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1、一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题三、主要问题求方程的解求方程的解四、小结四、小结 思考题思考题第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引言引言对自然界的深刻研究对自然界的深刻研究傅里叶傅里叶微积分微积分研究的对象是函数关系研究的对象是函数关系, ,但在但在实际问题中实际问题中, ,往往很难直接得到往往很难直接得到所研究的变量之间所研究的变量之间的函数关系的函数关系, ,却却比较容易建立起比较容易建立起 这些变量与它们的导数或微分之间这些变量与它们的导数或微分之间的的联系联系, , 从而得到一个从而得到一个方程方程, , 即即微分方程微分方程
2、. .通过求解通过求解这种方程这种方程, ,同样可以找到同样可以找到指定未知量指定未知量之间的函数关系之间的函数关系. .因此因此, ,微分方程是数学联微分方程是数学联系实际系实际, ,并应用于实际的重要并应用于实际的重要途径和桥梁途径和桥梁, ,是各个学科是各个学科关于未知函数的导数或微分的关于未知函数的导数或微分的是数学最富饶的源泉是数学最富饶的源泉. .进行科学研究的强有力进行科学研究的强有力的工具的工具. .如果如果说说“数学是一门理性思维的科学数学是一门理性思维的科学, , 是研究、是研究、 了了解和知晓现实解和知晓现实世界的工具世界的工具”, ,那么微分方程就是显示那么微分方程就是
3、显示数学的这种威力和数学的这种威力和价值的一种体现价值的一种体现. .现实世界中的许现实世界中的许多实际问题多实际问题都可以抽象为都可以抽象为微分方程问题微分方程问题. . 例如例如, , 物体物体的冷却、的冷却、 琴弦的振动、琴弦的振动、 电磁波的电磁波的传播等传播等, ,都可以归结为都可以归结为微分方程问题微分方程问题. . 这时微分方程也称为这时微分方程也称为所研究问题的所研究问题的数数学模型学模型. .微分方程是微分方程是一门独立的数学学科一门独立的数学学科, , 有完整有完整的理论的理论体系体系. .本章我们主要介绍微分方程的一些本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念基本概念, ,种
4、常用的微分方程的种常用的微分方程的求解方法求解方法, ,线性微分方程解的理线性微分方程解的理论论. .几几解解一、引例由题有且满足：解解代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程，凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程叫做微分方程. .例例实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、基本概念分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .我们把未知函数
5、为一元函数的微分方程我们把未知函数为一元函数的微分方程 称为称为常微分方程常微分方程. .类似地类似地, ,未知函数为多元函数的微分方程未知函数为多元函数的微分方程称为称为偏微分方程偏微分方程. .例如方程例如方程是是偏微分方程偏微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .一阶微分方程一阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程分类分类2:2:常微分方程的一般形式是常微分方程的一般形式是: :其中其中为为自变量自变量, ,是未知函数是未知函数, , 在方程在方程中中, ,必须出现必须出现, , 而其余变量而其
6、余变量可以不出现可以不出现, ,微分方程微分方程中中, , 其余变量其余变量都没有出现都没有出现. .能从方程能从方程中中就得到微分方程就得到微分方程例如在例如在阶阶如果如果解出最解出最高阶导数高阶导数, ,以后我们讨论的微分方程以后我们讨论的微分方程 主要是形如主要是形如的的微分方微分方程程, ,并且假设并且假设式右端的函数式右端的函数在所讨论的范围内在所讨论的范围内连续连续. .分类分类3 3: :非线性微分方程非线性微分方程. .线性微分方程线性微分方程. .如果方程如果方程可表示为如下形式可表示为如下形式: :则称方程则称方程为为 阶线性阶线性微分方程微分方程. .其中其中和和知知函数
7、函数. .全是一次幂。全是一次幂。否则统称为否则统称为非非线性线性微分方程微分方程. .均为自变量均为自变量的已的已即微分方程中所含的未知函数及其各阶导数即微分方程中所含的未知函数及其各阶导数分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. .例例3 试指出下列方程是什么方程试指出下列方程是什么方程, , 并指出微分并指出微分方程方程的阶数的阶数.解解(1) 是一阶线性微分方程是一阶线性微分方程, , 因方程中含有的因方程中含有的和和都是一次都是一次. .(2) 是一阶非线性微分方程是一阶非线性微分方程, , 因方程中含有的因方程中含有的的平方项的平方项. .例例3 试
8、指出下列方程是什么方程试指出下列方程是什么方程, , 并指出微分并指出微分方程方程的阶数的阶数.解解 (3) 是二阶非线性微分方程是二阶非线性微分方程, , 因方程中含有的因方程中含有的的三次方的三次方. .(4) 是二阶非线性微分方程是二阶非线性微分方程, , 因方程中含有非线性因方程中含有非线性函数函数和和微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数的函数. . 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有相互独立的任意微分方程的解中含有相互独立的任意常数常数, , 且任意常数的个
9、数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. .满足满足(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图像解的图像: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图像通解的图像: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: :求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. .解：解：将将达达所求特解为所求特解为微分方程；微分方程； 微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结本节基本概念：本节基本概念：思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
