《考研数学概率论第二讲补充》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学概率论第二讲补充（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二讲补充内容第二讲补充内容本讲主要问题本讲主要问题一、一、二维随机变量二维随机变量二、边缘分布二、边缘分布三、条件分布三、条件分布四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量 1. 二维随机变量的概念二维随机变量的概念一、一、二维随机变量二维随机变量 实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二就是一个二维随机变量维随机变量. 实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况 , 则儿则儿童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 ( H, W ). 二维随机变量二维
2、随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与 X 、Y 有关有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明说明 定义定义 设设 E 是一个随机试验是一个随机试验, 它的它的样本空间是样本空间是 S=e, 设设 X=X(e) 和和Y=Y(e)是定义在是定义在 S 上的随机变量上的随机变量. 由它们构成的一由它们构成的一个向量个向量 (X, Y) , 叫做叫做二维随机变量二维随机变量。如图如图SeX(e)Y(e) 注意事项注意事项三、三、二维随机变量二维随机变量 2. 二维离散型随机变量二维离散型随机变量,.2 , 1,),(=jiyxji 定义定义
3、 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所有可能取所有可能取到的不相同的数偶到的不相同的数偶 是有限对或无限是有限对或无限可列对时可列对时, 则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量. 联合分布律联合分布律: 其其分布律表分布律表:性质性质1有有性质性质2例例答案答案: 例例 设随机变量设随机变量 X 在在 1,2,3,4四个数四个数中等可能地取值中等可能地取值, 另一个随机变量另一个随机变量 Y 在在1X 中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值.试求试求 ( X,Y ) 的的分布律分布律.答案答案: 由题意知由题意知, X=i, Y=j的取值情况是的取
4、值情况是:i=1,2,3,4, 且是等可能的且是等可能的; 然后然后 j 取不大于取不大于 i 的正整数的正整数. 由乘法公式求得由乘法公式求得( X,Y ) 的分布律的分布律. 练习练习 袋中有袋中有2只黑球、只黑球、2只白球、只白球、3只红球只红球,在其中任取在其中任取2只球只球.以以X表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数,以以Y表示取到白球的只数表示取到白球的只数.(1)求求(X,Y)的分布律的分布律. (2)求概率求概率答案答案: (1) (1)X所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为0,1,2;0,1,2;Y所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为0,1,2. (0,1,2. (X
5、, ,Y) )的分布律为的分布律为001/21204/212/711/212/71/70210 X Y(2)三、三、二维随机变量二维随机变量 3. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量, 如果存在如果存在定义在平面上的函数定义在平面上的函数f(x, y), 满足条件满足条件则称则称(X, Y)是连续型随机变量是连续型随机变量, 而而f(x, y)称为称为二维随机二维随机变量变量(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数或称为或称为随机变量随机变量X和和Y的联的联 合概率密度函数合概率密度函数.表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面
6、之间的空间区域的全部体平面之间的空间区域的全部体积等于积等于1. 说明说明答案答案:例例答案答案:三、三、二维随机变量二维随机变量 4. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 定义定义几何解释几何解释(如图如图)说明说明 (1)离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函的分布函数归纳为数归纳为 (2)连续型随机变量连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为的分布函数为例例答案答案: 1. 离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 二、二、边缘分布边缘分布例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.答案答案: 2. 连续型随机变量的边缘
7、分布连续型随机变量的边缘分布 四、四、边缘分布边缘分布边边缘分布函数的定义缘分布函数的定义例例3 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为其中区域其中区域G如下图所示如下图所示, 求求(X,Y)关于关于X和和Y的边缘的边缘概率密度概率密度答案答案:-1 0 1PX=u3/163/16 3/16 3/83/16 3/8 1/16 1/16 1/81/16 1/8PY=v1/4 1/4 1/4 1/4 1/23/43/41/41/4 1 -1-1 1 1-1 0 1PM=u -1-1 1 1 0 0 1/4 2/41/4 2/4 1/4 0 00 03/43/41/41/4PN=v1/4 1/4 1
8、/4 1/4 1/2 1这两个二这两个二维随机变维随机变量的分布量的分布律是不相律是不相同的，但同的，但是却具有是却具有相同的边相同的边缘分布缘分布.联合分布联合分布边缘分布边缘分布 1. 离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 三、三、条件分布条件分布为在为在Y= yj 条件下条件下随机变量随机变量 X 的条件分布律的条件分布律. 定义定义 设设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, 对对于固定的于固定的 j , 若若PY= yj 0, 则称则称 对于固定的对于固定的 i , 若若PX= xi 0, 则称则称为在为在X= xi 条件下条件下随机变量随机变量
9、 Y 的条件分布律的条件分布律.条件分布律条件分布律具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性： (1) P X= xi |Y= yj 0;(2)例例 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为1.0000.0130.0320.0450.910PX=i0.0200.0010.0040.0050.01020.0800.0020.0080.0100.06010.9000.0100.0200.0300.8400PY=j3210求求(1)在在X=1条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律;(2)在在Y=0条件下条件下X的条件分布律的条件分布律.答案答案:五、五、条件分布条件分布 2. 连续型
10、随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布 条件概率密度的定义条件概率密度的定义为在为在条件条件Y= y下的下的X 的条件概率密度的条件概率密度. 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为f(x, y), (X,Y)关于关于Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为fY(y), 若对固定的若对固定的y, fY(y)0, 则称则称记做记做fX|Y(x|y).即即同理同理在条件在条件X=x下的下的Y 的条的条件概率密度件概率密度条件分布函数的定义条件分布函数的定义称称为在为在条件条件Y= y下下X的条件分布函数的条件分布函数.记做记做 P X x |Y= y , 或或FX|Y(x
11、|y).即即同理在同理在条件条件X= x下下Y 的条件分布函数的条件分布函数为为思考思考答案答案: 练习练习答案答案:又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为四、四、相互独立的随机变量相互独立的随机变量 定义定义 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量, 若对于若对于任意的任意的a,b (ab); c, d(cd),则称则称随机变量随机变量X, Y相互独立相互独立.说明说明 2) 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合的联合分布律为分布律为在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立.例例 已知随机变量已知随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为答案答案:不独立不独立.例例答案答案:求随机变量求随机变量 ( X, Y ) 的分布律的分布律. 例例 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的的分布律为分布律为答案答案: 由独立性得由独立性得例例答案答案:
