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1、1 1 不定积分的概念不定积分的概念引例引例第五章 不定积分 (1) xoy平面上一曲线过点平面上一曲线过点（0，1），并在，并在点点(x,y)的斜率为的斜率为ex-1，求此曲线。，求此曲线。(2)一质点在时刻一质点在时刻t以速度以速度v(t)=2t-1运动，求运动，求质点从初始时刻质点从初始时刻t=0到时刻到时刻t所经过的距离所经过的距离f(t)这两个问题和我们在第三章遇到的问题正好这两个问题和我们在第三章遇到的问题正好相反！要解决这类问题，必须学习相反！要解决这类问题，必须学习不定积分不定积分一、一、原函数与不定积分原函数与不定积分设函数设函数f 的定义域为区间的定义域为区间I,若存在若存
2、在I上的可微函数上的可微函数F,使使F (x)= f(x)(xI ).则称则称F(x)为为f 在区间在区间I上的一个上的一个原函数原函数原函数原函数.注注:若若f(x)在在区间区间I上连续上连续，则在下一章我们将知道则在下一章我们将知道f(x) 在在区间区间I上上存在原函数存在原函数.即：连续函数必有原函数即：连续函数必有原函数.注注:若若F (x)= f(x),则则 CR,有有F(x)+C =F (x)= f(x).这就是说这就是说,若若f(x)有原函数有原函数,则则f(x)有无限多个原函数有无限多个原函数. 注注:若若F(x)和和G(x)都是都是f(x)的原函数的原函数,则则F(x) G(
3、x) =F (x) ) G ( (x) = 0.) = 0.故故F(x) G(x)为常数为常数f(x)的的任两个任两个原函数相差一个常数原函数相差一个常数.这就是说这就是说,若若f(x)有一个原函数有一个原函数F(x), , 则则f(x)的其他原函的其他原函数都可以写成数都可以写成F(x)+C, 其中其中C为某个常数为某个常数.注注:设设F(x)为为f(x)在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数.我们用我们用F(x)+C，C为任意实数为任意实数表示表示f(x)在区间在区间I上的全体原函数上的全体原函数. 定义定义函数函数f(x)在区间在区间I上的全体原函数称为上的全体原函数称为f(x)在区
4、间在区间I上的上的不定积分不定积分不定积分不定积分.记为记为称为称为积分符号积分符号积分符号积分符号,f(x)称为称为被积函数被积函数被积函数被积函数,f(x)dx称称为为被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式,x称为称为积分变量积分变量积分变量积分变量.若若F(x)为为f(x)在区间在区间I上的一个原函数，上的一个原函数，则则=F(x)+C.其中其中C称为称为积分常数积分常数积分常数积分常数.注注:求已知函数的求已知函数的不定积分就是求它的一个不定积分就是求它的一个原函数原函数,再加上任意常数再加上任意常数C. 其中其中例例1 1求求解解解解例例2 2求求解解例例3 3例例4 4解解例例5
5、 5解解例例6 6设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为显然显然,求不定积分得到一积分曲线族求不定积分得到一积分曲线族.这些积分曲线在相这些积分曲线在相同横坐标处的切线斜率是相同的同横坐标处的切线斜率是相同的,因此在这些点处的切线因此在这些点处的切线是互相平行的是互相平行的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：求导数求导数(微分微分)运算与求不
6、定积分的运算是运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质性质性质1 1此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况性质性质2 2 不为零的常数可以提到积分符号外面不为零的常数可以提到积分符号外面. .性质性质3 3 两个函数代数和的不定积分等于函数不定积分两个函数代数和的不定积分等于函数不定积分的代数和的代数和. 由于求不定积分是求导的逆运算由于求不定积分是求导的逆运算,因此由因此由基本导数公式，有基本基本导数公式，有基本积分积分公式公式.积分积分公式公式导数导数公式公式 1.2.2基本积分公式和直接积分法基本积分公式和直
7、接积分法3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.例例1 1求积分求积分解解根据积分公式根据积分公式例例2 2求积分求积分解解注意注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数其导数是否等于被积函数练习练习例例3 3求积分求积分解解例例4 4求积分求积分解解例例5 5求积分求积分解解例例6 6 求积分求积分解解例例7 7求积分求积分解解例例8 8求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能利用性质和基本积分表求出结果能利用性质和基本积分表求出结果.-直接积
8、分法直接积分法练习引例的解决引例的解决(1) xoy平面上一曲线过点平面上一曲线过点（0，1），并在点，并在点(x,y)的斜率为的斜率为ex-1，求此曲线。，求此曲线。解解:设设此曲线为此曲线为y=f(x),则则f(x)=ex-1, f(0)=1 因而因而得得 f(x)=ex-x.(2)一质点在时刻一质点在时刻t以速度以速度v(t)=2t-1运动，求质点运动，求质点从初始时刻从初始时刻t=0到时刻到时刻t所经过的距离所经过的距离f(t)解解:f(t)=v(t)=2t-1, f(0)=0 因而因而得得 f(t)=t2-t.直接利用基本积分表和直接积分法所能计算的直接利用基本积分表和直接积分法所能
9、计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第
10、一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。3换元积分法换元积分法问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法说明结果正确说明结果正确将上例的解法一般化：将上例的解法一般化：设设则则如果如果（可微）可微）将上述作法总结成定理，使之合法化，可得将上述作法总结成定理，使之合法化，可得换元法积分公式换元法积分公式第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1例例1 1求求解解（一）
