《高考数学一轮复习 12函数与方程课件 （文） 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 12函数与方程课件 （文） 新人教A版（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二讲函数与方程第十二讲函数与方程回回归课本本1.函数的零点函数的零点(1)对于函数于函数y=f(x),我我们把使把使f(x)=0的的实数数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.(2)方程方程f(x)=0有解有解函数函数y=f(x)的的图象象与与x轴有交点有交点函数函数y=f(x)有零点有零点.(3)如果函数如果函数y=f(x)在区在区间a,b上的上的图象是象是连续不断的一条曲不断的一条曲线,并且有并且有f(a)f(b)0,那么函数那么函数y=f(x)在区在区间(a,b)内内有零点有零点,即存在即存在c (a,b),使得使得f(c)=0,这个个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根
2、.2.二分法二分法(1)对于在区于在区间a,b上上连续不断且不断且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x),通通过不断地把函数不断地把函数f(x)的零点所在的区的零点所在的区间一分一分为二二,使区使区间的的两个端点逐步逼近两个端点逐步逼近零点零点,进而得到零点近似而得到零点近似值的方法叫做的方法叫做二二分法分法.(2)给定精确度定精确度,用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似零点近似值的步的步骤如下如下:1)确定区确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度定精确度.2)求区求区间(a,b)的的中点中点x1.3)计算算f(x1),a.若若f(x1)=0,则x1就是函数的就是函数的
3、零点零点;b.若若f(a)f(x1)0,则令令b=x1,(此此时零点零点x0 (a,x1);c.若若f(x1)f(b)0,则令令a=x1,(此此时零点零点x0 (x1,b).4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,则得到零点近似得到零点近似值a(或或b);否否则重复重复2)4).考点陪考点陪练1.(2010天津天津)函数函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区的零点所在的一个区间是是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析解析:由于由于f(0)=-10,根据函数的零点存在性定理根据函数的零点存在性定理,知函数知函数f(x)的零点在区的零点
4、在区间(0,1)内内,选C.答案答案:C2.(2010江江苏盐城城)方程方程log4x+x=7的解所在区的解所在区间是是()A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)解析解析:构造函数构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-20,F(x)在在(5,6)内有零点内有零点,即即log4x+x=7在在(5,6)内有解内有解,故故选C.答案答案:C解析解析:因因为f(1)=-20,f(2)=ln2-10,所以在所以在(1,2)内内f(x)无零点无零点,A错误;又又f(3)=ln3- 0,所以所以f(2)f(3)0,所以所以f(x)在在(2,3)内至少有一个零点内至少有
5、一个零点.答案答案:B4.若函数若函数f(x)=x2+2x+a没有零点没有零点,则实数数a的取的取值范范围是是()A.a1C.a1D.a1解析解析:由方程由方程x2+2x+a=0的判的判别式小于式小于0可得可得a1.答案答案:B5.三次方程三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些在下列哪些连续整数之整数之间没有根没有根()A.-2与与-1之之间B.-1与与0之之间C.0与与1之之间 D.1与与2之之间解析解析: f(-2)f(-1)0,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0, f(x)在在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根内均有根.故只有故只有C选项符合符合题意意.答案答案:
6、C类型一型一函数零点存在性的判断与方法函数零点存在性的判断与方法解解题准准备:函数零点个数的判定有下列几种方法函数零点个数的判定有下列几种方法:(1)直接求零点直接求零点:令令f(x)=0,如果能求出解如果能求出解,则有几个解就有几个有几个解就有几个零点零点.(2)零点存在性定理零点存在性定理:利用利用该定理不定理不仅要求函数在要求函数在a,b上是上是连续的曲的曲线,且且f(a) f(b)0,还必必须结合函数的合函数的图象和性象和性质(如如单调性性)才能确定函数有多少个零点才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数画两个函数图象象,看其交点的个数有几个看其交点的个数有几个,其中交点的横坐其中交
