《数学解题技巧：导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学解题技巧：导数（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十讲第十讲导数导数【考点透视】【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号；会求一些实际问题一般指单峰函数的最大值和最小值【例题解析】【例题解析】考点 1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景， 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义， 理解导函数的概念.例 1f (x)是f (
2、x) 13x 2x1的导函数，则f (1)的值是3 考查目的考查目的 此题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程解答过程 故填 3.例 2.设函数f (x) xa,集合 M=x| f (x) 0,P=x | f(x) 0,假设 M P,则实数 a 的取值范围x1f (x) x22, f (1)12 3.2是 ()A.(-,1)B.(0,1)C.(1,+)D. 1,+) 考查目的考查目的 此题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 由xa 0,当a1时,1 x a;当a1时,a x 1.x1xaa1 xax1xay ,y/ 0.22x1x1x1x1/a 1
3、.综上可得 M P 时,a 1.考点 2曲线的切线1关于曲线在某一点的切线求曲线 y=f(x)在某一点 Px,y的切线，即求出函数 y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.2关于两曲线的公切线假设一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题典型例题例 3.已知函数f (x) 1312，(1 ， 3内各有一个极值点x ax bx在区间11)32I求a24b的最大值；II当a24b 8时，设函数y f (x)在点A(1 ，f (1)处的切线为l，假设l在点A处穿过函数y f (x)的图象即动点在点A附近沿曲线y f (x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧 ，求
4、函数f (x)的表达式思路启迪思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：解答过程：I 因为函数f (x) 21312，(1 ， 3内分别有一个极值点，x ax bx在区间11)32所以f (x) x ax b0在11)，(1 ， 3内分别有一个实根，设两实根为x1，x2x1 x2 ，则x2 x1a24b，且0 x2 x14于是x2 3，即a 2，b 3时等号0a24b4，0 a24b16，且当x1 1，成立故a24b的最大值是 16II解法一：由f (1)1 a b知f (x)在点(1 ，f (1)处的切线l的方程是21y f (1) f (1)(x1)，即y (1ab)xa，32因为切线l在
5、点A(1 ，f (x)处空过y f (x)的图象，所以g(x) f (x)(1ab)x21a在x 1两边附近的函数值异号，则32x 1不是g(x)的极值点而g(x)131221x ax bx(1ab)xa，且3232g(x) x2axb(1ab) x2axa1 (x1)(x1a)假设1 1a，则x 1和x 1a都是g(x)的极值点所以1 1a，即a 2，又由a24b 8，得b 1，故f (x) 解法二：同解法一得g(x) f (x)(1ab)x13x x2 x321a3213a3(x1)x2(1)x(2a)322因为切线l在点A(1 ，f (1)处穿过y f (x)的图象，所以g(x)在x 1
6、两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2m11 m2 当m1 x 1时，g(x) 0，当1 x m2时，g(x) 0；或当m1 x 1时，g(x) 0，当1 x m2时，g(x) 0设h(x) x 123a 3a x 2，则22当m1 x 1时，h(x) 0，当1 x m2时，h(x) 0；或当m1 x 1时，h(x) 0，当1 x m2时，h(x) 0由h(1) 0知x 1是h(x)的一个极值点，则h(1) 211所以a 2，又由a24b 8，得b 1，故f (x) 3a 0，213x x2 x3例 4.假设曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为A4x y 3 0B
7、x4y 5 0C4x y 3 0Dx4y 3 0 考查目的考查目的 此题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 与直线x4y8 0垂直的直线l为4x y m 0，即y x4在某一点的导数为 4，而y 4x3，所以y x4在(1，1)处导数为 4，此点的切线为4x y 3 0.故选 A.例 5过坐标原点且与 x2+y2-4x+2y+5=0 相切的直线的方程为 ()2A.y=-3x 或 y=1xB. y=-3x 或 y=-1xC.y=-3x 或 y=-1xD. y=3x 或 y=1x3333 考查目的考查目的 此题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用
8、能力. 解答过程解答过程 解法 1：设切线的方程为y kx,kx y 0.又x22y125,圆心为2,1.22k 1k2151,3k28k 3 0.k ,k 3.231y x,或y 3x.3故选 A.3 1 由解法 2:由解法 1 知切点坐标为(1,3),222 25(x2) y 1,x2x22/2(x2)2y 1yx/ 0, yx/ k1 yx/x2.y 113( , )221.3 3,k2 yx/1x.33 1( , )2 2 y 3x, y 故选 A.例 6.已知两抛物线C1: y x2 2x,C2: y x2 a,a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪思
9、路启迪：先对C1: y x2 2x,C2: y x2 a求导数.解答过程：解答过程：函数y x2 2x的导数为y 2x 2，曲线C1在点 P(x1,x12 2x1)处的切线方程为22y (x1 2x1) 2(x1 2)(x x1)，即y 2(x11)x x1曲线C1在点 Q(x2,x22 a)的切线方程是y (x2 a) 2x2(x x2)即y 2x2x x22a假设直线l是过点 P 点和 Q 点的公切线，则式和式都是l的方程，故得22x11 x2,x1 x21，消去x2得方程，2x12x11a 02假设=4 4 2(1 a) 0，即a 1时，解得x1 1，此时点 P、Q 重合.22当时a 1
