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1、第二节第二节第二节第二节 极极极极 限限限限 的的的的 概概概概 念念念念一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限二、函数的极限三、无穷小及其性质四、极限的四则运算五、两个重要极限六、无穷大量、无穷小比较( ( The Concept ofThe Concept of LimitsLimits )1一、数列的极限一、数列的极限割圆术：（割圆术：（刘徽刘徽）1、概念的引入、概念的引入截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”2例例数列数列 定义在自然数集合的函数定义在自然数集合的函数整标函数整标函数32、数列极限的定义、数列极限的定义记作记作可以无限接近可
2、以无限接近注意注意不一定能到达不一定能到达对于数列对于数列 ，当，当 （即无限增大）（即无限增大）时，时， （常数），则（常数），则 a 称为称为 的极限，的极限，4二、函数的极限二、函数的极限概述：概述：函数的极限是指当函数的极限是指当 x 按某种规律变按某种规律变化，化，f (x) 的变化趋势。的变化趋势。1、 时函数的极限时函数的极限 定义：定义： 当自变量的绝对值当自变量的绝对值| x |无限增大时，无限增大时，如果函数如果函数 （常数），则称（常数），则称 a 为为在在 时的极限，记作时的极限，记作 或或5例例6例例单侧极限单侧极限782、 时函数的极限时函数的极限 定义：定义： 当
3、当 ，若，若 ，则称，则称 a 为为 在在 时的极限，记作时的极限，记作 9考察函数考察函数 f（x）= x2,当当x2 时的变化趋势时的变化趋势例例x2. 52. 12. 012. 0012. 0001.2f(x)6. 254. 414. 044. 0044. 0004.4 x1. 51. 91. 991. 9991. 9999.2f(x)2. 253. 613. 963. 9963. 9996.4103.611. 90yx242.14.41注意：注意：11例例3、单侧极限、单侧极限 解解12左极限左极限右极限右极限左右极限存在且相等左右极限存在且相等,注注13左右极限存在但不相等左右极限存
4、在但不相等,例例证证144、判别极限存在的法则、判别极限存在的法则法则法则 1若在同一极限过程中，有下列关系若在同一极限过程中，有下列关系 且且 则则法则法则 2单调有界数列（函数）一定有极限单调有界数列（函数）一定有极限15三、无穷小量及其性质三、无穷小量及其性质极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小无穷小。定义：定义：例如例如无穷小是变量，不能与很小的数混淆无穷小是变量，不能与很小的数混淆;注意注意16定理定理1 判定定理：判定定理：定理定理3 有界变量或常数与无穷小的积是无穷小有界变量或常数与无穷小的积是无穷小定理定理4 有限个无穷小的和或积是无穷小有限个无穷小的和或积是无穷小定理定理2 若若 为无穷小，为无穷小，则则 也是无穷小也是无穷小17四、极限的四则运算四、极限的四则运算定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得18推论推论1推论推论2例例1 1解解19解解例例2 2(消去零因子法消去零因子法)20例例3 3解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)21
