2.1 控制系统的数学模型

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1、上海大学机电工程与自动化学院工工 程程 控控 制制 原原 理理2. 数学模型与传递函数主讲：周晓君主讲：周晓君 办办 公公 室：室：机械副楼机械副楼209-2室室 电子邮件电子邮件： 办公电话：办公电话：56331523上海大学机电工程与自动化学院 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。组成物理系

2、统的数学模型。 经典控制理论经典控制理论经典控制理论经典控制理论采用的数学模型主要以采用的数学模型主要以传递函数传递函数传递函数传递函数为基础。而为基础。而现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论采用的数学模型主要以采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程状态空间方程状态空间方程为基础。而为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。2. 数学模型与传递函数上海大学机电工程与自动化学院2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.

3、1.1 数学模型数学模型 对对于于一一个个复复杂杂的的物物理理系系统统，为为了了对对系系统统的的动动态态特特性性进进行行分分析析和和综综合合，必必须须用用数数学学表表达达式式来来描描述述该该系系统统，这这个个表表达达式式称称为为该该系系统统的的“数数学学模模型型”。由由于于动动态态过过程程中中有有关关物物理理量量都都是是时时间间的函数，所以，通常用的函数，所以，通常用微分方程微分方程微分方程微分方程来描述系统。来描述系统。2. 数学模型与传递函数数学模型数学模型数学模型数学模型描描描描述述述述系系系系统统统统或或或或元元元元件件件件的的的的动动动动态态态态特特特特性性性性的的的的数数数数学学学

4、学表达式表达式表达式表达式 深深深深入入入入了了了了解解解解元元元元件件件件及及及及系系系系统统统统的的的的动动动动态态态态特特特特性性性性，准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型 建建建建 模模模模上海大学机电工程与自动化学院2.1.1 数学模型数学模型 数数学学模模型型是是描描述述物物理理系系统统的的运运动动规规律律、特特性性和和输输入入输输出出关关系的一个或一组方程式。系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静静静静态态态态数数数数学学学学模模模模型型型型：反反映映系系统统

5、处处于于平平衡衡点点（稳稳态态）时时，系系统统状状态态有有关关属属性性变变量量之之间间关关系系的的数数学学模模型型。即即只只考考虑虑同同一一时时刻刻实实际际系系统统各各物物理理量量之之间间的的数数学学关关系系，不不管管各各变变量量随随时时间间的的演演化化，输输出出信信号号与与过过去去的的工工作作状状态态（历历史史）无无关关。因因此此，静静静静态态态态模模模模型型型型都都都都是是是是代数式，数学表达式中不含有时间变量。代数式，数学表达式中不含有时间变量。代数式，数学表达式中不含有时间变量。代数式，数学表达式中不含有时间变量。 2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学

6、院2.1.1 数学模型数学模型 动态数学模型动态数学模型动态数学模型动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。型。 对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。对于给定的动态系统，数学模型不

7、是唯一的。对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。工程上常用工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。系统，它们之间是等价的。 针对具体问题，选择不同的数学模型。针对具体问题，选择不同的数学模型。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学院2.1.2 建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法 物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，获得简化的数学模型。获得简化的数学模型。 理论分析法（解析法）：理

8、论分析法（解析法）： 对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。 实验研究法实验研究法 根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 对于比较对于比较复杂的系统复杂的系统复杂的系统复杂的系统，需要通过理论分析与实验研究结合，需要通过理论分析与实验研究结合起来，才能获得适

9、用的数学模型。起来，才能获得适用的数学模型。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学院2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 (1) 线性系统线性系统 若若描描述述系系统统的的微微分分方方程程是是变变量量及及其其导导数数的的一一次次有有理理整整式式，则此系统称为则此系统称为线性系统线性系统。线性系统可以用线性微分方程描述。线性系统可以用线性微分方程描述。 如如果果方方程程的的系系数数为为常常数数，则则为为线线性性定定常常系系统统；如如果果方方程程的的系数是时间系数是时间 t 的函数，则为的函数，则为线性时变系统线性时变系统。 线性系统的线性系统的线性

