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1、 第二第二节 离散随机离散随机变量及其分布律量及其分布律一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或离散型分布律的两个根本性离散型分布律的两个根本性质证明：由于明：由于x1,x2,x3,.是是X的一切能的一切能够取的取的值，且当且当ij时，X=xi X=xj= ，故，故从而有从而有 分布函数分布函数分布律分布律离散型随机离散型随机变量的分布函数量的分布函数离散型随机离散型随机变量分布律与分布函数的关系量分布律与分布函数的关系=P(抽得的两件全抽得的两件全为为次品次品)求分布律求分布律举例例 例例 设设有一批有一批
2、产产品品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中恣意抽取件次品，从中恣意抽取2 2件，假件，假设设用用X X表示表示获获得的次品数，求随机得的次品数，求随机变变量量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一至少抽得一件次品的概率。件次品的概率。解：解：X的能的能够取取值为 0，1，2=P(抽得的两件全抽得的两件全为为正品正品)PX=1PX=2=P(只需一件只需一件为为次品次品)PX=0故故 X X的分布律的分布律为而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品=X1=X1 = X=1= X=1X=2 X=2 PX1= PX=1+PX=2PX1= PX=1+PX=2留意：留意：X=1X=1与与
3、X=2X=2是互不相容的！是互不相容的！ 实实践上，践上，这这仍是古典概型的仍是古典概型的计计算算题题，只是表达事，只是表达事件的方式件的方式变变了了故故 从一批次品率从一批次品率为为p p的的产产品中，有放回抽品中，有放回抽样样直到抽直到抽到次品到次品为为止。求抽到次品止。求抽到次品时时，已抽取的次数，已抽取的次数X X的分布的分布律。律。 解解 记Ai=“Ai=“第第i i次取到正品次取到正品,i=1,2,3, ,i=1,2,3, 那么那么 Ai , i=1,2,3, Ai , i=1,2,3, 是相互独立的！是相互独立的！ 且且X X的一切能的一切能够够取取值为值为 1 1，2 2，3
4、3， ,k, ,k,P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=(1-p)k-1p ,k=1,2,(1-p)k-1p ,k=1,2,(1-p)k-1p ,k=1,2,(1-p)k-1p ,k=1,2,( X=k )( X=k )对应着事件着事件 例例设随机随机变量量X的分布律的分布律为试确定常数确定常数b.解解由分布律的性由分布律的性质,有有例例二、常二、常见离散型随机离散型随机变量的概率分布量的概率分布1 1、两点分布、两点分布、两点分布、两点分布(0-1(0-1分布分布分布分布 ) ) 1p p P 0 1 X 那么称那么称X服从参数服从参数为为p 的两点分布或的两点分布或(0
5、-1)分布分布,背景：背景：背景：背景：样样样样本空本空本空本空间间间间只需两个只需两个只需两个只需两个样样样样本点的情况本点的情况本点的情况本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描画。描画。描画。描画。如：上抛一枚硬如：上抛一枚硬币。 定定定定义义义义： 假假假假设设设设随机随机随机随机变变变变量量量量X X X X的分布律的分布律的分布律的分布律为为为为: : : :例例设一个袋中装有一个袋中装有3 3个个红球和球和7 7个白球，如今从中个白球，如今从中随机抽取一球，假随机抽取一球，假设每个球抽取的每个球抽取的时机相等，机相等，并且用数并且用
6、数“1“1代表代表获得得红球，球，“0“0代表代表获得得白球，那么随机抽取一球所得的白球，那么随机抽取一球所得的值是一个离散是一个离散型型随机随机变量量其概率分布其概率分布为即即X X服从两点分布。服从两点分布。 其中其中0 p 0, 那么称那么称X服从参数服从参数为为 的泊松分布的泊松分布XP( )n定定义泊松分布的图形泊松分布的图形效力台在某效力台在某时间时间段内接待的效力次数段内接待的效力次数X；交交换换台在某台在某时间时间段内接到呼叫的次数段内接到呼叫的次数Y;矿矿井在某段井在某段时间发时间发惹事故的次数惹事故的次数;显显微微镜镜下一下一样样大小的方格内微生物的数目；大小的方格内微生物
7、的数目；单单位体位体积积空气中含有某种微粒的数目空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实实践践问题问题中假中假设设干干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从n Poisson Poisson分布的分布的 知某交换台每分钟接到的呼唤次数知某交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求求1 1每分钟内恰好接到每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；次呼唤的概率；2 2每分钟不超越每分钟不超越4 4次的概率次的概率例例解解泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理 实实实实践运用中
8、：当践运用中：当践运用中：当践运用中：当n n n n较较较较大大大大,p,p,p,p较较较较小，小，小，小，npnpnpnp适中适中适中适中时时时时，即，即，即，即可用泊松公式近似交可用泊松公式近似交可用泊松公式近似交可用泊松公式近似交换换换换二二二二项项项项概率公式概率公式概率公式概率公式二二项分布的泊松近似分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到例例 为了保了保证设备正常任正常任务, , 需配需配备适量的适量的维修修工人工人
9、 ( (工人配工人配备多了就浪多了就浪费 , , 配配备少了又要影响生少了又要影响生产),),现有同有同类型型设备300300台台, ,各台任各台任务是相互独立的是相互独立的, ,发生缺点的概率都是生缺点的概率都是0.01.0.01.在通常情况下一台在通常情况下一台设备的缺点可由一个人来的缺点可由一个人来处置置( (我我们也只思索也只思索这种情况种情况) ,) ,问至少需配至少需配备多少工人多少工人 , ,才干保才干保证设备发生缺点生缺点但不能及但不能及时维修的概率小于修的概率小于0.01?0.01?解解所需处理的问题所需处理的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由
10、泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才干保证设备发生缺点但不能及时维修的才干保证设备发生缺点但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8例例:设一只昆虫所一只昆虫所产虫卵个数虫卵个数X服从参数服从参数为的泊松分布，的泊松分布，而每个虫卵而每个虫卵发育育为幼虫的概率幼虫的概率为p，并且各个虫卵能否，并且各个虫卵能否发育成幼虫是相互独立的。育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫明：一只昆虫的下一代幼虫个数个数Y服从参数服从参数为p的泊松分布。的泊松分布。证明：由明：由题设知知这里里q=1-p,由全概率公式得由全概率公式得即即Y服从参数服从参数为p的泊松的泊松分布分布.
