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1、 20.2.2 人教版八年级数学（下册） 第二十章数据的统计方差方差 在某旅游景区上山的一条在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低小路上，有一些断断续续高低不等的台阶。如图是其中的不等的台阶。如图是其中的甲甲、乙乙两段台阶路的示意图。请你两段台阶路的示意图。请你用极差的知识说说，哪段台阶用极差的知识说说，哪段台阶路走起来更舒服？为什么？路走起来更舒服？为什么？151616141415111518171019甲甲乙乙解：甲段台阶走起来更舒服些解：甲段台阶走起来更舒服些 因为甲段台阶的极差为因为甲段台阶的极差为2，乙段台阶的极差为乙段台阶的极差为8。甲段台阶。甲段台阶的极差比乙段台阶的极
2、差小。的极差比乙段台阶的极差小。在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下： 甲队甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 两队参赛选手的平均年龄分别是多少？两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ 用图表整理这用图表整理这两组数据，分两组数据，分析画出的图表，析画出的图表，看看你能得出看看你能得出哪些结论？哪些结论？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？解：（解：（1）S2= (x1-x)2+(x2-x)
3、2+ +(xn-x)2 如果一组数据中有如果一组数据中有n个数据个数据X1、X2Xn,它它们的平均数们的平均数X，则方差为，则方差为计算方差的步骤可概括为计算方差的步骤可概括为“先平均，后先平均，后求差，平方后，再平均求差，平方后，再平均”.思考：思考：1，当数据比较分散时，方差值怎样？，当数据比较分散时，方差值怎样？2，当数据比较集中时，方差值怎样？，当数据比较集中时，方差值怎样？3、方差大小与数据的波动性大小有怎样、方差大小与数据的波动性大小有怎样的关系？的关系？S2= (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 现在你能说说两队参赛选手年龄的现在你能说说两队参赛选手年龄的波动波动
4、的情况吗？的情况吗？ 方差用来衡量一批数据的波动大小方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小即这批数据偏离平均数的大小).S甲甲2= (26-26.9)2+(25-26.9)2+ +(29-26.9)2 =2.89S乙乙2= (28-26.9)2+(27-26.9)2+ +(26-26.9)2 =0.89 方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定. 方差越小方差越小,说明数据的说明数据的波动越小波动越小,越稳定越稳定S甲甲2S乙乙2 乙的波动小些，数据更稳定乙的波动小些，数据更稳定 品种品种 各试验田每公顷产量各试验田每公顷产量 (单位单位:
5、吨吨) 甲甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41 乙乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49农科院对甲农科院对甲,乙两种甜玉米各用乙两种甜玉米各用10块试验田进行块试验田进行试验试验,得到两个品种每公顷产量的两种数据得到两个品种每公顷产量的两种数据:根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？子提出怎样的建议？说明在说明在试验田试验田中中,甲甲,乙两种甜玉米的平均乙两种甜玉米的平均产量相差不大产量相差不大,由此估计在由此估计在这个地区这个地区种植种植这两种甜玉米这
6、两种甜玉米,它们的平均产量相差不大它们的平均产量相差不大.用计算器算得样本数据的平均数是：用计算器算得样本数据的平均数是：X甲甲7.54X乙乙7.52用计算器算得样本数据的方差是：用计算器算得样本数据的方差是：S2甲甲0.01,S2乙乙0.002 得出得出 S2甲甲S2乙乙说明在试验田中说明在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定乙种甜玉米的产量比较稳定,进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定产量比甲的稳定. 综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性定性,可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米可以推测这个地区更适
7、合种植乙种甜玉米.解：解： 为了选拔一名同学参加某市中学生射击竞赛，为了选拔一名同学参加某市中学生射击竞赛， 某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试， 两人在相同条件下各射靶两人在相同条件下各射靶10次次. =7768678759乙成绩乙成绩（环数）（环数） =57109568677甲成绩甲成绩（环数）（环数）X甲甲X乙乙77大家想想，我们应选甲还是乙，能否用你大家想想，我们应选甲还是乙，能否用你前面学的知识解决一下？前面学的知识解决一下？思考：大家想一想，射击运动应重点强调运动员思考：大家想一想，射击运动应重点强调运动员的什么方面的素质的什么方面的
8、素质?引入引入中位数中位数众数众数7777年 龄(岁)24 25 26 27 28 29频 甲队 1 1 2 1 4 1数 乙队 0 1 2 4 3 0甲队选手的年龄分布甲队选手的年龄分布2324252627282930012345678910 11数据序号年龄乙队选手的年龄分布乙队选手的年龄分布23242526272829300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011数据序号年龄比较两幅图可以看出：比较两幅图可以看出：甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大乙队选手的年龄与其平均年龄的偏差较小乙队选手的年龄与其平均年龄的偏差较小能否用一个量来刻画它的波动
9、呢？能否用一个量来刻画它的波动呢？ 计算下面数据的平均数和方差，体会方差计算下面数据的平均数和方差，体会方差 是怎样刻画数据的波动程度的。是怎样刻画数据的波动程度的。（1）6 6 6 6 6 6 6 （2）5 5 6 6 6 7 7（3）3 3 4 6 8 9 9 （4）3 3 3 6 9 9 9解解（1）X=62S =0(2) X=6 S = (3)X=6 S = (4)X=6 S =75427442742 方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定. 方差越小方差越小,说明数据的说明数据的波动越小波动越小,越稳定越稳定 练习：练习： 1 1。样本方差的作用是（
10、。样本方差的作用是（ ） （ A) A)表示总体的平均水平表示总体的平均水平 （B B）表示样本的平均水平）表示样本的平均水平 （C C）准确表示总体的波动大小）准确表示总体的波动大小 （D D）表示样本的波动大小）表示样本的波动大小 2. 2. 在样本方差的计算公式在样本方差的计算公式 数字数字10 10 表示（表示（ ）数字）数字2020表示（表示（ ）3.3.一个样本的方差是零，若中位数是一个样本的方差是零，若中位数是a,a,则它的平均数是（则它的平均数是（ ） （A A）等于）等于 a (B) a (B)不等于不等于a (C)a (C)大于大于a ( Da ( D）小于）小于a a 4
11、. 4. 从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里, ,各抽取一个容量足够大各抽取一个容量足够大 的的 样本样本, ,分别统计单株玉米的产量分别统计单株玉米的产量. .结果结果: : = =下列下列 给出对两块玉米地的五种估计给出对两块玉米地的五种估计, ,哪几种是有道理的哪几种是有道理的? ? (1) (1)甲块田平均产量较高甲块田平均产量较高 (2) (2)甲块田单株产量比较稳定甲块田单株产量比较稳定 (3) (3)两块田平均产量大约相等两块田平均产量大约相等 (4) (4)两块田总产量大约相等两块田总产量大约相等 (5) (5)乙块田总产量较高乙块田总产量较高
12、D样本容量样本容量样本平均数样本平均数A 练习：练习： 1 1。样本方差的作用是（。样本方差的作用是（ ） （ A) A)表示总体的平均水平表示总体的平均水平 （B B）表示样本的平均水平）表示样本的平均水平 （C C）准确表示总体的波动大小）准确表示总体的波动大小 （D D）表示样本的波动大小）表示样本的波动大小 2. 2. 在样本方差的计算公式在样本方差的计算公式 数字数字10 10 表示（表示（ ）数字）数字2020表示（表示（ ）3.3.一个样本的方差是零，若中位数是一个样本的方差是零，若中位数是a,a,则它的平均数是（则它的平均数是（ ） （A A）等于）等于 a (B) a (B)
13、不等于不等于a (C)a (C)大于大于a ( Da ( D）小于）小于a a 4. 4. 从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里, ,各抽取一个容量足够大各抽取一个容量足够大 的的 样本样本, ,分别统计单株玉米的产量分别统计单株玉米的产量. .结果结果: : = =下列下列 给出对两块玉米地的五种估计给出对两块玉米地的五种估计, ,哪几种是有道理的哪几种是有道理的? ? (1) (1)甲块田平均产量较高甲块田平均产量较高 (2) (2)甲块田单株产量比较稳定甲块田单株产量比较稳定 (3) (3)两块田平均产量大约相等两块田平均产量大约相等 (4) (4)两块田
14、总产量大约相等两块田总产量大约相等 (5) (5)乙块田总产量较高乙块田总产量较高5.刘翔刘翔为了备战为了备战2008年奥运会，刻年奥运会，刻苦进行苦进行110米跨栏训练，为判断他米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他的成绩是否稳定，教练对他10次训次训练的成绩进行统计分析，则教练需练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这了解刘翔这10次成绩的（次成绩的（ ）A、众数、众数 B、方差、方差 C、平均数、平均数 D、频数频数B,提高题提高题：观察和探究。观察和探究。 （1）观察下列各组数据并填空）观察下列各组数据并填空 A.1、2、3、4、5 B.11、12、13、14、15 C.10、2