7、点的横坐标有几个不同的有几个不同的值,就有几个不同的零点就有几个不同的零点.【典例【典例1】判断下列函数在】判断下列函数在给定区定区间上是否存在零点上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x 1,8;(2)f(x)=x3-x-1,x -1,2;(3)f(x)=log2(x+2)-x,x 1,3;(4)f(x)=-x,x (0,1). 解解(1) f(1)=-200, f(1)f(8)0,故故f(x)=x2-3x-18在区在区间1,8上存在零点上存在零点.(2) f(-1)=-10, f(-1)f(2)log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0, f(1)f
8、(3)0,故故f(x)=log2(x+2)-x在区在区间1,3上存在零点上存在零点.(4)画出画出f(x)= -x的的图象如象如图所示所示.由由图象可知象可知,f(x)=-x在在(0,1)内的内的图象与象与x轴没有交没有交点点,故故f(x)=-x在区在区间(0,1)上不存在零点上不存在零点. 反思感悟反思感悟判断函数在某个区判断函数在某个区间上是否存在零点上是否存在零点,要根据具要根据具体体题目灵活目灵活处理理.当能直接求出零点当能直接求出零点时,就直接求出就直接求出进行判行判断断;当不能直接求出当不能直接求出时,可根据零点存在性定理可根据零点存在性定理;当用零点存当用零点存在性定理也无法判断
9、在性定理也无法判断时可画出可画出图象判断象判断.类型二型二二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解解解题准准备:1.用二分法求函数的零点用二分法求函数的零点时,最好是利用表格最好是利用表格,将将计算算过程所得到各个区程所得到各个区间中点坐中点坐标区区间中点的函数中点的函数值等置等置于表格中于表格中,可清楚地表示出逐步可清楚地表示出逐步缩小零点所在区小零点所在区间的的过程程,有有时也可利用数也可利用数轴来表示来表示这一一过程程;2.在确定方程近似解所在的区在确定方程近似解所在的区间时,转化化为求方程求方程对应函数函数的零点所在的区的零点所在的区间,找出的区找出的区间a,b长度尽可能小度尽可能小,
10、且且满足足f(a) f(b)0.【典例【典例2】求函数】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个的一个为正数的零点正数的零点(误差不超差不超过0.1).分析分析由于要求的是函数的一个正数零点由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考因此可以考虑确定确定一个包含正数的一个包含正数的闭区区间m,n,且且f(m)f(n)0,如如计算出算出f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区所以可取区间1,2作作为计算算的初始区的初始区间(当然当然选取取(0,2)也是可以的也是可以的). 解解 f(1)=-60, 存在存在x (1,2),使使f(x)=0.用二分法逐次用二分法逐次计算算,列表如下列表如下
11、: 最后一个区间端点精确到最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是的近似值都是1.7, 所求的正数零点是所求的正数零点是1.7. 反思感悟反思感悟用二分法求函数零点的近似用二分法求函数零点的近似值,首先要首先要选好好计算算的初始区的初始区间,这个区个区间既要包含所求的根既要包含所求的根,又要使其又要使其长度尽度尽量小量小;其次要依据其次要依据给定的精确度定的精确度,及及时检验所得区所得区间的端点的端点的近似的近似值(精确到精确到给定的精确度定的精确度)是否相等是否相等,以决定是停止以决定是停止计算算还是是继续计算算.类型三型三函数零点的函数零点的应用用解解题准准备:由于函数的零点与函数的由于函
12、数的零点与函数的图象以及相象以及相应方程的根方程的根都有密切的关系都有密切的关系,因此我因此我们通通过研究函数的零点研究函数的零点问题,可可讨论方程根的分布方程根的分布问题,解不等式解不等式,也可以作出相也可以作出相应的函数的的函数的图象象,讨论函数的性函数的性质.我我们在解决有关在解决有关问题时,一定要充分一定要充分利用利用这三者的关系三者的关系,观察分析函数的察分析函数的图象象,找函数的零点找函数的零点,判断各区判断各区间上函数上函数值的符号的符号,使使问题得以解决得以解决.【典例【典例3】已知函数】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若若g(x)=m有
