《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.33.3二倍角的三角函数二倍角的三角函数( (一一) )【知知识提提炼】二倍角公式及其二倍角公式及其变形形sinsincoscos+cos+cossinsin2sin2sincoscoscoscoscoscos-sin-sinsinsin2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题: :(1)(1)公式公式T T22成立的条件是什么成立的条件是什么? ?提示提示: :k k+ ,+ ,k k , ,k kZ Z. .(2)(2)二倍角公式二倍角公式应用用过程中程中,“,“角角”和三角函数式的和三角函数式的“次数次数”是如何是如何变
2、化化的的? ?提示提示: :两种变化形式两种变化形式: :一是一是“角角”变二倍变二倍, ,“次数次数”降低为一次降低为一次; ;二是二是“角角”变为原来的一半变为原来的一半, ,“次数次数”升高为二次升高为二次. .2.2.计算算1-2sin1-2sin2 222.522.5的的结果等于果等于( () ) 【解析解析】选选B.1-2sinB.1-2sin2 222.522.5=cos45=cos45= .= .3.sin15sin753.sin15sin75的的值为( () ) 【解析解析】选选B.sin15B.sin15sin75sin75=sin15=sin15cos15cos15= =
3、 2sin152sin15cos15cos15= sin30= sin30= .= .4.2cos4.2cos2 275-1=_.75-1=_.【解析解析】2cos2cos2 27575-1=cos150-1=cos150=-cos30=-cos30=- .=- .答案答案: :- -5.5.若若tantan=2,=2,则tan2=_.tan2=_.【解析解析】tan2tan2= = 答案答案: : 【知识探究知识探究】知知识点点 正弦、余弦、正切的二倍角公式正弦、余弦、正切的二倍角公式观察如察如图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:二倍角的含二倍角的含义是什么是什么?
4、 ?其有哪些其有哪些变形形? ?问题2:2:二倍角公式及其二倍角公式及其变形各有什么特点形各有什么特点? ?它它们如何使用如何使用? ?【总结提升提升】1.1.对二倍角中二倍角中“倍倍”的的说明明(1)“(1)“倍倍”具有广泛的含具有广泛的含义. .例如例如,2,2是是的二倍角的二倍角, ,同同样地地,4,4是是22的二倍角的二倍角,2,2n n是是2 2n-1n-1的二倍角的二倍角,是是 的二倍角的二倍角,3,3是是 的二的二倍角等倍角等. .(2)(2)在具体在具体应用中可先用中可先对角角进行行观察察, ,寻求待求的角与已知角之求待求的角与已知角之间的的差异差异, ,再决定用哪种再决定用哪
5、种“倍倍”的关系的关系. .2.2.二倍角公式的二倍角公式的应用用(1)(1)直接直接应用公式用公式进行升行升幂、配方、开方、求、配方、开方、求值化化简证明等运算明等运算. .(2)(2)变形形应用公式主要体用公式主要体现在化异角在化异角为同角、化异次同角、化异次为同次、逆用公同次、逆用公式等方面式等方面, ,其中二倍角的余弦公式最灵活其中二倍角的余弦公式最灵活. .如如:1+cos2=2cos:1+cos2=2cos2 2;coscos2 2= ;1-cos2=2sin= ;1-cos2=2sin2 2;sin;sin2 2= ,= ,不不仅仅是逆用是逆用, ,更重要的是体更重要的是体现了了
6、幂指数的指数的变化化, ,其中其中是从一次是从一次幂向二次向二次幂转换, ,因此把它因此把它们称称为升升幂公式公式,则是从二次是从二次幂向一次向一次幂转换, ,因此把它因此把它们称称为降降幂公式公式. .【题型探究题型探究】类型一型一 求二倍角的函数求二倍角的函数值【典例典例】1.1.若若sinsin= ,= ,则cos2=_.cos2=_.2.2.已知已知 的的值是是_._.【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中的条件和所求式中的角有什么中的条件和所求式中的角有什么联系系? ?提示提示: :两角为二倍角关系两角为二倍角关系. .2.2.典例典例2 2中中 是哪个角的二倍是哪个角的二倍?
7、?这个角与个角与 有什么关系有什么关系? ?提示提示: : 【解析解析】1.1.由由sinsin= ,= ,得得cos2cos2=1-2sin=1-2sin2 2= = 答案答案: :2.2.因为因为 所以所以 答案答案: :- -【方法技巧方法技巧】用二倍角公式求解用二倍角公式求解给值求求值问题的常用策略的常用策略(1)(1)当已知和待求式含有三角函数的平方式当已知和待求式含有三角函数的平方式时, ,需先降需先降幂, ,再求解再求解. .(2)(2)先探先探寻到已知和待求式中角的倍、到已知和待求式中角的倍、单角关系角关系, ,再正用或逆用二倍角再正用或逆用二倍角公式求解公式求解. .(3)(
8、3)当式子中涉及的角当式子中涉及的角较多多时, ,要探要探寻其其间的关系的关系, ,化异角化异角为同角同角. .【变式式训练】已知已知 求求sin2,cos2,tan2sin2,cos2,tan2的的值. .【解题指南解题指南】由由sin2sin2=2sin=2sincoscos,cos2,cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2知应先知应先求出求出sinsin,cos,cos的值的值. .【解析解析】因为因为 所以所以sinsin=- =- coscos, ,代入代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得得 coscos2 2+cos+cos2 2=1.=1.因为
9、因为 所以所以sin2=2sincos= sin2=2sincos= cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2= = tan2= tan2= 类型二型二 化化简与与证明三角函数式明三角函数式【典例典例】1.1.化化简: =_.: =_.2.2.证明明: : 【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中中 有什么关系有什么关系? ?提示提示: : 2.2.典例典例2 2中左、右两中左、右两边的差的差别是什么是什么? ?如何消除差如何消除差别? ?提示提示: :左边为弦函数的高次的分式左边为弦函数的高次的分式, ,右边为切函数右边为切函数, ,将左边正向运用二将左边正向运用二倍角
10、公式进行约分化简即可证明倍角公式进行约分化简即可证明. .【解析解析】1.1.原式原式= = 答案答案: :1 12.2.左边左边= = = =tantan= =右边右边. .【延伸探究延伸探究】( (变换条件条件) )若将典例若将典例1 1的式子改的式子改为“ ”“ ”, ,结果如何果如何? ?【解析解析】原式原式= = 答案答案: : 【方法技巧方法技巧】1.1.化化简三角函数式的策略三角函数式的策略一一般般地地, ,三三角角函函数数式式的的化化简要要从从减减少少角角的的种种类, ,减减少少函函数数的的种种类, ,改改变函函数数式式的的运运算算结构构入入手手, ,通通过切切化化弦弦、弦弦化
11、化切切、异异角角化化同同角角、高高次次降降幂、分解因式、逆用公式等手段、分解因式、逆用公式等手段, ,使函数式的使函数式的结构化构化为最最简形式形式. .2.2.证明三角恒等式的原明三角恒等式的原则与步与步骤(1)(1)观察察恒恒等等式式的的两两端端的的结构构形形式式, ,处理理原原则是是从从复复杂到到简单, ,高高次次降降低低, ,复复角角化化单角角, ,如如果果两两端端都都比比较复复杂, ,就就将将两两端端都都化化简, ,即即采采用用“两两头凑凑”的思想的思想. .(2)(2)证明明恒恒等等式式的的一一般般步步骤是是: :先先观察察, ,找找出出角角、函函数数名名称称、式式子子结构构等等方
12、方面面的的差差异异, ,然然后后本本着着“复复角角化化单角角”“”“异异名名化化同同名名”、变换式式子子结构构“变量集中量集中”等原等原则, ,设法消除差异法消除差异, ,达到达到证明的目的明的目的. .【变式式训练】化化简下列各式下列各式: : 【解析解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)方法一方法一: :原式原式= = 方法二方法二: :原式原式= = 易易错案例案例 由条件求由条件求值【典例典例】(2015(2015榆林高一林高一检测) )已知已知 则sinsin=_.=_.或或【失失误案例案例】【错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里
13、吗? ?提示提示: :错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了角的范围致误角的范围致误, ,实际上本题由实际上本题由sin(2sin(2- -)= 0,)= 0,可进一步缩小角可进一步缩小角2 2- -的范围的范围. .【自我矫正自我矫正】因为因为 所以所以22,0- ,22,0- ,所以所以2- .2-0,sin(2-)= 0,得得22- ,22- ,所以所以cos(2-)= .cos(2-)= .因为因为- 0,- 0, 所以所以cos2=cos(2-)+cos2=cos(2-)+=cos(2-)=cos(2-)cos-s
14、in(2-)cos-sin(2-)sinsin 由由cos 2=1-2sincos 2=1-2sin2 2,得得sinsin2 2= ,= ,又又 ,0,0,可以将可以将2-2-的的角度角度进行再行再缩小小, ,得得22-22- , ,就可以就可以轻松求解其余弦松求解其余弦. .2.2.技巧技巧问题熟熟练将将所所求求角角与与已已知知角角联系系, ,建建立立关关系系式式是是解解题的的关关键. .本本例例在在求求解解过程程中中要要求求cos2,cos2,所所以以需需要要构构造造角角度度, ,即即cos2=cos(2-)+,cos2=cos(2-)+,这需要需要结合已知条件合已知条件进行分析求解行分析求解. .
