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1、第六章第六章 二次规划二次规划quadratic program1二次规划简介二次规划简介2等式约束二次规划等式约束二次规划3 方法方法1 直接变量消去法直接变量消去法4 方法方法2 Lagrange乘子法乘子法模型的建立模型的建立设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为n。设此设此n中中金融资产的年收益为金融资产的年收益为随机变量随机变量 。由于我们。由于我们主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为1个单位，用个单位，用于第于第j中投资的资金比例为中投资的资金比例为 ， 令令称为投资组合向量，显然应有：称为投
2、资组合向量，显然应有：投资一年的收益投资一年的收益 也是一个随机变量，期望收益为也是一个随机变量，期望收益为马马库库维维茨茨建建议议用用随随机机变变量量 （组组合合投投资资收收益益）的的方方差差作作为为投投资资风险的度量，即风险的度量，即设随机向量的数学期望为设随机向量的数学期望为 ，自协方差矩阵为自协方差矩阵为那么那么投投资资者者一一般般希希望望收收益益越越大大越越好好，风风险险越越小小越越好好。但但收收益益大大和和风风险险小小往往往往是是两两个个有有矛矛盾盾的的目目标标，因因此此马马库库维维茨茨将将问问题题归归结结为为：将将风风险险控控制制在在一一定定水水平平之之下下，选选择择投投资资组组
3、合合使使期期望望收收益益最最大大；或或者者在在收收益益不不低低于于某某个个水水平平前前提提下下使使投投资资的的风风险险最最小小。这样就有以下两个马库维茨组合投资优化模型。这样就有以下两个马库维茨组合投资优化模型。其中其中r是预定的风险水平是预定的风险水平. .第一个模型是第一个模型是控制风险控制风险, 优化收益优化收益模型模型第二个模型是第二个模型是控制收益，极小化风险控制收益，极小化风险的模型的模型还可将还可将收益和风险指标进行加权平均收益和风险指标进行加权平均，得到如下模型，得到如下模型其中，其中， 是一个适当选取的常数是一个适当选取的常数.由由于于在在 中中包包含含了了各各分分量量的的二
4、二次次项项，这这三三个个模模型型均均为为二次规划二次规划模型模型.模型的求解和应用模型的求解和应用 上上述述三三个个模模型型中中均均需需要要用用到到随随机机变变量量 的的数数学学期期望望和和协协方方差差矩矩阵阵，这这可可以以通通过过对对前前若若干干年年的的各各资资产产收收益益的的统统计计分分析析获获得得.而而这这些些二二次次规规划划问问题题在在系系数数确确定定后后可用软件（如可用软件（如LINDO/LINGO）求解求解.补充内容：二次规划问题补充内容：二次规划问题Matlab求解求解二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为： sub.to 其中，H、A、Aeq为矩
5、阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式. MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值.x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件.x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界.x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = qu
6、adprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数.x,fval = quadprog() %fval为目标函数最优值.x,fval,exitflag = quadprog() % exitflag与线性规划中参数意义相同.x,fval,exitflag,output = quadprog() % output与线性规划中参数意义相同.x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog() % lambda与线性规划中参数意义相同 . 例 求二次规划的最优解 max f (x1, x2)=x1x2+
7、3 sub. to x1+x2-2=0解：化成标准形式： sub.to x1+x2=2在Matlab中实现如下：H=0,-1;-1,0;f=0;0;Aeq=1 1;b=2;x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f, , ,Aeq,b)结果为：x = 1.0000 1.0000fval =-1.0000exitflag =4output = iterations: 1 algorithm: large-scale: projective preconditioned conjugate gradients f irstorderopt: 0 cgiterations: 1 message: Optimization terminated: local minimum found; the solution is singular. lambda = eqlin: 1.0000 ineqlin: lower: upper:
