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1、 图形图形文字语言文字语言(读法读法)符号语言符号语言Aa点在直线上点在直线上点在直线外点在直线外点在平面内点在平面内 点在平面外点在平面外一：一：空间中空间中点与线点与线、点与面点与面的位置关系的位置关系Aa线与平面的关系用子集符号线与平面的关系用子集符号二、平面的基本性质二、平面的基本性质公理公理1：若一条直线的若一条直线的两点两点在一个平面内，在一个平面内，则这条直线上则这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内, ,即即: :这条直线在这个平面内。这条直线在这个平面内。作用:用于判定线在面内即即: Aa且B a AB aAB推论推论1.1.一条直线和直线外一点确定一个平面。
2、一条直线和直线外一点确定一个平面。推论推论2.2.两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。推论推论3.3.两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。公理公理2.2.不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面. .a aACB公理公理3：若两个不重合平面有若两个不重合平面有一个公共点一个公共点，则它们有且只有则它们有且只有一条过该点的公共直线。一条过该点的公共直线。即即: Pa且PbaIb=l且Pl PaPbaIb=lPl作用作用: :用于证明用于证明点在线上或多点共线. 圆圆的周长公式的周长公式 圆圆的的面积面积公式公式=2=2r rS=S=r r2 2 弧弧长的计
3、算公式长的计算公式扇形扇形面积计算公式面积计算公式n是角度数是角度数四四.面积面积与体积与体积.直观图的面积等于原图形面积的四分之根二直观图的面积等于原图形面积的四分之根二三视图要点三视图要点:长对正长对正,宽相等宽相等,高平齐高平齐空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积圆柱的表面积圆柱的表面积：圆锥的表面积圆锥的表面积：圆台的表面积圆台的表面积：球的表面积球的表面积：柱体的体积：柱体的体积：锥体的体积：锥体的体积：台体的体积：台体的体积：球的体积：球的体积：面积面积体积体积直棱柱的外接球正方体的内切球半径等于边长的一半正方体的内切球半径等于边长的一半长方体与正方体的外接球球心在体对
4、角线长方体与正方体的外接球球心在体对角线交点处也为中点处交点处也为中点处总结总结:直棱柱外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处直棱柱外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处以直三棱柱为例以直三棱柱为例等边三角形外接圆圆等边三角形外接圆圆心在中心心在中心,半径等于边半径等于边长的三分之根三长的三分之根三,直角直角三角形的外接圆圆心三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，半在斜边的中点处，半径等于斜边的一半径等于斜边的一半锥体的外接球锥体的外接球圆锥的外接球圆锥的外接球正棱椎的外接球正棱椎的外接球一般锥体外接球球心在一般锥体外接球球心在:过底面外接圆圆心与底面垂直直线上过底面外接圆圆心与底面垂直直
5、线上,然后再构造直角三然后再构造直角三角形角形PABCMOPAMDEOD法1.勾股定理法正四面体的外接球半径ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正方体外接球的半径法2.补成正方体求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结平行平行垂直垂直定理总结定理总结:1.平行于同一直线的两条直线平行平行于同一直线的两条直线平行(平行线的传平行线的传递性递性)2.若一个角的两边与另外一个角的两边分别平行若一个角的两边与另外一个角的两边分别平行则这两个角相等或互补则这两个角相等或互补(等角
6、定理等角定理)3.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行平行，那么这条直线和这个平面平行(线面平行线面平行的判定定理的判定定理)4. 两个平面平行，则其中一个平面内的直线必两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面平行于另一个平面(可以用来证明线面平行也是可以用来证明线面平行也是面面平行的性质定理面面平行的性质定理)5.如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与已知平面相交那么这条直线与交线平行平面与已知平面相交那么这条直线与交线平行(线面平行的性质定理线面平行的性
7、质定理)6.如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直 线与交线平行。线与交线平行。7.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行那么这两个平面平行(面面平行判定定理面面平行判定定理)8.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。相交直线分别平行，那么这两个平面平行。9.如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平 面平行。面平行。10.如
8、果两个平面都平行于第三个平面那么这两个平面平行。如果两个平面都平行于第三个平面那么这两个平面平行。11.如果两个平面平行且都与第三个平面相交则交线平行。如果两个平面平行且都与第三个平面相交则交线平行。12.如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线 垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。13. 垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行13.如果两个平面平行，则其中一个平面内的所如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等。有点到另一个平面的距离相等。14.夹在两个平行平面间的平行线段
