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1、 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+1二项式定理二项式定理 （1） 二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质: : （2） 数学思想：数学思想：函数思想。函数思想。二项式系数之和: 最最 值值: :（3） 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 、递推法、递推法当当
2、 时，二项式系数是逐渐增大的，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。它的后半部是逐渐减小的。 当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大时时 ；当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ， 相等，相等，且且同时同时取得取得最大最大值。值。增减性增减性:n2 (由赋值法求得由赋值法求得 )系数性质系数性质各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：另：另：在在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数
3、项的二项式系数的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和和等于偶数项的二项式系数的和. .奇数项奇数项偶数项偶数项课堂练习课堂练习-2-10941093例例1 1 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形例例1 1 计算并求值计算并求值解解: :(2)(2)原式原式例题讲解例题讲解例例3 3 若若,则则 的值的值( )A A 一定为奇数一定为奇数C C 一定为偶数一定为偶数B B 与与n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 与与n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:所以所以 为奇数为奇数 故选故选(A)(A)思考思考 能用特殊值法吗能用特殊值法吗? ?偶偶偶偶奇奇A例例
4、4：由由 展开式所得的展开式所得的x的多项式中，的多项式中，系数为有理数的共有多少项？系数为有理数的共有多少项？分析：分析：考虑考虑 的展开式的通项的展开式的通项要要使使 x 系数为有理数，则系数为有理数，则 r 为为 6 的倍数，令的倍数，令 r = 6k（kZ），），而且而且 06k100，即即 r = 0，6，12，96。因此共有因此共有17项。项。例题讲解例题讲解例例5 9192除以除以100的余数是的余数是由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以 9192除以100的余数是81例题讲解例题讲解整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特整除性问题，余数问
5、题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项观察前几项或后几项, ,再分析整除性或余数。这是再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数例例6:6:求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数. .解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是例题讲解例题讲解由题意知解得所以所以 的系数为的系数为: : 注意：注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算项之积比较方便运算例例7 7的
6、展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20例题讲解例题讲解解：解：设设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为令二项式中的字母为1 1上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时， (2-1)(2-1)n n= = = =（2-12-1）n n=1例例8.8
7、. 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_例题讲解例题讲解解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例题讲解例题讲解分析分析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加例题讲解例题讲解巩固练习巩固练习一选择题一选择题1(041(04福建福建) )已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120, 其中实数其中实数 是常数是常数, ,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是( )( )C2 2 若若 展开式中含展开式中含
8、 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于( )( )A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3A展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。 135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P； 二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且，且P+S=272P+S=272，则展开式则展开式 的常数项为的常数项为_108
