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1、7.3基本不等式及其应用高考数学高考数学1.基本不等式如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时取等号).2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)+2(a,b同号).(3)ab(a,bR+).知识清单(4)(a,bR+).拓展延伸1.“和定积最大,积定和最小”,即n(n=2,3,)个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据,不但可直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式问题.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积之和等.3.利用基本不等式求最值的变形
2、技巧凑、拆、除、代、解.(1)凑:凑项,例:x+=x-1+12+1=3(x1);凑系数,例:x(1-3x)=3x(1-3x)=;(2)拆:例:=x+3+=x-3+62+6=12(x3);(3)除:例:=1(x0);(4)代:例:已知a0,b0,a+b=1,求+的最小值.解析:+=+=1+12+2=4.(5)解:例:已知a,b是正数,且ab=a+b+3,求a+b的最小值.解析:ab,a+b+3,即(a+b)2-(a+b)-30,解得a+b6(a+b-2舍去). 利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值,其基本法则如下:(1)已知x,
3、yR+,若x+y=P(定值),当且仅当x=y时,积xy取得最大值P2;(2)已知x,yR+,若xy=S(定值),当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2.2.利用基本不等式求最值应满足的三个条件:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取到使等号成立的值.简记:一正、二定、三相等.方法技巧方法1如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理的拆分或配凑因式,以满足以上三个条件.3.利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法:一是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利
4、用基本不等式求解最值;二是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为求函数的最值.例1(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(2)(2016江苏南通中学检测,12)若a0,b0,且+=1,则a+2b的最小值为.(3)(2017江苏苏北四市期中)已知正数a,b满足+=-5,则ab的最小值为.解析(1)由x+3y=5xy,得+=5(x0,y0),则3x+4y=(3x+4y)=(13+12)=5,当且仅当=,即x=2y时,“=”成立.此时,由解得故填5.(2)设a+2b=t,则a=t-2b.a0,b0,+=1,+=1,即+=1.=1-=.从而2t-3b
5、=1+,即2t=3b+12+1=2+1,t.故a+2b的最小值为.(3)a,b为正数,+2,-52,即-5-60,6,ab36,当且仅当b=9a时取等号,因此ab的最小值为36.答案(1)5(2)(3)36 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤:(1)仔细阅读题目,透彻理解题意;(2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数;(3)应用基本不等式求出函数的最值;(4)还原实际问题,作出解答.例2(2016江苏泰州中学质检)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个
6、月的利润f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月方法2获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的当月利润率g(x)=,例如g(3)=.(1)求g(10);(2)求第x个月的当月利润率;(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.解析(1)依题意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=f(10)=1,g(10)=.(2)当x=1时,g(1)=,当1,当x=40时,g(x)取得最大值.即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为. 不等式恒成立问题不等式恒成立问题恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表,解此类问题主要有以
7、下三种方法:1.函数法设f(x)=ax2+bx+c(a0).(1)f(x)0在xR上恒成立a0且0;(2)f(x)0在xR上恒成立a0且0时,f(x)0在x,上恒成立或或f(x)0在x,上恒成立方法3(4)当a0在x,上恒成立f(x)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立ag(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方.例3若不等式x+2a(x+y)对任意的实数x,y(0,+)恒成立,则实数a的最小值为.解析由题意得a=恒成立.令t=(t0),则a.再令1+2t=u(u1),则t=,故a=.因为u+2(当且仅当u=时等号成立),故u+-22-2,从而0=,故a,即amin=.答案
