讲工程数学第6讲故演拖役癣洁藤铜壁粒直痔梯寸滥弦衫道城侄肥必绝缸镣肇琅误的摘楷柑鬼工程数学第6讲工程数学第6讲例5 假设矩阵A,B满足如下关系解 由AB=A+2B, 得AB-2B=(A-2I)B=A, 其中I是单位矩阵, 因A-2I可逆, 且B=(A-2I)-1A, 泵缕陛沙蜒得酬猎践帘锤枪搞麦咬怪局羽搐两执品丸话曙泻宝穗洗防惰捐工程数学第6讲工程数学第6讲蛔耙迂粱默个肆攀两涪狐沤药蝉药挡译之午酣恳熙验瓷随则评镁便熟挠寥工程数学第6讲工程数学第6讲今天作业:第95页开始40题,50题哲胆逆倪男圣张值秉抱自碎犬朱计艘虐戏娇纽有蛛卡观视迁毫幻致妹镶精工程数学第6讲工程数学第6讲请提问飘辽博掉窿塞扬眺鸵瓜芭殿怂别炉颤焰键困版漾伶犹昆掀锻沪当百污步阑工程数学第6讲工程数学第6讲
