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1、1.3.1 三角函数的周期性三角函数的周期性高一组高一组1.3.1三角函数的周期性三角函数的周期性 日出日落、月缺月圆、寒来暑往日出日落、月缺月圆、寒来暑往自然界中有许多自然界中有许多“按一定规律按一定规律周而复始周而复始”的现象，这种按一定规的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现律不断重复出现的现象称为周期现象。再比如人自出生之日起，人的象。再比如人自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状情绪、体力、智力等心理、生理状况也呈周期变化（称为生物节律）况也呈周期变化（称为生物节律）另外，物理学中也大量存在周期另外，物理学中也大量存在周期性运动变化，例如匀速圆周运动位性运动变化
2、，例如匀速圆周运动位置变化的周期性、简谐振动位移变置变化的周期性、简谐振动位移变化的周期性、交变电流变化的周期化的周期性、交变电流变化的周期性，等等那么数学中是如何刻画性，等等那么数学中是如何刻画这种变化规律呢？这种变化规律呢？1234-1-20xy1已知函数已知函数y=f(x),xR图像如图所示：图像如图所示：(1)f(-2)= ；f(-1)= ；f(0)= ；f(1)= ；f( )= ；(2)f(-1.5)= ； f(0.5)= ；f( )= 问题问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征你能用数学语言描述这个函数的特征吗？吗？ f(x+1)=f(x)f(x+n)=f(x)00000.50.
3、500.5n0.5+n问题问题2：你能用数学语言描述正弦函数的特征你能用数学语言描述正弦函数的特征吗？吗？ 你能用数学语言描述余弦函数的特征吗？你能用数学语言描述余弦函数的特征吗？ sin(2+x)=sinxcos(2+x)=cosxsin(2k+x)=sinxcos(2k+x)=cosx问题问题3：问题问题1、2中函数的共同特征是什么？中函数的共同特征是什么？f(x+T)= f(x) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非零的常数零的常数T，使得定义域内的每一个，使得定义域内的每一个x值，都值，都满足满足f(xT)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周
4、期就叫做周期函数，非零常数函数，非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期说明：注意定义中的说明：注意定义中的“每一个每一个x值值”.如果函数如果函数f(x)不是当不是当x取定义域内取定义域内“每一个值每一个值”时时,都有都有f(xT)=f(x)，那么，那么T就不是这个函数的周期就不是这个函数的周期 练习练习1 1 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1） 时，时， 则则 一定不一定不是是 的周期（的周期（ ） （2） 时，时， 则则 一定是一定是 的周期（的周期（ ） 问题问题4：根据诱导公式一，我们知道对每一个根据诱导公式一，我们知道对每一个常数常数2k(k Z，且，且k0)都是
5、正余弦函数的周都是正余弦函数的周期，那一般地，一个周期函数的周期有多少期，那一般地，一个周期函数的周期有多少个？为什么？个？为什么？若若T是函数的周期，则是函数的周期，则kT(k Z，且，且k0)也是也是函数的周期函数的周期. 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果如果在它所有的在它所有的周期中存在一个周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个，那么这个最小最小的正数的正数就叫做就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期 问题问题5：最小正周期的定义中，为什么要用最小正周期的定义中，为什么要用“如果如果”，是否意味着有些周期函数不存在最，是否意味着有些周期函数不存在最小正周期？如果存在，
6、请举例说明小正周期？如果存在，请举例说明 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果如果在它所有的在它所有的周期中存在一个周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个，那么这个最小最小的正数的正数就叫做就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期 如如f(x)=2,xR. 函数函数y=f(x)是周期函数吗？有是周期函数吗？有最小正周期吗？最小正周期吗？问题问题6：周期函数的图象具有什么特征？周期函数的图象具有什么特征？例例1若钟摆的高度若钟摆的高度h(mm)与时与时间间t(s)之间的函数关系如图所之间的函数关系如图所示示(1)求该函数的周期；求该函数的周期； (2)求求t10s时钟摆的高度时钟摆
7、的高度 解解:(1)由图像可知，该函数的得周期由图像可知，该函数的得周期T=1.5s (2)设设h=f(t), T=1.5s =f(1)=20故故t10s时钟摆的高度为时钟摆的高度为20mmf(10)=f(1+61.5)例例2 求下列函数的周期：求下列函数的周期： 例例2 求下列函数的周期：求下列函数的周期： 练习练习2 2 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xR（2）y=sin2x，xR； （3） ，xR ；（4）y=|sinx| xR.函数函数y=tanx是周期函数吗？是周期函数吗？那么它的周期是多少？那么它的周期是多少？它有最小正周期吗？它有最小正周期吗？它的最
8、小正周期是多少？它的最小正周期是多少？思考思考函数函数y=tan(ax)(a0)是周期函数吗？是周期函数吗？1234-1-20xy1例例3 已知函数已知函数y=f(x),xR图像如图所示图像如图所示,（1）-1,0)上的解析式为上的解析式为 ；（2）0,1)上的解析式上的解析式 ；（3）1,2)上的解析式上的解析式 ；（4）n-1,n)上的解析式上的解析式 。变式变式1： 函数函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为2，当，当14x16时，时，f(x)x1，试求当，试求当0x2时，函时，函数数f(x)的解析式的解析式 变式变式2 2：已知定义在：已知定义在R上的函数上的函数f( (x) )满足
9、：满足：f( (x+1)=+1)=f( (x-1),-1),且且当当x0,20,2时时, ,f( (x)=)=x-4-4，求求f(10)(10)的值的值. .练习练习4 4 已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)满足：满足：f(x+2)+f(x)=0，试判断，试判断f(x)是否为周期函数？是否为周期函数？1.1.函函数数的的周周期期性性是是函函数数的的一一个个基基本本性性质质，判判断断一一个个函函数数是是否否为为周周期期函函数数，一一般般以以定定义义为为依依据据，即即存存在在非零常数非零常数T T，使，使f(xf(xT)=f(xT)=f(x) )恒成立恒成立. .2.2.周周期期函函数数的的周周期期与与函函数数的的定定义义域域有有关关，周周期期函函数数不一定存在最小正周期不一定存在最小正周期. .3.3.周周期期函函数数的的周周期期有有许许多多个个，若若T T为为周周期期函函数数f(xf(x) )的周期，则的周期，则T T的整数倍也是的整数倍也是f(xf(x) )的周期的周期. .小结小结4.4.函数函数 和和 的最小正周期都是的最小正周期都是 ，这是正、，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用. .