10、，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x1 .24考点 3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数， 导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法， 进而与不等式的证明， 讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值最值;5.构造函数证明不等式.典型例题例 7函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,
11、b)内的图象如下图，则函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值点A1 个B2 个C3 个D 4 个 考查目的考查目的 此题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点.故选 A.例 8 .设函数f (x) 2x33ax23bx8c在x 1及x 2时取得极值求 a、b 的值；假设对于任意的x0， 3，都有f (x) c成立，求 c 的取值范围思路启迪思路启迪：利用函数f (x) 2x33ax23bx8c在x 1及x 2时取得极值构造方程组求a、b 的值2解答过程：解答过程： f (x) 6x 6ax3b，2yy
12、f? (x)baOx因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0，f (2) 066a3b 0，即2412a3b 0解得a 3，b 4由可知，f (x) 2x 9x 12x8c，32f (x) 6x218x12 6(x1)(x2)当x(01)，时，f (x) 0；当x(1 ， 2)时，f (x) 0；当x(2， 3)时，f (x) 0所以，当x 1时，f (x)取得极大值f (1) 58c，又f (0) 8c，f (3) 98c则当x0， 3时，f (x)的最大值为f (3) 98c因为对于任意的x0， 3，有f (x) c恒成立，2所以98c c2，解得c 1或c 9，因此
13、c的取值范围为(， 1)(9， )例 9.函数y 2x 4 x 3的值域是_.思路启迪思路启迪：求函数的值域， 是中学数学中的难点， 一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。2x 4 0得，解答过程：解答过程：由x 2，即函数的定义域为2,).x 3 0y112 x 3 2x 4，2x 42 x 32 2x 4 x 32x 8，2 x 3 2x 4又2 x 3 2x 4 当x 2时，y 0，函数y 2x 4 x 3在(2,)上是增函数，而f (2) 1， y 2x 4 x 3的值域是1,).例 10已知函
14、数fx 4x33x2cos3cos，其中x R,为参数，且0 2161当时cos 0，判断函数fx是否有极值；2要使函数f (x)的极小值大于零，求参数的取值范围；3假设对2中所求的取值范围内的任意参数，函数fx在区间2a1,a内都是增函数，求实数a的取值范围 考查目的考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程解答过程 当cos0时，f (x) 4x3，则f (x)在(,)内是增函数，故无极值.f (x) 12x26xcos，令f (x) 0，得x1 0,x2cos.2由 ，只需分
15、下面两种情况讨论.当cos0时，随 x 的变化f (x)的符号及f (x)的变化情况如下表：xf (x)f (x)(,0)00极大值(0,cos)2cos2(cos,)2+-0极小值+因此，函数f (x)在x cos处取得极小值f(cos)，且f (cos) 1cos33222416.要使f (cos) 0，必有1cos(cos23) 0，可得0 cos3.2244由于0 cos3，故或311.26226当时cos0，随 x 的变化，f (x)的符号及f (x)的变化情况如下表：xf (x)f (x)(,cos)2cos2(cos,0)200(0,)+0极大值-+极小值因此，函数f (x)在x
16、 0处取得极小值f (0)，且f (0) 3cos.16假设f (0) 0，则cos0.矛盾.所以当cos0时，f (x)的极小值不会大于零.综上，要使函数f (x)在(,)内的极小值大于零， 参数的取值范围为(,)(3,11).6 226III解：由II知，函数f (x)在区间(,)与(cos,)内都是增函数。2由题设，函数f (x)在(2a1,a)内是增函数，则 a 须满足不等式组2a1 aa 0或2a1 a12a1cos2由II ，参数时(,)(3,11)时，0 cos3.要使不等式2a11cos关于参数6 242622恒成立，必有2a 13，即43 a.8综上，解得a 0或43 a 1
17、.8所以a的取值范围是(,0) 43,1).8例 11设函数 f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中 a-1，求 f(x)的单调区间. 考查目的考查目的 此题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程解答过程 由已知得函数f (x)的定义域为(1,)，且f(x) ax1(a 1),x11当1a0时，f(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递减，2当a 0时，由f(x) 0,解得x 1.af(x)、f (x)随x的变化情况如下表xf(x)1(1, )a1a1( ,)a0+f (x)极小值从上表可知当x(1,1)时，f(x) 0,
18、函数f (x)在(1,1)上单调递减.aa当x(1,)时，f(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递增.aa综上所述：当1 a 0时，函数f (x)在(1,)上单调递减.当a 0时，函数f (x)在(1,1)上单调递减，函数f (x)在(1,)上单调递增.aa例 12已知函数f (x) ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数y f (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图.求：x0的值；a,b,c的值. 考查目的考查目的 本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的