10、性质线性性质是指系统满足是指系统满足叠加性叠加性叠加性叠加性和和齐次性齐次性齐次性齐次性。vv叠叠叠叠加加加加性性性性：指指当当几几个个激激励励信信号号同同时时作作用用于于系系统统时时，总总的的输输出出响响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。vv齐齐齐齐次次次次性性性性：指指当当输输入入信信号号乘乘以以某某常常数数时时，响响应应也也倍倍乘乘相相同同的的常常数。数。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学院 (2) 非线性系统非线性系统 不不是是线线性性系系统统的的系系统统称称为为非非线线性性系系统统。非非线线性性系系统统

11、用用非非线线性微分方程描述。性微分方程描述。 非线性系统不满足非线性系统不满足叠加性叠加性叠加性叠加性和和齐次性齐次性齐次性齐次性。 系系统统中中只只要要含含有有一一个个非非线线性性性性质质的的元元件件，就就成成为为一一个个非非线线性系统。性系统。 许许多多机机械械系系统统各各物物理理量量之之间间的的关关系系都都是是非非线线性性的的，即即使使对对所所谓谓的的线线性性系系统统来来说说，也也只只是是在在一一定定的的工工作作范范围围内内保保持持线线性性关关系系。因因此此，研研究究机机械械系系统统的的某某些些动动态态特特性性时时，必必须须考考虑虑系系统统中中的非线性特征。的非线性特征。2.1.3 线性

12、系统与非线性系统线性系统与非线性系统上海大学机电工程与自动化学院 例例其中：其中：a，b，c，d 均为常数均为常数 线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统非线性系统非线性系统2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统上海大学机电工程与自动化学院 (2) 非线性系统非线性系统 许许多多机机械械系系统统、电电气气系系统统、液液压压及及气气动动系系统统等等，其其物物理理量量之之间间都都包包含含有有非非线线性性关关系系。例例如如：在在大大输输入入信信号号作作用用下下，元元件件的的输输出出量量可可能能饱饱和和(即即饱饱和和非非线线性性)；在在小小信信号号输输入入下下，元元件件没没有有

13、输输出出量量(即即死死区区非非线线性性)；某某些些元元件件中中可可能能存存在在着着平平方方非非线线性性关系。如下图所示。关系。如下图所示。2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统饱和非线性饱和非线性死区非线性死区非线性平方律非线性平方律非线性各种非线性因素的特性曲线各种非线性因素的特性曲线各种非线性因素的特性曲线各种非线性因素的特性曲线上海大学机电工程与自动化学院 (2) 非线性系统非线性系统 是否线性元件的判别是否线性元件的判别是否线性元件的判别是否线性元件的判别：元件的：元件的输出与输入间关系输出与输入间关系输出与输入间关系输出与输入间关系为为 一次幂函数一次幂函数 线性元件线

14、性元件二次或高次幂函数、周期函数或超越函数二次或高次幂函数、周期函数或超越函数 非线性元件非线性元件 判别系统数学模型微分方程是否非线性判别系统数学模型微分方程是否非线性判别系统数学模型微分方程是否非线性判别系统数学模型微分方程是否非线性： 其其中中的的函函数数出出现现高高于于一一次次的的项项，或或者者函函数数导导数数项项的的系系数数是是输出量的函数。输出量的函数。2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统上海大学机电工程与自动化学院 机械系统中常见的一些非线性问题机械系统中常见的一些非线性问题机械系统中常见的一些非线性问题机械系统中常见的一些非线性问题 2.1.3 线性系统与非线性

15、系统线性系统与非线性系统传动间隙传动间隙传动间隙传动间隙： 由由齿齿轮轮及及丝丝杠杠螺螺母母副副组组成成的的机机床床进进给给传传动动系系统统中中，经经常常存存在在有有传传动动间间隙隙 ，使使输输入入转转角角 x xi i 和和输输出出位位移移 x xo o 之之间间有有滞环关系。滞环关系。传动间隙传动间隙oxixo死区死区xidxodto死区死区死区死区： 在在死死区区范范围围内内，系系统统有有输输入而没有输出。入而没有输出。例如：例如：负开口的液压伺服阀负开口的液压伺服阀负开口的液压伺服阀负开口的液压伺服阀上海大学机电工程与自动化学院2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统摩擦力

16、摩擦力摩擦力摩擦力： 机机械械滑滑动动运运动动副副，如如：机机床床滑滑动动导导轨轨运运动动副副、主主轴轴套套筒筒运运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。 右右图图为为干干干干摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力（也也称称库库伦伦摩摩擦擦力力，其其大大小小为为 f f ）与与运运动动速度速度 d dx/x/d dt t 的关系。摩擦力的关系。摩擦力 f f 总是与速度总是与速度 d dx/x/d dt t 的方向相反。的方向相反。干摩擦力干摩擦力foFdxdt上海大学机电工程与自动化学院2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统摩擦力摩擦

17、力摩擦力摩擦力： 实际运动副中的摩擦力与运动速度的大小有关，如右图。实际运动副中的摩擦力与运动速度的大小有关，如右图。 F F与与d dx/x/d dt t 的曲线大致分为三个阶段：的曲线大致分为三个阶段： （F F与与d dx/x/d dt t 的方向相反的方向相反）粘性摩擦力粘性摩擦力dxdtoFq起动时的静动摩擦力起动时的静动摩擦力； （摩擦力数值较大（摩擦力数值较大）q低速时的混合摩擦力；低速时的混合摩擦力； （摩擦力呈下降特性）（摩擦力呈下降特性）q粘性摩擦力。粘性摩擦力。 （摩擦力随速度的增加而增加）（摩擦力随速度的增加而增加）上海大学机电工程与自动化学院2.1.4 系统非线性微分

18、方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 工程上工程上工程上工程上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的；，绝对的线性元件和线性系统是不存在的； 数学上数学上数学上数学上，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值解法，但也存在较大的数值误差。解法，但也存在较大的数值误差。 为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性化处理。化处理。 本质非线性性质本质非线性性质：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的元件或系统。折线，以及非

19、单值关系等严重非线性性质的元件或系统。 2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学院 对对于于非非非非本本本本质质质质非非线线性性元元件件或或系系统统，可可以以在在工工作作点点附附近近用用切切线线来来替替代代函函数数关关系系，这这就就是是非非线线性性数数学学模模型型的的线线性性化化方方法法之之一一（微小偏差法）。（微小偏差法）。 系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍一偏离此平衡位置，整个系

20、统就会立即作出反应，并作状态稍一偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。力图恢复原来的平衡位置。 2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化上海大学机电工程与自动化学院 具具有有连连续续变变化化的的非非线线性性函函数数的的线线性性化化，可可用用切切线线法法或或微微小小偏偏差差法法。在在预预定定工工作作点点处处一一个个小小范范围围内内，将将非非线线性特性用一断直线来代替。性特性用一断直线来代替。 一一个个变变量量的的非非线线性性函函数数f f( (x x) )，在在 x x0 0处处连连续续可可微微，则则可可将将它它在在该该点点附附件件用用Tay

21、lor级数展开级数展开2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化of(x)xf(x0)x0xf(x) 增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有上海大学机电工程与自动化学院 两两个个变变量量的的非非线线性性函函数数 f f( (x x, , y y) )，在在 (x x0 0, , y y0 0) 处处连连续续可可微微，则也可将它在该点附件用则也可将它在该点附件用Taylor级数展开级数展开2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有增量较小时，可略去其二次以上高次幂

22、项，则有上海大学机电工程与自动化学院单变量非线性函数单变量非线性函数 f f( (x x) )的线性化数学模型为的线性化数学模型为2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化双变量非线性函数双变量非线性函数 f f( (x x , , y y) )的线性化数学模型为的线性化数学模型为式中：式中：；式中：式中：；上海大学机电工程与自动化学院 非线性系统线性化时的非线性系统线性化时的注意事项注意事项注意事项注意事项： (1) 必必须须明明确确系系统统处处于于平平衡衡状状态态的的工工作作点点，因因为为不不同同工工作作点点所所得得到到线线性性化化方方程程的的系系数数不不同同，即即：

23、非非线线性性曲曲线线上上各各点点的的斜斜率（导数）是不同的；率（导数）是不同的； (2) 如如果果变变量量在在较较大大范范围围内内变变化化，则则用用这这种种线线性性化化方方法法建建立立的的数数学学模模型型，除除工工作作点点外外的的其其他他工工况况必必定定存存在在较较大大的的误误差差。因此非线性系统线性化是有条件的：变量偏离预定工作点很小。因此非线性系统线性化是有条件的：变量偏离预定工作点很小。 (3) 对对于于某某些些典典型型的的本本质质非非线线性性，如如果果非非线线性性函函数数是是不不连连续续的的，则则在在不不连连续续点点附附近近不不能能得得到到收收敛敛的的Taylor级级数数，此此时时就就

