《一道中考压轴题多解研究1_中学教育-中考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一道中考压轴题多解研究1_中学教育-中考（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 一道中考压轴题多解研究 袁培雄 题（20XX 年南宁课改实验区）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上。6OC,10OA。 （1）如图 1，在 AB 上取一点 M，使得CBM沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作B 点。求 B 点的坐标； （2）求折痕 CM 所在直线的解析式； （3）作AB/GB交 CM 于点 G。若抛物线mx61y2过点 G，求抛物线的解析式，并判断以原点 O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点 G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。 这道中考压轴题是几何与函数综合题
2、，试题把矩形 OABC 置于直角坐标系之中，用翻折方法将矩形的一边同一直角变化位置，且令其折痕与抛物线mx61y2相交于点 G，从而求折痕 CM 所在直线与过点 G 的抛物线的解析式。从答案看，求折痕 CM 所在直线的解析式用的是 C、M 两点坐标；求抛物线mx61y2的解析式用的是 G 点坐标。从图看，若设折痕 CM 的延长线与 x 轴的交点为 N（如图 1），则折痕 CM 所在的直线上就有 C、G、M、N 四个点的坐标可求，故折痕 CM 所在的直线解析式有六种解法。由此可见，点 G 坐标在后两问求解中具有关键性作用，所以点 G 坐标的几何解法就颇有研究必要。 （1）求点B的坐标； 解：如图
3、 1，因为MCBRt是CBMRt折叠而来的。 所以CBMRtMCBRt， 所以10CBCB。 在COBRt中， 64610COCBOB22222。 学习必备 欢迎下载 所以8OB （负值舍去）。 所以点 B 坐标（8，0）。 （2）求折痕 CM 所在直线的解析式： 首先求 C、M、G、N 四点坐标； 易知点 C 坐标（0，6）。 求点 M 坐标： 解法 1：如图 1。 因为CBMRtMCBRt， 所以xAM,BMMB设 则x6BMMB。 又2810OBOAAB， 在AMBRt中， )38,10(M38AM,38x,x2)x6(,AMABMB222222坐标所以点所以解得所以 解法 2：如图 1
4、。 因为MCB180AMBOCB， 又90CBMMCB， 所以90AMBOCB。 又90OCBOCB， 所以AMBOCB。 又90AMBCOB， 所以AMBRtCOBRt。 所以ABCOAMOB， 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线
5、上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以26AM8， 所以38AM 。 所以点 M 坐标（10，38）。 求点 G 坐标： 解法 1：如图 1。 因为COBRtAMBRt（已证）， 所以6210MB,COABCBMB所以， 所以310MB 因为BA/GB， 所以CMBGMB。 因为CBMRtMCBRt， 所以CMBCMB， 所以CMBGMB， 所以310MBGB， 所以点 G 坐标)310, 8(。 解法 2
6、：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。 因为CBMRtMCBRt， 所以BCMCMB。 因为NB/CB， 所以NMBBCM， 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所
7、以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以NMBCMB， 所以NBCB。 因为90GNBMCB， 所以GNBRtMCBRt， 所以MBGB 因为310MB（已解），所以310GB， 所以点 G 坐标)310, 8(。 解法 3：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。 因为10CBNB（已证）， 所以8210ABNBAN。 又38AM （已解）， 因为GB/MA， 所以ANNBAMGB， 所以81038GB，所以310GB。 所以点 G 坐标（8，310）。 解法 4：如图 1
8、，延长 CM 交 x 轴于 N。 因为38AM, 6COAB， 所以310386AMABBM。 因为NB/CB,10CBNB， 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以
9、在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以BCMNGB。 又CBMGNB， 所以CBMGNB， 所以310BMGB。 所以点 G 坐标（8，310）。 解法 5：如图 2，延长CB交 BA 的延长线于 D。 因为AD/CO， 所以DABCOB， 所以ABOBADCO， 所以28AD6， 所以23AD 。 在222ADABDB,ADBRt中， 所以222)23(2DB， 所以)(25DB负值舍去， 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在
10、直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以10DBCBCD22525， 6252338ADMAD
11、M。 因为DM/GB， 所以CDMGCB， 所以,22510625GB,CDCBDMGB所以 所以310GB。 所以点 G 坐标)310, 8(。 解法 6：如图 3，延长 BG 交 CB 于 D。 因为310BM, 8OBCD， 因为BM/DG， 所以CBMCDG， 所以108310DG,CBCDBMDG所以， 所以，38DG 。 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛
12、物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以310386DGDBGB， 所以点 G 坐标（8，310）。 解法 7：设点 G 坐标（8,a）， 则3106831a。 所以点 G 坐标（8，310）。 求点 N 坐标。 解法 1：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。 由求点
13、G 的坐标解 3 知，AN=8， 所以18810ANOAON， 所以点 N 坐标（18，0） 解法 2：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。 因为,BC/AN所以BCMANM。 所以BMAMBCAN，所以3103810AN， 所以8AN 。 所以18810ANOAON。 所以点 N 坐标（18，0） 解法 3：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。 因为OC/AM，所以OCNAMN， 所以AMOCANON，所以AMOCOCOAON， 所以386610ON， 所以18ON 。 所以点 N 坐标（18，0）。 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所
14、在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 其次，求折痕 CM 所在直线的解析式： 设折痕 CM 所
15、在直线的解析式为 bkxy。 解法 1：由 C（0，6），M（10，38）两点组成方程组： bk1038, bk06 解得6b,31k。 所以6x31y。 解法 2：由 G（8，310），M（10，38）两点组成方程组： , bk1038, bk8310 解得6b,31k 所以6x31y。 解法 3：由 M（10，38），N（8，0）两点组成方程组： , bk180, bk1038 解得6b,31k。 所以6x31y。 解法 4：由 C（0，6），N（18，0）两点组成方程组： , bk180, bk06 解得6b31k。 所以6x31y。 所以折痕 CM 所在直线的解析式为 为原点点在轴上点
16、在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备
17、欢迎下载 6x31y。 其余两种解法留给读者。 （3）求过点 G 抛物线mx61y2的解析式： 解：由上面解法知点 G 坐标（8，310）。 因为m8613102， 所以322m， 所以322x61y2。 除交点 G 外，另有交点为点 G 关于 y 轴的对称点 G ，其点 G 坐标（8，310） 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以