19、能力 解答过程解答过程 解法一： 由图像可知，在,1上上f x0,f x 0，在1,2上f x 0，在2,故f (x)在上递增，在(1,2)上递减，（-，1），（2，+）因此fx在x 1处取得极大值，所以x01f(x) 3ax22bx c,由f（1）=0，（f2）0，（f1）5，3a2bc 0,得12a4bc 0,abc 5,解得a 2,b 9,c 12.解法二： 同解法一设f(x) m(x1)(x2) mx23mx 2m,又f(x) 3ax22bxc,所以a m,b 3m,c 2m32f (x) m332|x mx 2mx,3232由f (1)5，即m3m2m 5,得m 6,所以a 2,b
20、9,c 12例 13设x 3是函数fxx2 ax be3xx R的一个极值点.求a与b的关系式用a表示b ，并求fx的单调区间；25x2设a 0，gxa e.假设存在1,20,4使得f1 g21成立，求a的取值4范围. 考查目的考查目的 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解答过程解答过程 f (x)x2(a2)xba e3 x,由 f (3)=0，得 32(a2)3ba e3 30，即得 b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3 x(x3)(xa+1)e3 x.令 f (x)0，得 x13 或 x2a1，
21、由于 x3 是极值点，所以 x+a+10，那么 a4.当 a3x1，则在区间，3上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间a1，上，f (x)4 时，x23x1，则在区间，a1上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间3，上，f (x)0 时，f (x)在区间0，3上的单调递增，在区间3，4上单调递减，那么 f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而 f (0)2a3e30，f (3)a6，那么 f (x)在区间0，4上的值域是2a3e3，a6.又g(x) (a225)ex在区间0，4上是增函数，4且它在区间0，4上的值域是a225， a225e4，
22、44由于a225a6a2a1a 120，所以只须仅须442a225a60，解得 0a0 时，f(0)为极大值C、b=0D、当 a0 时，f(0)为极小值11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是()A、 2，3B、 3，+C、 2，+D、 -，312、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中()A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素D、恰好有 5 个元素二、填空题13.假设 f(x0)=2,limf (x0k) f (x0)=_.k02k14.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),
23、则 f(0)=_.15.函数 f(x)=loga(3x2+5x2)(a0 且 a1)的单调区间_.16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线 C：y=x33x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标.18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内的最大值.19.证明双曲线 xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=3x.1 x21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的
24、墙上，假设其下端沿地板以3 m/s墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.22.求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1的速度离开,(x0,nN N*).23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点.(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证：abba.26.设关于 x 的方程 2x2ax2=0 的两
25、根为、(),函数 f(x)=4x a.x21(1)求 f()f()的值；(2)证明 f(x)是，上的增函数；(3)当 a 为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】【参考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k=y0,另一方面，y=(x9)=4x0x5(x5)2,故y(x0)=k,即yx09402x0x0(x05)(x05)5或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,y0(2)=15,对应有4(35)3y0(1)=3,y0(2
26、)=1593,因此得两个切点 A(3，3)或 B(15,3),从而得 y(A)=1555=1 及 y(B)=答案：A3.解析：由lim41,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x 25(155)2或 lB:y=x.25x0f (0)=1,故存在含有x0 的区间(a,b)使当 x(a,b),x0 时f (0)0,于是当xx(a,0)时 f(0)0,当 x(0,b)时，f(0)0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-12n2n=n2x(1x)n-12(1x)nx,令 fn(x)=0,2n2n得 x1=0,x2=1
27、,x3=2,易知 fn(x)在 x=2时取得最大值，最大值 fn(2)=n2(2)2(12)n=4(2)n+12n2n.答案：D5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C二、13.解析：根据导数的定义：f(x0)=limf(x0(k) f (x0)(这时x k)k0klimf (x0k) f (x0)1f (x0 k) f (x0)limk0k02k2k1f (x0k) f (x0)1 lim f (x0) 1.2k0 k2答案：114.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)