24、不能线性化。不能线性化。 (4) 线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。 2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化上海大学机电工程与自动化学院 试试把把非非线线性性方方程程 z zxyxy 在在区区域域 55x x77、1010y y12 12 上上线线性性化化。求用线性化方程来计算当求用线性化方程来计算当 x x=5=5，y y=10 =10 时时 z z 值所产生的误差。值所产生的误差。解解解解：由由于于研研究究的的区区域域为为5x7、10y12，故故选选择择工工作作点点x0=6，y0=11。于是。于是 z0=x0y

25、0=611=66。 求求在在点点 x0=6，y0=11，z0=66 附附近近非非线线性性方方程程的的线线性性化化表表达达式。式。 将将非非线线性性方方程程在在点点（x0, y0, z0）处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数，并并忽忽略其高阶项，则有略其高阶项，则有例例 题题上海大学机电工程与自动化学院因此，线性化方程式为：因此，线性化方程式为：例例 题题 当当 x x=5=5，y y=10 =10 时，时，z z 的精确值为：的精确值为： z zxyxy =510=50由线性化方程求得的由线性化方程求得的z z值为值为 z z=11x+ +6y- -66=55+60-66=49 因此，误差为因此，

26、误差为 50-49=1，表示成百分数为，表示成百分数为上海大学机电工程与自动化学院2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 建立微分方程的步骤建立微分方程的步骤建立微分方程的步骤建立微分方程的步骤是：是： 1) 分分析析系系统统的的工工作作原原理理和和系系统统中中各各变变量量间间的的关关系系，确确定定出出待研究元件或系统的输入量和输出量；待研究元件或系统的输入量和输出量； 2) 从从输输入入端端入入手手（闭闭环环系系统统一一般般从从比比较较环环节节入入手手），依依据据各各元元件件所所遵遵循循的的物物理理、化化学学、生生物物等等规规律律，列列写写各各自自方方程程式式，但但要要注注意意负负

27、载载效效应应。所所谓谓负负载载效效应应，就就是是考考虑虑后后一一级级对对前前一一级级的影响。的影响。 3) 将将所所有有方方程程联联解解，消消去去中中间间变变量量，得得出出系系统统输输入入输输出出的的标准方程。标准方程。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型上海大学机电工程与自动化学院 标准方程包含三方面的内容标准方程包含三方面的内容标准方程包含三方面的内容标准方程包含三方面的内容： 将与输入量有关的各项放在方程的右边；将与输入量有关的各项放在方程的右边； 与输出量有关的各项放在方程的左边；与输出量有关的各项放在方程的左边； 各导数项按降幂排列。各导数项按降幂排列。 2.1.5 系统微分

28、方程的建立系统微分方程的建立上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写： 机机械械系系统统中中部部件件的的运运动动有有直直线线和和转转动动两两种种。机机械械系系统统中中以以各各种种形形式式出出现现的的物物理理现现象象，都都可可简简化化为为质质量量、弹弹簧簧和和阻阻尼尼三三个个要要素素。列列写写其其微微分分方方程程通通常常用用达达朗朗贝贝尔尔原原理理。即即：作作用用于于每每一一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。 质量：质量：质量：质量： 2.1.5 系统微分方程的

29、建立系统微分方程的建立mu(t)x(t)fm(t)上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写： 弹簧：弹簧：弹簧：弹簧： 弹簧各点受力相同，但各点的变形量不同。弹簧各点受力相同，但各点的变形量不同。 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立ku1(t)x1(t)fk(t)u2(t)x2(t)fk(t)上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写： 阻尼：阻尼：阻尼：阻尼：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立Du

30、1(t)x1(t)fD(t)u2(t)x2(t)fD(t)上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例1 1直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统） m0xo(t)fi(t)kDm0xo(t)fi(t)fm(t)fk(t)fD(t)机械平衡系统及其力学模型机械平衡系统及其力学模型静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响上海大学机电工程与自动化学院 (1)

31、机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例1 1直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统） 式式中中：m、D、k 通通常常均均为为常常数数，故故机机械械平平移移运运动动系系统统可可以以由由上上述二阶常系数微分方程描述。述二阶常系数微分方程描述。 上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例2 2弹簧弹簧弹

