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1、？容斥问题？容斥问题容容包括包括斥斥排除排除测一测测一测661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这一排共有几个人？ 2、洗好的、洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 827=9（个）（个）答：一共要答：一共要9个夹子。个夹子。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。应
2、从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质的分类，那么具有性质1或性质或性质2的事物个数等的事物个数等于性质于性质1性质性质2减去它们的共同性质。减去它们的共同性质。学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有琴的有24人，会弹电子琴的有人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都人，其中两种乐器都会演奏的有会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？人。这个文艺组一共有多少人？ 拉手拉手风琴风琴的人的人数：数：2424人人弹电弹电子琴子琴的人的人数：数：1717人人
3、两种两种都会都会弹的弹的人数：人数：8 8人人？人？人24178=33（人）（人）答：一共有答：一共有33人。人。容斥原理：容斥原理：1 1、找找分的类：分的类：2 2类类 找找1 1、2 2类共有的类共有的2 2、2 2类的类的总个数总个数等于等于2 2类的类的和减去和减去它们的共有它们的共有的。的。例例1、五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有人，数学优秀的有87人。人。语文、数学都优秀的有语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？人，问
4、五年级一共有多少人？试试试试： 语文语文优秀优秀的人的人数：数：6565人人数学数学优秀优秀的人的人数：数：8787人人两科两科都优都优秀的秀的人数：人数：3030？人人658730=122（人）（人）答：五年级一共有答：五年级一共有122人。人。四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有至少参加一个小组，有25人参加数学小组，人参加数学小组，23人参加人参加科技小组，有科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（人两个小组都参加了。那么四（-）班）班一共有多少人？一共有多少人？练一练练一练252319=29（人）（人）答：
5、一共有答：一共有29人。人。一班有一班有48人，班主任在班会上问：人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请谁做完了语文作业？请举手举手”有有37人举手，又问：人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手谁做完了数学作业？请举手”有有42人举人，最后问：人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举谁语文、数学作业都没做完？请举手手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？数是多少个？ 做完做完语文语文的人的人数：数：3737人人做完做完数学数学的人的人数：数：4242人人两科两科做完做完的人的人数：数：？48人人374248
6、=31（人）（人）答：这个班语文、数学作业都做完的人数是答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。人。例2、五年级有五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀人，数学优秀的有的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？人。语文、数学都优秀的有多少人？试试试试： 语文语文优秀优秀的人的人数：数：6565人人数学数学优秀优秀的人的人数：数：8787人人两科两科做完做完的人的人数：数：？122人人6587122=30（人）（人）答：语文、数学都优秀的有答：语
7、文、数学都优秀的有30人。人。在在1到到100的全部自然数中，既不是的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是的倍数，也不是6的倍数的倍数有多少个？有多少个？ 5 5的倍的倍数的数的个数个数数：数：6 6的倍的倍数的数的个数：个数：3030的的倍数倍数的个的个数：数：？个？个1005=20（个）（个）答：有答：有67个。个。不是不是5的倍数；的倍数；不是不是6的倍数；的倍数；不是不是30的倍数的倍数5的倍数的个数；的倍数的个数；6的倍数的个数；的倍数的个数；30的倍数的个数的倍数的个数1006=16 （个）（个） 410030=3 （个）（个） 1020163=33 （个）（个）10033=67
8、（个）（个）例例3、全班学生全班学生40人，爱好音乐的有人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？好舞蹈又爱好美术？ 例4、 182193140=4440=4（人）（人） 答：有答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。人既爱好舞蹈又爱好美术。某班有学生某班有学生50人，其中人，其中35人会游泳，人会游泳，38人会
9、骑自行人会骑自行车，车，40人会溜冰，人会溜冰，46人会打乒乓。问人会打乒乓。问四项活动都会四项活动都会的的至少至少有多少人？有多少人？ 例5、 一项不会的一项不会的就不符合就不符合 一项不会的一项不会的尽可能的多，尽可能的多，即考虑重复的即考虑重复的 不会游泳的：不会游泳的： 5035=15（人）（人） 不会骑自行车的：不会骑自行车的： 5038=12（人）（人） 不会溜冰的：不会溜冰的： 5040=10（人）（人） 不会打乒乓的：不会打乒乓的： 5046=4（人）（人）四项都会的至少有：四项都会的至少有： 50（1512104）=9（人）（人）练一练练一练2分钟你分钟你能做完能做完吗？吗？
10、 第第51页举一反三第页举一反三第4题题作业：第作业：第52页熟能生巧（页熟能生巧（1）、）、（2）做在作业本上（要求：不抄）做在作业本上（要求：不抄题，标清题号，字迹工整整洁，题，标清题号，字迹工整整洁，做完后请家长签字。）做完后请家长签字。）复习容斥问题例复习容斥问题例1、例、例2，预习例，预习例3、例、例4 课后过关：课后过关：一个旅行社有一个旅行社有36人，其中会英语的有人，其中会英语的有24人，会法人，会法语的语的18人，两样都不会的有人，两样都不会的有4人。两样都会的有人。两样都会的有多少人？多少人？ 容斥原理（第二讲）容斥原理（第二讲）某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假
11、里都参加体育训在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队练队，其中参加足球队的有的有25人，参加排球人，参加排球队的有队的有22人，参加游人，参加游泳队的有泳队的有34人，足球、人，足球、排球都参加的有排球都参加的有12人，人，足球、游泳都参加的有足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都人，排球、游泳都参加的有参加的有14人，三项人，三项都参加的有都参加的有8人，这个人，这个班有多少人？班有多少人？25+22+34 -12-18-14+8=45人人 足球 排球 游泳 如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1) A+D+E+G =25；(2) B
12、+D+F+G =34；(3) C+E+F+G = 22；(4) D+G =18； (5) E+G =12；(6) F+G =14；(7) G = 8。现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上资料求得答案？我们利用等式的性质来试试看. 把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81。可是这结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。由于等式(4)(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，得A+B+C+D+E+F = 37。可是这么一来，本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)
13、加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 45，即该班共有45名学生。结论（结论（公式二）公式二）如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，三类，那么，那么，A类或类或B类或类或C类事物个数类事物个数= A类事物个数类事物个数+ B类事物个数类事物个数+C类事物类事物个数个数既是既是A类又是类又是B类的事物个数类的事物个数既是既是A类又是类又是C类的事物个数类的事物个数既是既是B类又是类又是C类的事物个数类的事物个数+既是既是A类又是类又是B类而且是类而且是C类的事物个数。类的事物个数。 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生
14、人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？ 25+18+20-8-13-6+3=39人例2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 分析与解：根据题意画图。例3. 某校六年级二班有49人参
15、加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程： 整理后得： 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英
16、语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画图。 设三科都得满分者为x 全班人数 整理后：全班人数39x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 ，另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。 当x取最大值7时，全班有 人，当x取最小值0时，全班有39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。试一试1. 某班45名同学参加
17、体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人2. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？设三年连续三好生人数为x人 全班人数=103-5-4-3+X+20 因为x应该小于等于3，所以x最大是3，最 小是0所以这个班最多有41名同学，最少有38名同学