11、（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2求求解解一般地一般地例例3 3求求解解注意：注意：分子拆项分子拆项是常用的技巧是常用的技巧例例4 4求求解解例例5 5求求解解例例6 6解解例例7 7求求解解例例8 8解解例例9 9求求解解例例1010求求解解例例1111求求解解例例1212求求解解例例1313求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1414求求解解例例1515解解例例1818. .例例1616.例例1717. . 类似可得类似可得例例例例19191919.或或=ln|tanx+secx|+C.=ln|t
12、anx+secx|+C. 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。子。类似可得类似可得问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分
13、凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法证证设设为为的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式例例1.求下列不定积分求下列不定积分.(1)解解:令令则则=2u 2ln|1+u|+C(2) 解解:令令则则 解解:令令则则说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式时，可采用令时，可采用令（其中（其中为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2 2求求解解令令例例例例3 3 3 3. .求求(其中其中a 0).解解:令令x=asinu,则 例例4 4求求解解 令令例例5求求
14、解解 令令注注:巧用凑微分法巧用凑微分法,可迅速解决上述问题可迅速解决上述问题.事实上事实上,又如又如: 说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令注意注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定并不是绝对的，需根据被积
15、函数的情况来定.例例6 6求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）解解令令例例7 7求求解解 令令说明说明当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用可采用倒代换倒代换例例8 8求求解解令令基基本本积积分分表表 前面我们在复合函数微分法的基础上，前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法本积分方法分部积分法，它是两个函分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。数乘积的微分法则的逆转。3分部积分法分部积分法 问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘
16、积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式注注分部积分公式的特点：等式两边分部积分公式的特点：等式两边u,v 互换位置互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分分部积分公式的作用：当左边的积分不易求得，而右边的积分不易求得，而右边的积分容易求得容易求得利用分部积分公式利用分部积分公式化难为易化难为易例例1 1求积分求积分解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二） 令令分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说，一般来说，u,v 选取的原则是：选取的原则是：（1）积分容易者选
17、为）积分容易者选为v （2）求导简单者选为）求导简单者选为u分部积分法的分部积分法的实质实质是：将所求积分化为两个积分是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。实际上是两次积分。例例2 2求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例3 3求积分求积分解解令令若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和
18、对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为.这样使用一次分部积分这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。例例4 4求积分求积分解解总结总结例例5 5求积分求积分解解注注：本题也可令：本题也可令分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数定要加
19、上积分常数C例例6 6求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式例例7解解有些积分还要结合分部积分法、换元积分法综合求解例8练习注：注：有些积分的被积函数的原函数虽然存在有些积分的被积函数的原函数虽然存在,但但 原函数原函数却不能用初等函数表示出来却不能用初等函数表示出来.通常把被积函数的原函数不能用初等函数表通常把被积函数的原函数不能用初等函数表示出来的积分称为示出来的积分称为“积不出来积不出来”的的.例如例如这几个例子已被刘维尔于这几个例子已被刘维尔于1835年证明年证明.LiouvilleLiouville 法法法法 (18091882)(18091882) 例例1.设设a 0,则则例例2
20、.设设a0,则则例例3. 例例4.例例5.例例6.例例7.例例8. 例例9.例例10.例例11.=arctan(x+2)+C. 例例15.例例16. 例例22.计算不定积分计算不定积分解解:(法一法一)令令则则注注:法一法一中中的代换称为的代换称为倒数代换倒数代换. (法二法二) 例例23.计算计算解解:令令则则于是于是注注 :本例中的本例中的代换方法称为代换方法称为半角代换半角代换. 例例24.计算计算则比较烦则比较烦.(其中其中a,b 0).解解:令令t=tanx,则则注注 :本例若令本例若令 例例(1) (2)(3)例例1414求求解解例例1313求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）解（三）解（三）类似地可推出类似地可推出