13、零点有零点,求求m的取的取值范范围;(2)确定确定m的取的取值范范围,使得使得g(x)-f(x)=0有两个相异有两个相异实根根. 分析分析(1)g(x)=m有零点有零点,可以分离参数可以分离参数转化化为求函数最求函数最值.(2)利用利用图象求解象求解. f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. 其其对称称轴x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数若函数f(x)与与g(x)的的图象有两个交点象有两个交点.必必须有有m-1+e22e,即即m-e2+2e+1.即即g(x)-f(x)=0有两个相异有两个相异实根根. m的取的取值范范围是是(-e2+2e+1,+). 反思感悟
14、反思感悟在解答有关函数零点的在解答有关函数零点的综合合问题时,常利用方程常利用方程思想或利用函数构造法思想或利用函数构造法,并并结合数形合数形结合的思想来解决此合的思想来解决此类问题.错源一源一函数零点定理使用不当致函数零点定理使用不当致误【典例【典例1】函数】函数f(x)=mx2-2x+1有且有且仅有一个正有一个正实数的零点数的零点,则实数数m的取的取值范范围是是()A.(-,1B.(-,0 1C.(-,0) 1D.(-,1)剖析剖析解本解本题易出易出现的的错误是分是分类讨论片面函数零点定理片面函数零点定理使用不当使用不当.如忽如忽视了了对m=0的的讨论,这样就会出就会出现误选C的的错误.正
15、解正解当当m=0时,x=为函数的零点函数的零点;当当m0时,若若=0,即即m=1时,x=1是函数唯一的零点是函数唯一的零点,若若0,显然然x=0不是函数的零点不是函数的零点,这样函数有且函数有且仅有一个正有一个正实数零点等价于方程数零点等价于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一个正根一个有一个正根一个负根根,即即mf(0)0,即即m0.故故选B.答案答案B 评析析函数的零点定理函数的零点定理如果函数如果函数y=f(x)在区在区间a,b上的上的图象是一条象是一条连续的曲的曲线,并并且有且有f(a)f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区在区间(a,b)内有零点内有零点,即存即存在在c (
16、a,b),使得使得f(c)=0,这个个c也是方程也是方程f(x)=0的根的根,我我们称称这个个结论为函数的零点定理函数的零点定理.函数的零点有函数的零点有“变号零点号零点”和和“不不变号零点号零点”,如本如本题中的中的x=1就是函数的就是函数的“不不变号零点号零点”,对于于“不不变号零点号零点”,函数的零点定理是函数的零点定理是“无能无能为力力”的的,在解决函数的零点在解决函数的零点问题时要注意要注意这个个问题.错源二源二“极极值点点”与与“零点零点”关关联不清不清【典例【典例2】若函数】若函数f(x)=x3-3x+a有有3个不同的零点个不同的零点,则实数数a的的取取值范范围是是()A.(-2
17、,2)B.-2,2C.(-,-1)D.(1,+)错解解由由题意知方程意知方程x3-3x+a=0有有3个根个根, a的取的取值范范围为(1,+),故故选D. 剖析剖析本本题的的错误在于不能将函数零点在于不能将函数零点问题与与导数的数的应用用联系起来求解系起来求解,不能从极不能从极值的角度分析函数的的角度分析函数的图象象,因此找不因此找不到解到解题的突破口的突破口. 正解正解函数函数f(x)有有3个不同的零点个不同的零点,即其即其图象与象与x轴有有3个不同个不同的交点的交点,因此只需因此只需f(x)的极大的极大值与极小与极小值异号即可异号即可.f(x)=3x2-3,令令3x2-3=0,则x=1,故
18、极故极值为f(-1)和和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,所以所以应有有(a+2)(a-2)0,故故a (-2,2),选A.答案答案A技法技法 确定方程根的个数的三种方法确定方程根的个数的三种方法一利用函数的周期性一利用函数的周期性【典例【典例1】设函数函数f(x)在在(-,+)上上满足足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在且在闭区区间0,7上只有上只有f(1)=f(3)=0,(1)试判断函数判断函数y=f(x)的奇偶性的奇偶性;(2)试求方程求方程f(x)=0在在闭区区间-2005,2005上的根的个数上的根的个数,并并证明你的明你的结论. 解解题切入点
19、切入点对于于(1)可用特殊化策略求解可用特殊化策略求解,对于于(2)可据条件可据条件首先求出函数的周期首先求出函数的周期,利用其周期适当分段利用其周期适当分段结合合题设条件确条件确定定. 故故f(x)在在0,10和和-10,0上均有两根上均有两根,从而可知从而可知y=f(x)在在0,2000上有上有400个根个根,在在2000,2005上有两根上有两根,在在-2000,0上有上有400个根个根,在在-2005,-2000上没有根上没有根,所以函数所以函数y=f(x)在在-2005,2005上有上有802个根个根. 答案答案C 方法与技巧方法与技巧如果函数如果函数y=f(x)在区在区间a,b上的上的图象不象不间断断,并并且有且有f(a) f(b)bc,a+b+c=0,试确定确定f(x)-g(x)=0的根的个数的根的个数.解解因因为a+b+c=0,abc,所以所以a0,c0.所以所以f(x)-g(x)=0,即即ax2+bx+c-(-bx)=0,ax2+2bx+c=0.因因为=4(b2-ac),而而ac0,所以所以f(x)-g(x)有两个不同的有两个不同的实根根.
