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1、返回返回 课堂练习：课堂练习：第二节 数量积 向量积 *混合积指导书指导书P16-19 (P16-19 (二二)5)5， ( (三三) 4) 4教学目的：教学目的：使学生使学生理解理解向量的向量的数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积的定义，的定义，掌握掌握向量这三种运算的向量这三种运算的坐标表示坐标表示及及它们应用它们应用.返回返回 *三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积 向量积 *混合积 第八八章 返回返回 一、两向量的数量积一、两向量的数量积( (也称点积、内积也称点积、内积) )引例引例. .沿与力
2、夹角为沿与力夹角为的直线移动的直线移动,1. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 , 称称数量积数量积 (点积点积) .设一物体在常力设一物体在常力 作用下作用下, 则力则力 所做的功为所做的功为位移为位移为 ,返回返回 记作故故2. 性质性质为两个非零向量,则有返回返回 3. 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;返回返回 例例1.1.利用向量证明三角形余弦定理利用向量证明三角形余弦定理证证:则则如图，如图， 设设返回返回 4.4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则返回返回 设设则则当当为非零向量时为非零向量时,两向量的夹角的余弦公
3、式：两向量的夹角的余弦公式： 由此可知由此可知两向量数量积的坐标公式两向量数量积的坐标公式 数量积的应用数量积的应用：1.1.求两向量的夹角求两向量的夹角; ;3.3.求一向量在另一向量方向上的投影求一向量在另一向量方向上的投影. .2.2.判别两向量是否垂直判别两向量是否垂直; ;其的夹角余弦其的夹角余弦 返回返回 例例2.2. 已知三点 AMB . 解解:则则求故故返回返回 例例3.3.解：解：返回返回 二、两向量的向量积二、两向量的向量积( (也称也称叉积叉积、外积外积) )引例引例. .设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为符合右手规则符合右手规
4、则矩是一个向量矩是一个向量 M :的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上 ,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力返回返回 1.1.定义定义定义定义向量向量方向方向 :即即符合右手规则符合右手规则模模 :向量积向量积 , 称称引例中的力矩引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积S几何意义：几何意义：返回返回 2.2.性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证明证明:返回返回 4.4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则返回返回 按第一行展开法则按第一行展开法则把行列式的把行列式的某一行的各元素某一行的各元素乘以乘以同一
5、数同一数 k 加到加到另一行对应的元素上去，另一行对应的元素上去， 行列式值行列式值不变不变性质性质3 3：性质性质1 1：性质性质2 2：返回返回 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法返回返回 由上式可推出由上式可推出例如例如， 向量积的应用向量积的应用：1.1.求与两向量同时垂直的向量求与两向量同时垂直的向量; ;3.3.判别两向量是否平行判别两向量是否平行; ;2.2.求求三角形三角形或平行四边形的面积或平行四边形的面积. .返回返回 例例4.4.已知三点求三角形 ABC 的面积. 解解:如图所示,返回返回 例例5.5.解解: :返回返回 2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正
6、弦定理:证证:由三角形面积公式由三角形面积公式所以所以因因返回返回 并思考：并思考：分析：分析：课堂练习课堂练习：指导书：指导书P19 (二二) 19，20，221.1.设设 则则返回返回 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义已知三向量称数量混合积混合积 .记作记作几何意义：几何意义： 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其返回返回 2.2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设返回返回 3.3.性质性质(1) 三个非零向量共面(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)混合积的应用混合积的应用：判别三个向量判别三个向量( (或四个点或四个点) )是否共面是否共面. .(由行列式
7、性质推出)返回返回 例例5.5. 证明四点共面 .解解:故 A , B , C , D 四点共面 .因为返回返回 例例6.已知已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、四点共面四点共面, 求点求点 M 的坐标的坐标 x、y、z 所满足的方程所满足的方程.解解:A、B、 C、M 四点共面四点共面展开行列式即得点展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程的坐标所满足的方程AM、AB、 AC 三向量共面三向量共面即即返回返回 内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数数乘乘:点积点积:叉积叉积:返回返回 混合积混合积:2. 向量关系向量关系:返回返回 作业作业 书上P22 2，3 ， 8， 10书上P51 8