9、相等夹在两个平行平面间的平行线段相等15.15.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。则另一条也垂直于这个平面。16.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直都垂直，则直线与平面垂直(线面线面垂直的定定理垂直的定定理)。17.如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面它们的交线的直线垂直于另一个平面18.如果一条直线与一个平面如果一条直线与一个平面垂直则这条直线与垂直则这条直线与平面内任何一条直线垂直平面内
10、任何一条直线垂直(线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理)19.如果一个平面过另一个平面的如果一个平面过另一个平面的垂线则这两个垂线则这两个平面垂直平面垂直(面面垂直定定理也是线面垂直的性质面面垂直定定理也是线面垂直的性质)20.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。经过
11、直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。经过直线外一点，经过直线外一点，有无数条直线有无数条直线和已知直线垂直。和已知直线垂直。经过直线外一点，经过直线外一点，只有一个只有一个平面和已知直线垂直平面和已知直线垂直 三垂线定理及逆定理垂线定理及逆定理:如果平面内一条直线与平面的一条斜线如果平面内一条直线与平面的一条斜线 的射影的射影垂直则这条直线和这条斜线垂直则这条直线和这条斜线垂直垂直如果平面内一条直线与平面的一条斜线如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直
12、则这垂直则这 条直线与这条条直线与这条斜线的射影斜线的射影垂直垂直在下列条件下，在下列条件下，判断三判断三棱锥棱锥P-ABC的的顶点顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置1 1、三条侧棱相等、三条侧棱相等2 2、侧棱与底面所成的角相等、侧棱与底面所成的角相等3 3、侧面与底面所成的角相等、侧面与底面所成的角相等4 4、顶点、顶点P P到到ABCABC的三边距离相等的三边距离相等5 5、三条侧棱两两垂直、三条侧棱两两垂直6 6、相对棱互相垂直、相对棱互相垂直7 7、三个侧面两两垂直、三个侧面两两垂直外心外心外心外心内心内心内心内心垂心垂心垂心垂心垂心垂心空间中的角abbmbaABP00
13、0时时,倾斜角是锐角；当倾斜角是锐角；当k0时时,倾倾斜角是钝角，当斜角是钝角，当k=0时，倾斜角等于时，倾斜角等于0)(如何变化如何变化)注意注意:任何一条直线都有倾斜角任何一条直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率但不是所有直线都有斜率直线与方程直线与方程名称名称 已知条件已知条件 方程方程 说明说明 斜截式斜截式 斜率k纵截距b y=kx+b 不包括y轴和平行于y轴的直线 点斜式点斜式 点P1(x1,y1)斜率k y-y1=k(x-x1) 不包括y轴和平行于y轴的直线 两点式两点式 点P1(x1,y1)和P2(x2,y2) 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 截距式截距式 横截距a 纵坐标
14、b x/a +y/b =1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式一般式 Ax+By+C=0 A、B不同时为0 = 4.直线直线方程方程 l1y=k1x+b1 l2y=k2x+b2 l1A1x+B1y+C1=0l2A2x+B2y+C2=0 l1与l2组成的方程组 平行平行 k1=k2且b1b2 无解 重合重合 k1=k2且b1=b2 有无数多解 相交相交 k1k2 有唯一解 垂直垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 有唯一解 5.位置位置关系判定方法：关系判定方法： 当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件） 6.若若点点P
15、（x0，y0）在在直直线线Ax+By+C=0上上，则则有有Ax0+By0+C=0； 若若 点点 P（ x0， y0） 不不 在在 直直 线线Ax+By+C=0上，则有上，则有Ax0+By0+C0，此时到直线的距离：此时到直线的距离： 平行直线平行直线Ax+By+C1=0与与Ax+By+C2=0之间的距之间的距离为离为 在运用公式时，一在运用公式时，一定要把定要把x、y前面的前面的系数化成相等。系数化成相等。. .8.两点之间距离公式两点之间距离公式:9.(1)若一条直线过一点设成点斜式,但要注意斜不存时 (2)若知直线的斜率则设成斜,但要但要注意斜不存在时 (3)若和截距有关直线一般设成截距式
16、但要注意平行于x 轴,直于x轴,和 过原点的直线,(特别是截距相等,截距相反,截距绝对值相等,截距是几倍时)(4)看到比式想斜率，看到平方之和想距离,看到直线方程中还有第三个字母则过定点(3)过直线过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（ R）(除除l2外外) )。(1)与直线与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为平行的直线方程为 Ax+By+m=0(2)与直线与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为垂直的直线方程为Bx-Ay+m=010.直线系方程直线系方程11.对称对称
17、1点关于点对称 (利用中点坐标公式知二求一) 2线关于点对称(1)设所求直线上任意一点为(x,y)利用中点坐标公式求出它关于点的对称点往已知直线代入(2)利用所求直线与已知是平行的从而设出直线方程利用点到直线距离相等 3 点关于线对称 （利用中点在对称轴上、垂直） 4.线关于线对称(分为平行与相交)例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。点点关于点对称关于点对称解题要点解题要点：中点公式的运用：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:设设C(x,y) 则则得得x=-13y
