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1、CH1 行行 列列 式式例例 计算算 解解: 第一行的第一行的-1倍加到以下各行倍加到以下各行, 可得爪形行列式可得爪形行列式CH1 行行 列列 式式称称 为元素元素 aij aij 的代数余子式的代数余子式余子式余子式 : :在在n n 阶行列式中，划去元素行列式中，划去元素 所在的第所在的第i i行与行与第第j j列，剩下的元素按原来的相列，剩下的元素按原来的相对位置所排成的位置所排成的n-1 n-1 阶行列式，叫做原行列式中元素行列式，叫做原行列式中元素 的余子式，的余子式，记作作 Mij Mij ； 例如例如: :的元素的元素x x 的余子式的余子式为代数余子式代数余子式为代数余子式代
2、数余子式: 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 行列式按行行列式按行行列式按行行列式按行( ( ( (列列列列) ) ) )展开展开展开展开CH1 行行 列列 式式 证证明明 由性由性质质1.41.4与行列式定与行列式定义义可以可以证证明明该该性性质质. .行列式定义行列式定义定理定理 行列式等于它的任一行的各元素与其代数余子式的乘积行列式等于它的任一行的各元素与其代数余子式的乘积之和，即之和，即:CH1 行行 列列 式式阐明明 ：该性性质又称又称为行列式的按行展开定理；行列式的按行展开定理； 同理也有按列展开定理：同理也有按列展开定理：在在实践运用中践运用中, ,经常常选取零元素
3、取零元素较多的一行或列多的一行或列, ,按按该行行或列施行展开或列施行展开, ,到达降到达降阶、简化化计算的目的。算的目的。意意义 ： 实现实现了了n 阶阶行列式到行列式到n-1阶阶行列式的降行列式的降阶变换阶变换；CH1 行行 列列 式式例例解解: 按第二行展开按第二行展开但是但是,CH1 行行 列列 式式推推论 行列式的任一行列的各元素与另一行列行列式的任一行列的各元素与另一行列对应元元素的代数余子式的乘素的代数余子式的乘积之和等于之和等于0，即，即阐明：明：该性性质与按行展开定理合并可得公式：与按行展开定理合并可得公式：CH1 行行 列列 式式将行列式的第将行列式的第j行元素行元素换成第
4、成第i行元素行元素,再按照第再按照第j行展开行展开:证明证明:CH1 行行 列列 式式1.1.第一第一节中关于二元、三元中关于二元、三元线性方程性方程组的解法，可否的解法，可否推行至四元、五元推行至四元、五元乃至乃至n n元的元的线性方程性方程组的求解？的求解？一、一、问题的提出：的提出：根据此方式可否推出根据此方式可否推出n个个未知数未知数n个方程的线性方个方程的线性方程组解的情形程组解的情形?2 2、由三元线性方程组所作的讨论可知、由三元线性方程组所作的讨论可知, ,假设线性方程假设线性方程 组的系数行列式组的系数行列式 那么解可表示为那么解可表示为1.4 1.4 1.4 1.4 克拉默克
5、拉默克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)(Cramer)(Cramer)法那么法那么法那么法那么CH1 行行 列列 式式二、二、含有含有n个未知量个未知量n个方程的个方程的线性方程性方程组(1)系数行列式系数行列式记为D D 是D中第j列元素换成常数项所得.CH1 行行 列列 式式【定理】克拉默法那么假设线性方程组【定理】克拉默法那么假设线性方程组(1)的系数的系数行列式行列式 ，那么存在独一解，那么存在独一解.留意留意: : 克莱姆法那么只适用于包含克莱姆法那么只适用于包含n个未知量个未知量n个方个方程程,并且系数行列式不并且系数行列式不为零的零的线性方程性方程组.用克莱姆法那么求解
6、用克莱姆法那么求解线性方程性方程组,在普通在普通情况下情况下,要要计算算n+1个个n阶行列式行列式,计算量很算量很大大.CH1 行行 列列 式式例例1 1 解解线性方程性方程组解解:=27利用公式利用公式 同理可求同理可求: :CH1 行行 列列 式式三三 关于关于齐次次线性方程性方程组的的结论: :当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 不全为不全为0 0时时, , 线性方程组线性方程组(1)(1)叫做非齐次线性方程组叫做非齐次线性方程组. . (1)当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 全为全为0 0时时, , 线性方程组线性方程组(2)(2)叫做齐次线性方程组叫做齐
7、次线性方程组. . (2) 一定是一定是(2)(2)的解的解, , 这个解叫做这个解叫做齐次线性方程组齐次线性方程组(2)(2)的零解的零解. .假假设一一组不全不全为零的数是零的数是(2)(2)的解的解, , 那么那么这个解个解叫做叫做齐次次线性方程性方程组(2)(2)的非零解的非零解. .CH1 行行 列列 式式【定理】假设齐次线性方程组【定理】假设齐次线性方程组(2)的系数行列式的系数行列式 那么该齐次线性方程组那么该齐次线性方程组(2)没有非零解，没有非零解，即只需零解即只需零解.等价命等价命题: : 假假设齐设齐次次线线性方程性方程组组(2)(2)有非零解，那么有非零解，那么该齐该齐
8、次次线线性方程性方程组组的系数行列式必的系数行列式必为为零。零。 CH1 行行 列列 式式例例2 2 问问 为何值时，齐次线性方程为何值时，齐次线性方程组组有非零解有非零解? ?分析分析: :假假设齐次次线性方程性方程组有非零解，那么系数行列式有非零解，那么系数行列式D=0. D=0. 由由D=0D=0线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何CH1 行行 列列 式式知识构造知识构造一一行列式的定行列式的定义二二行列式的性行列式的性质三三行列式的展开行列式的展开四四四四 行列式的行列式的计算算五五五五 行列式的运用行列式的运用CH1 行行 列列 式式一一n n阶行列式的定行列式的定义 二逆序
9、数二逆序数 2、定理：、定理：A、对换对换改改动陈动陈列的奇偶性。列的奇偶性。 1、定、定义义：陈陈列的逆序列的逆序总总和称和称为该陈为该陈列的逆序数。列的逆序数。C、恣意一个、恣意一个n级陈级陈列列经过经过一系列一系列对换对换 变变成自然成自然陈陈列，并且所作列，并且所作对换对换次数的次数的 奇偶性与奇偶性与这这个个陈陈列的奇偶性一列的奇偶性一样样。B、n级级全全陈陈列中列中 n2 ，奇偶各占一半，奇偶各占一半 一一 行列式的定义行列式的定义CH1 行行 列列 式式例例: 写出四写出四阶行列式中含有行列式中含有a11 a23的的项.解解: 四四阶行列式中含有行列式中含有a11 a23的的项形
10、如形如:a11 a23 a3i a4j当当i=2，j=4时, (-1) (1324) a11 a23 a32 a44 = -a11 a23 a32 a44当当i=4，j=2时, (-1) (1342) a11 a23 a34 a42 = a11 a23 a34 a42CH1 行行 列列 式式例例: :解解:CH1 行行 列列 式式性性质1 1：行列式与它的：行列式与它的转置行列式相等。置行列式相等。 推推论：假：假设行列式的两行列完全相等，此行列式行列式的两行列完全相等，此行列式为零。零。 性性质2 2：互：互换行列式的两行列，行列式行列式的两行列，行列式变号。号。 推推论 ：假：假设行列式中
11、某一行行列式中某一行(列列)的元素全的元素全为零，那么此零，那么此行行 列式等于零。列式等于零。 性性质5 5：假：假设行列式的某一行列的元素都是两数之和行列式的某一行列的元素都是两数之和, , 那么那么 此行列式等于两个行列式之和。此行列式等于两个行列式之和。性性质3 3：行列式的某一行列中一切的元素都乘以同：行列式的某一行列中一切的元素都乘以同 一数一数k k，等于用数，等于用数k k乘此行列式。乘此行列式。 性性质4 4：假：假设行列式中有两行行列式中有两行( (列列) )成比例成比例, ,那么此行列式等于零。那么此行列式等于零。 推推论：行列式中某一行列的一切元素的公因子可：行列式中某
12、一行列的一切元素的公因子可 以提到行列式符号的外以提到行列式符号的外边。性性质6 6：把行列式的某一行：把行列式的某一行 列的各元素乘以同一数，列的各元素乘以同一数， 然后加到另一行列然后加到另一行列对应的元素上去的元素上去, ,行列式不行列式不变. .二二 行列式的性质行列式的性质CH1 行行 列列 式式定理定理三三 行列式按行列展开行列式按行列展开CH1 行行 列列 式式四四 行列式的计算行列式的计算思思绪一一: 利用定利用定义例例CH1 行行 列列 式式解：解：分析分析:当行列式的各行当行列式的各行(列列)的一切元素之和相等的一切元素之和相等时,可将可将各列各列(行行)的元素都加到第一列
13、的元素都加到第一列(行行)的元素上去的元素上去.思思绪二二: 利用性利用性质例例CH1 行行 列列 式式上三角形上三角形思索思索:CH1 行行 列列 式式例例解解: 将第一行的将第一行的-1倍分倍分别加到其他各加到其他各行行CH1 行行 列列 式式思索思索:CH1 行行 列列 式式例例解解: 按第二行展开按第二行展开但是但是,思思绪三三: 利用行列展开利用行列展开CH1 行行 列列 式式1 1、三角行列式、三角行列式 上三角、下三角、上三角、下三角、对对角行列式角行列式 2 2、范德蒙行列式、范德蒙行列式 重要行列式重要行列式 : : 思思绪四四: 利用重要行列式利用重要行列式CH1 行行 列
14、列 式式例例:解解: 将第一行的将第一行的3倍加到最后一行倍加到最后一行CH1 行行 列列 式式五五 行列式的运用行列式的运用 【1】假设线性方程组的系数行列式】假设线性方程组的系数行列式 , 那么存在独一解那么存在独一解. 【2】假设线性方程组无解或有多个不同的解，】假设线性方程组无解或有多个不同的解， 那么系数行列式那么系数行列式 【3】假设齐次线性方程组的系数行列式】假设齐次线性方程组的系数行列式 , 那么存在独一零解那么存在独一零解. 【4】假设齐次线性方程组有非零解，】假设齐次线性方程组有非零解， 那么系数行列式那么系数行列式 克拉默法那么克拉默法那么CH1 行行 列列 式式作作业 P20 6, 7 P20 6, 71 1