28、=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是x1或 x2,f(x)=3logae.(3x2+5x2)=(6x5)logae,(3x1)(x 2)3x 5x22假设 a1,则当 x1时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数 f(x)在3(1,+)上是增函数，x2 时，f(x)0.函数 f(x)在(,2)上是减函数.3假设 0a1,则当 x1时，f(x)0,f(x)在(1,+)上是减函数，当 x2 时，33f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么h=AO+BO=R+R2 x2
29、,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=(2Rhh2) h (2Rh3h4),从而S 1(2Rh3h4)2(2Rh3h4)21h2(3R2h)(2Rh3h4)2(6Rh24h3) 2(2Rh)h311.令 S=0,解得 h=3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：2hSS2(0,3R)23R2(3,2R)2+增函数0最大值减函数由此表可知，当 x=3R 时，等腰三角形面积最大.答案：3R2三、17. 解：由 l 过原点，知 k=y0(x00),点(x0,y0)在曲线 C 上，y0=x033x02+2x0,x0y0=x023x0+2,y=3x26x+2,k
30、=3x026x0+2x0又 k=y0,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0 或 x0=3.x02由 x0,知 x0=3,2y0=(3)33(3)2+23=3.k=y0=1.2228x04l 方程 y=1x 切点(3，3).42818.f(x) p2x(1 x)p12 (2 p)x,令 f(x)=0 得，x=0，x=1，x=2,2 ppp2 .2) 4()2 p2 p在0，1上，f(0)=0，f(1)=0，f(f(x)max 4(p2p .)2 p19.设双曲线上任一点 Px0，y0,k y|xx0 a2x02,a2x02 切线方程y y0 (x x0),令 y=0
31、，则 x=2x0令 x=0，则y 2a .x02S1| x | y| 2a2 .220.解：(1)注意到 y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x,1(x22x 3)2x 22(x2 x 2) y 2 2 2 2 2yx 2x 3x 2x 3x 2x 3.2(x2 x 2)2(x2 x 2) y 2 y 2(x22x 3)e2x.x 2x 3x 2x 3 2(x2 x 2)e2x.(2)两端取对数，得ln|y|=1(ln|x|ln|1x|),3两边解 x 求导，得11 1111 y () ,y3 x1 x3 x(1 x) y 111x3 y .3
32、 x(1 x)3x(1 x)1 x21.解：设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=525 9t2,当下端移开 1.4 m 时，t0=147,3151又 s=(259t2)2(92t)=9t211259t2,所以 s(t0)=97151259(72)15=0.875(m/s).22.解：(1)当 x=1 时，Sn=12+22+32+n2=1n(n+1)(2n+1),当 x1 时，1+2x+3x2+6+nxn-1nn1=1(n 1)x nx,两边同乘以 x,得(1 x)2x+2x2+3x2+nxn=x (n1)xSn=12+22x2+32x2+n2xn-1n12 nxn2两边对 x 求导，
33、得(1 x)2n2n12n2=1 x (n 1) x (2n 2n 1)xn x.(1 x)323.解：f(x)=3ax2+1.假设 a0,f(x)0 对 x(,+)恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾.假设 a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.假设 a0,f(x)=3a(x+13|a|)(x13|a|13|a|),此时 f(x)恰有三个单调区间.13|a|a0 且单调减区间为(,单调增区间为(13|a|)和(,+)，,13|a|).24.解：f(x)=a+2bx+1,x(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即 a+2b+1=0,且a
34、+4b+1=0,2解方程组可得 a=2,b=1,f(x)=2lnx1x2+x,3636(2)f(x)=2x-11x+1,当 x(0,1)时，f(x)0,当 x(1,2)时，f(x)0,当 x(2,+33)时，f(x)0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值5,在 x=2 处函数取得极大值42ln2.63325.证法一：bae,要证 abba,只要证 blnaalnb,设 f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lnaa.bae,lna1,且a1,f(b)0.函数 f(b)=blnaalnb 在(e,+)bb上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即 blnaalnb0,
35、blnaalnb,abba.证法二： 要证 abba,只要证 blnaalnb(eab),即证(x)=1lnx0,函数 f(x)在(e,+)上是减函数，又eab,x2,设 f(x)=lnx(xe)， 则 fxf(a)f(b),即lnalnb,abba.ab26.解：(1)f()=28a 16 a,f()=28a 16 a,f()=f()=4,(2)设(x)=2x2ax2,则当x时，(x)0,f (x) (4x a)(x21)(4x a)(x21)4(x21)2x(4x a)(x21)2(x21)22(2x2ax 2)2(x) 2 0222(x 1)(x 1).函数 f(x)在(，)上是增函数.(3)函数 f(x)在，上最大值 f()0,最小值 f()0,|f() f()|=4,当且仅当 f()=f()=2 时， f()f()=|f()|+|f()|取最小值 4，此时 a=0,f()=2.