15、0、30、40、50 D.3 、5、7、9、11 （2）分别比较）分别比较 A与与 B 、 A与与C、 A与与D的计算结果，的计算结果，你能发现什么规律？你能发现什么规律？（3）若已知一组数据）若已知一组数据 的平均数是的平均数是 ,方方差是差是 ,那么另一组数据那么另一组数据的平均数是的平均数是 ( ) , 方差是方差是( ).=3213230200783x-29s2规律；有两组数据，设其平均数分别为规律；有两组数据，设其平均数分别为 , 方差分别为方差分别为 , (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据增加当第二组每个数据比第一组每个数据增加m个单位时，个单位时， 则有则有 了了 (2)
16、当第二组每个数据是的第一组每个数据当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时倍时, 则有则有 (3) 当第二组每个数据是的第一组每个数据当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加倍加 m 时时,则有则有= +m, =n = =n +m = 例例2. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖，参加表演的女演员的身高表演了舞剧天鹅湖，参加表演的女演员的身高(单位：单位：cm)分别是分别是 甲团甲团 163 164 164 165 165 166 166 167 乙团乙团 163 165 165 166 166 167 168 168哪个芭
17、蕾舞团女演员的身高更整齐？哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？S甲甲2=1.5S乙乙2=2. 5 S甲甲2 S乙乙2甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐解：解：165X=甲166X=乙2、某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，为了保持公司信誉，公司严把、某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，为了保持公司信誉，公司严把鸡腿的进货质量，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，鸡腿的进货质量，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确定选购哪家公司
18、的鸡腿，检查人员以两家的鸡腿中各抽取定选购哪家公司的鸡腿，检查人员以两家的鸡腿中各抽取15个鸡腿，记录个鸡腿，记录它们的质量如下（单位：它们的质量如下（单位：g）：）：甲甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73乙乙 75 73 79 72 76 71 73 7278 74 77 78 80 71 75根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？因为 ，所以选择甲厂鸡腿加工。3、为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识、为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相
19、同条件下对他们的电脑知识进行竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，次测验，成绩（单位：分）如下：成绩（单位：分）如下：甲的甲的成绩成绩76849084818788818584乙的乙的成绩成绩82868790798193907478（1）填写下表：）填写下表：同学同学平均成平均成绩绩中位数中位数众数众数方差方差85分以分以上的频上的频率率甲甲84840.3乙乙84843484900.514.4（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价两名同学的成绩进行评价从众数看，甲成绩的众数为从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数分
20、，乙成绩的众数是是90分，乙的成绩比甲好；分，乙的成绩比甲好；从方差看，从方差看，s2甲甲=14.4， s2乙乙=34，甲的成绩比，甲的成绩比乙相对稳定；乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是都是84分，两人成绩一样好；分，两人成绩一样好；从频率看，甲从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好。甲好。谈谈自己这节课你学到了什么？谈谈自己这节课你学到了什么？1.方差方差:各数据与平均数的差的平方的平均数各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差叫做这批数据的方差.S2= (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 2.方差用来衡量一批数据的波动大小方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小即这批数据偏离平均数的大小). 在样本容量相同的情况下：在样本容量相同的情况下： 方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定. 方差越小方差越小,说明数据的说明数据的波动越小波动越小,越稳定越稳定.
