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1、定积分的物理应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望微元法的微元法的步骤步骤和和关键关键:复习复习微元法微元法（定积分概念的一个简化）定积分概念的一个简化）1. .将将非均匀分布在非均匀分布在区间区间 a, ,b 上的所求总量上的所求总量A分割分割成成分布在各子区间的分布在各子区间的局部量局部量 , ,. . . . .A必须对区间必须对区间 a, ,b 具有具有可加性可加性，即即2.关键的一步关键的一步确定确定部分部分量量 的的近似值近似值, ,
2、只需考虑任意小区间只需考虑任意小区间x, x+dx上部分量的近似值，上部分量的近似值，小微元小微元d A条条3. 对小微元对小微元取定积分取定积分条条扇形扇形xyo 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕绕 x 轴旋转一轴旋转一周所成的立体体积周所成的立体体积体积元素体积元素薄片薄片计算体积计算体积求旋转体体积求旋转体体积柱壳法柱壳法: p286.19abf (x)yx0曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕绕 y 轴轴xdxabyx0xf (x)dx内表面积内表面积dV=2 x f (x)dx壳壳0ab利用均匀细杆质量利用均匀细杆质
3、量一一 、求、求线密度为线密度为思考：思考：非均匀分布在一个细杆上的非均匀分布在一个细杆上的能量、电量、热量能量、电量、热量怎么求？怎么求？例例1. .解：解：03p292.1y二二 、变力沿直线所作的功、变力沿直线所作的功设物体在连续设物体在连续变力变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 x a 移动到移动到力的方向与运动方向力的方向与运动方向平行平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .在其上所在其上所作功微元作功微元因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 上所作的功为上所作的功为利用常力作功利用常力作功例例1. 有一圆锥形储水池有一圆锥形储水池,深深15m,口径口径20m,尖头在下
4、尖头在下,盛满水盛满水, 今将水抽干今将水抽干, 需作功多少？需作功多少？p292.6解解: :yxO10 15-10如图建立坐标系如图建立坐标系取任一小区间取任一小区间x, x+dx，这一薄层水这一薄层水的重力为的重力为做功微元做功微元斜线方程为斜线方程为做功做功 例例2.半径为半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重球的比重与水相同与水相同, 从水中取出球从水中取出球, 做功多少做功多少(p293.7)解：解：yx02r选取选取x为积分变量，其变化区间为积分变量，其变化区间 0,2r（注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）注意：球比重与
5、水相同，即在水上方的行程中才做功）重力微元：重力微元：在小区间在小区间x, x+dx上相应的球上相应的球体体 薄片薄片随球体离开水面后，随球体离开水面后，在水上方的行程在水上方的行程做功微元做功微元做功做功面积为面积为 A 的平板的平板三、液体侧压力三、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强: 当平板与水面平行时当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受所受侧压力侧压力问题就需用积分解决问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为 在端面建立坐标系在端面建立坐标系.解解例例1. 建立坐标系如图建立坐标系如图.解：解：例例2
6、.压力元压力元四、引力问题四、引力问题质量分别为质量分别为的的质点质点 , 相距相距 r ,二者间的引力二者间的引力 :大小大小:方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力, 则需用积分解决则需用积分解决 .将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点 建立坐标系如图建立坐标系如图.解解例例1.小段与质点的距离为小段与质点的距离为水平方向的分力元素为水平方向的分力元素为注意：注意：引力元的方向各不引力元的方向各不相同，这些力不能直接按相同，这些力不能直接按数量相加，因而也不能直数量相加，因而也不能直接积分。接积分。例例2. .有一半径为有一半径为r 的的
7、均匀均匀半圆弧，质量为半圆弧，质量为m，求它求它对对位于圆心处的单位质量质点的引力。位于圆心处的单位质量质点的引力。P292.12解：解：(1)建立如图的坐标系建立如图的坐标系,确定积分变量和积分区间确定积分变量和积分区间：0y xr-r设线密度为设线密度为 取取 为积分变量，则为积分变量，则(2) 求微元：求微元：对对将将 对应的弧长质量看成一个质点对应的弧长质量看成一个质点, , 则则 对应的弧长质量为对应的弧长质量为 0y xr-r它对单位质点的它对单位质点的引力微元引力微元为为由对称性知由对称性知所以有所以有(3) 求定积分：求定积分： 把对位于圆心处的单位质量质点的把对位于圆心处的单
8、位质量质点的引力表示成定积分计算得引力表示成定积分计算得 故圆弧对质点的引力为故圆弧对质点的引力为方向从圆心指向半圆弧方向从圆心指向半圆弧的中点，即的中点，即 轴方向轴方向. . 小结小结：1.1.定积分可以計算定积分可以計算非均匀分布非均匀分布在某在某区间区间的量。的量。微微元法元法-建立所求量的积分表达式。建立所求量的积分表达式。2.2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量适当适当的置于坐标系下，利用的置于坐标系下，利用以以不不变变代代变变，以直代曲，以直代曲的思想方法确定出的思想方法确定出小微元小微元。3.3.小微元的小微元的几何形状几何形状常取为：条、带、段、环、常取为：条、带、段、环、扇、片、壳等。扇、片、壳等。4.4.应用定积分解决实际问题时，当然还需要应用定积分解决实际问题时，当然还需要使用使用其它一些常识。其它一些常识。5.微元法将用于在微元法将用于在多元积分学的应用多元积分学的应用。