32、簧弹簧- - - -阻尼系统阻尼系统阻尼系统阻尼系统 系统运动方程为一阶常系数微分方程。系统运动方程为一阶常系数微分方程。0xo(t)fi(t)kD弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例3 3机械旋转系统机械旋转系统机械旋转系统机械旋转系统 图中：图中：图中：图中：J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量； k 扭转刚度系数；扭转刚度系数； D 粘性阻尼系数。粘性阻尼系数。0 i(t)kD齿轮齿轮 o(t)0JTD(t)Tk(t)柔

33、性轴柔性轴粘性液体粘性液体上海大学机电工程与自动化学院 (1) 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例3 3机械旋转系统机械旋转系统机械旋转系统机械旋转系统 数学模型：扭矩平衡方程数学模型：扭矩平衡方程上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 电电网网络络系系统统分分析析主主要要根根据据基基尔尔霍霍夫夫电电流流定定律律和和电电压压定定律律写写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。出微分方程式，进

34、而建立系统的数学模型。 a) a) 基基基基尔尔尔尔霍霍霍霍夫夫夫夫电电电电流流流流定定定定律律律律：汇汇聚聚到到某某节节点点的的所所有有电电流流之之代代数数和和应应等等于于0（即即流流出出节节点点的的电电流流之之和和等等于于所所有有流流进进节节点点的的电电流流之之和）。和）。 b) b) 基基基基尔尔尔尔霍霍霍霍夫夫夫夫电电电电压压压压定定定定律律律律：电电网网络络的的闭闭合合回回路路中中电电势势的的代代数数和和等于沿回路的电压降的代数和。等于沿回路的电压降的代数和。 电网络系统三个基本元件：电网络系统三个基本元件：电阻、电容和电感电阻、电容和电感电阻、电容和电感电阻、电容和电感。2.1.5

35、 系统微分方程的建立系统微分方程的建立上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 电阻：电阻：电阻：电阻： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立Ru(t)i(t)电压：电压： 电容：电容：电容：电容：电压：电压：Cu(t)i(t) 电感：电感：电感：电感：电压：电压：Lu(t)i(t)上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例1 1R R-

36、- - -L L- - - -C C 无源电路网络无源电路网络无源电路网络无源电路网络 LRCi(t)ui (t)uo(t)基本物理规律：基本物理规律：上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例1 1R R- - - -L L- - - -C C 无源电路网络无源电路网络无源电路网络无源电路网络 数学模型：数学模型： 一般情况下，一般情况下，R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分均为常数，上式为二阶常系数微分方程。方程。 若若L0，则系统微分方

37、程简化为则系统微分方程简化为上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例2 2有源电路网络有源电路网络有源电路网络有源电路网络 aRCi1(t)ui (t)uo(t)i2(t)- -+ +即即：上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例3 3直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统直流电动机的

38、伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统 RaLaT(t) o(t)JDia(t)ei(t)em(t)if =常数常数激磁电流激磁电流激磁电流激磁电流电机电枢电机电枢电机电枢电机电枢输入电压输入电压输入电压输入电压电机输出电机输出电机输出电机输出转角转角转角转角电机感应电机感应电机感应电机感应电动势电动势电动势电动势电机绕组电感电机绕组电感电机绕组电感电机绕组电感绕组电阻绕组电阻绕组电阻绕组电阻电机扭矩电机扭矩上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例

39、例3 3数学模型：数学模型：基尔霍夫定律基尔霍夫定律电磁感应定律电磁感应定律扭矩平衡方程扭矩平衡方程直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统 上海大学机电工程与自动化学院 (2) 电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写： 2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 例例3 3电枢控制式直流电动机的控制系统动态数学模型电枢控制式直流电动机的控制系统动态数学模型 当当电电枢枢电电感感很很小小时时，通通常常可可以以忽忽略略不不计计，则则系系统统微微分分方方程程可简化为可简化为直流电

40、动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统直流电动机的伺服控制系统 上海大学机电工程与自动化学院流入流入流入流入流出流出流出流出例题例题： 右右图图为为四四边边伺伺服服阀阀及及液液压压缸缸组组成成的的液液压压伺伺服控制系统。服控制系统。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型cmmxixoxvp1p2液压伺服系统液压伺服系统 活活塞塞杆杆固固定定，液液压压缸缸与与伺伺服服阀阀阀阀体体连连为为一一体体，工工作作时时缸缸体体带带动动工工作作台台(质质量量为为m)移移动动，负负载载包包含含有有惯惯性性和和粘粘性性负负载载。试试建建立立该该系系统统的的数学模型。数学模型。上

41、海大学机电工程与自动化学院解解： 给给阀阀杆杆一一位位移移量量 xi ，此此时时阀阀口口打打开开，液液压压油油推推动动缸缸体体并并带带动动负负载载产产生生位位移移 xo，阀阀体体有有此此位位移移相相当当于于给给阀阀口口开开度度一一个个反馈量反馈量 xo ，即，即 xv=xi- -xo 。 该系统是输入为该系统是输入为 xi 、输输出为出为 xo 的闭环系统的闭环系统。 假设油液不可压缩，并忽略系统中液体的泄漏。假设油液不可压缩，并忽略系统中液体的泄漏。系统动力学方程系统动力学方程系统动力学方程系统动力学方程：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例题例题例题例题质量守恒定律质量守恒定律

42、(连续性方程连续性方程)p=p1- -p2：负载压降负载压降粘性阻尼系数粘性阻尼系数负载流量负载流量牛顿第二定律牛顿第二定律(力平衡方程力平衡方程)活塞有效面积活塞有效面积负载质量负载质量上海大学机电工程与自动化学院流体流经微小开口的伺服阀时，其流量关系流体流经微小开口的伺服阀时，其流量关系流体流经微小开口的伺服阀时，其流量关系流体流经微小开口的伺服阀时，其流量关系：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例题例题例题例题是是一一非非线线性性函函数数关关系系。由由上上述述三三个个关关系系式式得得出出的的系系统统数数学学模模型也是非线性方程。因此必须对式型也是非线性方程。因此必须对式(a)

43、进行线性化处理。进行线性化处理。(a)写成增量方程写成增量方程- -Kc：流量：流量- -压力系数压力系数Kq：流量：流量增益增益 将式将式(a)在预定工作点在预定工作点 ( (x xv0v0, , p p0 0) ) 附近进行微小偏差线性化附近进行微小偏差线性化上海大学机电工程与自动化学院增量方程增量方程：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例题例题例题例题(b) K Kq q、K Kc c可可以以根根据据工工作作点点的的不不同同，从从阀阀的的特特性性曲曲线线求求得得。（不同的工作点，有不同的（不同的工作点，有不同的K Kq q、K Kc c） 由由于于随随着着负负载载压压降降 p

44、 p 的的增增大大，负负载载流流量量 q q 将将减减小小，因因而而 q q/ p p总是负值。为使流量总是负值。为使流量- -压力系数压力系数 K Kc c 为正，定义为正，定义 若预定工作点选在阀的零位，即：若预定工作点选在阀的零位，即：x xv0v0 = 0= 0，p p0 0 = 0= 0，q q( (x xv0v0, , p p0 0) ) = 0= 0；这时；这时 q q = = q q， x xv v = = x xv v， p p = = p p。上海大学机电工程与自动化学院此时增量方程式此时增量方程式(b)变成变成：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例题例题例题例

45、题此此乃乃预预定定工工作作点点为为伺伺服服阀阀零零位位时时的的线线性化方程。性化方程。(c)pqaaaaxv=2xvxv=xvxv=0xv=- -xvxv=- -2xvo线性关系线性关系 右右图图为为q q与与p p的的线线性性化化关关系系曲曲线线，q q与与x xv v之之间间也也成成线线性化关系。性化关系。上海大学机电工程与自动化学院 将将式式(c)、质质量量守守恒恒方方程程代代入入力力平平衡衡方方程程，消消去去中中间间变变量量q q与与p p后后，得得到到系系统统的的阀阀口口开开度度x xv v与与位位移移输输出出x xo o关关系系的的线线性性化化微分方程微分方程：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例题例题例题例题将将 xv= xi- -xo 代入上式，得到代入上式，得到闭环系统的线性微分方程闭环系统的线性微分方程闭环系统的线性微分方程闭环系统的线性微分方程 若若考考虑虑油油液液的的压压压压缩缩缩缩性性性性，上上式式将将变变成成三三阶阶方方程程；如如再再考考虑虑油液油液泄漏泄漏泄漏泄漏，方程将更为精确。，方程将更为精确。上海大学机电工程与自动化学院作业作业：P.362- -12.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型