18、=-6 例例2.求直线求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称对称的的 直线直线l 2的方程。的方程。线线关于点对称关于点对称解题要点解题要点： 法一：法一： l 2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l 1上上; 法二：法二： l 1 / l 2且且P到两直线等距。到两直线等距。解解 ：设：设A(x，y)为为L2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在L1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0 AL2L1YXOPA 例例3.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l 的方的方
19、 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l 的的 对称点对称点A的坐标。的坐标。 点点关于直线对称关于直线对称解题要点解题要点： k kAA = -1 AA中点在中点在l 上上 AAYXO(x，y)(2，6)-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0解：设解：设 A（x,y) （L为对称轴）为对称轴）例例4. 试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。线线关于线对称关于线对称L2L1L解：设解：设L方程为方程为x-y+m=0则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等
20、量关系，解方程求建立等量关系，解方程求mxoy例例5. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。 L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P L：7x+y+17=0yXO解：解：P( ， )-52-92得得在在 上任取一点上任取一点Q(2,0),求其关于求其关于 的对称点的对称点Q(x,y)L1 L2 Q(2,0), Q(x,y)3y-0x-2=-13y+0 2+3=0则则X+22求出求出Q点坐标后，两点式求点坐标后，两点式求L方程。方程。解题要点解题要点：(先判断两直线位置关系先判断两直线位置关系)（1）若）若两直线
21、相交，先求交点两直线相交，先求交点P,方法一方法一:再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q两点式两点式求求L方程方程方法二方法二:过交点设出直线方程过交点设出直线方程,再在直线再在直线 取一点取一点利用点到直线距离相等利用点到直线距离相等L1求求 关于关于 的对称直线的对称直线L的方程的方法的方程的方法L1L2则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求m(2)若若 ，设，设L方程为方程为x-y+m=0L1L2L2常见常见的对称点结论的对称点结论1. 点点 关于原点的对称点为关于原点的对称点为 ;2. 点点
22、关于点关于点 的对称点为的对称点为 ;3. 点点 关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 ; 4. 点点 关于关于y轴的对称点为轴的对称点为 ;5. 点点 关于关于y=x的对称点为的对称点为 ;6. 点点 关于关于y= -x的对称点为的对称点为 ;(-a,-b)(2m-a,2n-b) (a,-b)(b,a)(-b,-a)(-a,b)1. 直线关于原点的对称直线的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5
23、.直线关于直线直线关于直线y= -x的对称直线的的对称直线的 方程为方程为（八）圆的标准方程：（八）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心（圆心（a,b） 半径半径r0圆的一般方程：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) 圆心（圆心（-D/2,-E/2） r= 圆圆的的 （九）点与圆的位置关系（九）点与圆的位置关系设圆设圆C (x-a)2+(y-b)2=r2，点，点M(x0，y0)到圆心的距离为到圆心的距离为d，则有：则有： (1)dr 点点M在圆外；在圆外； (2)d=r 点点M在圆上；在圆上； (3)dr 点点M在圆内在圆内 （十）直线与圆的位置关
24、系（十）直线与圆的位置关系设圆设圆 C (x-a)2+(y-b)2=r2，直线，直线L的方程的方程Ax+By+C=0，圆心圆心(a，b)到直线到直线L的距离为的距离为d,判别式为判别式为，则有：，则有： (1)dr 直线与圆相交；直线与圆相交； (2)d=r 直线与圆相切直线与圆相切: (3)dr 直线与圆相离，即几何特征；直线与圆相离，即几何特征； 弦长公式：弦长公式：或或 (1)0 直线与圆相交；直线与圆相交； (2)=0 直线与圆相切；直线与圆相切； (3)0 直线与圆相离，直线与圆相离， 即代数特征，即代数特征， （十一）圆与圆的位置关系（十一）圆与圆的位置关系设圆设圆C1：(x-a)
25、2+(y-b)2=R2（R0）和圆）和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r2(r0)且设两圆圆心距为且设两圆圆心距为d，则有：，则有： (1) dR+r 两圆外离；两圆外离； (2) d=R+r 两圆外切；两圆外切； (3) R-rdRr两圆相交两圆相交 (4) d= R-r 两圆内切两圆内切 (5) dR-r 两圆内含；两圆内含；（十二）圆的切线和圆系方程（十二）圆的切线和圆系方程1过圆上一点的切线方程：圆过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为，则过此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题课本命题)2圆系方程：圆系方程：设圆设圆C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆和圆C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆若两圆相交，则过交点的圆系方程为系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0(为参数，圆系中不包括圆为参数，圆系中不包括圆C2，=-1为两圆的公共弦所为两圆的公共弦所在直线方程在直线方程)设圆设圆C x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线与直线l：Ax+By+C=0，若，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数为参数)
