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1、华乐思在线教学直播课堂华乐思在线教学直播课堂马上开始马上开始请同学同学们准准备好笔和好笔和纸，认真听真听讲直播课堂直播课堂 因式分解的扩展因式分解的扩展主讲老师：白真主讲老师：白真教师简介：白真中学高级教师，区级希望之星中学高级教师，区级希望之星,骨干教师骨干教师毕业于北京师范大学数学系，现在于北京毕业于北京师范大学数学系，现在于北京四中担任数学教师，任重点班的教学四中担任数学教师，任重点班的教学, ,并并且负责全年级的竞赛指导工作且负责全年级的竞赛指导工作. .连续多年连续多年带毕业班，中高考成绩极为优异数学竞带毕业班，中高考成绩极为优异数学竞赛成绩尤为突出赛成绩尤为突出!一、专题难点一、专
2、题难点1、利用乘法公式、利用乘法公式,十字相乘十字相乘,换元法进行因换元法进行因 式分解；式分解；2、利用拆补项进行因式分解；、利用拆补项进行因式分解；3、进行因式分解的主要技巧、进行因式分解的主要技巧二、专题知识点二、专题知识点因式分解的概念因式分解的概念把一个含字母的多项式表示成若干个均把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解个多项式因式分解 因式分解的因式分解的通常通常步骤及要求：步骤及要求：（1）常常先提公因式再用公式法进行因式分解）常常先提公因式再用公式法进行因式分解（2）因式分解一定要进行到每一个因式
3、不能再分解）因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解 为止为止（3）多项式第一项为负系数，常先提出负号使分解）多项式第一项为负系数，常先提出负号使分解后的第一项系数为正后的第一项系数为正（4）多项式因式分解结果中常用小括号出现，因式）多项式因式分解结果中常用小括号出现，因式中不含中括号中不含中括号我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，符号处理，书写规范符号处理，书写规范二、专题知识点二、专题知识点因式分解的方法：因式分解的方法：（一）提公因式法（一）提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以
4、把这个公因式提出来，公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式从而将多项式化成两个因式乘积的形式二、专题知识点二、专题知识点二、专题知识点二、专题知识点（二）应用公式法（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式二、专题知识点二、专题知识点（三）分组分解法（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目
5、的是为提取公因要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的顺利地达到分解因式的目的( (四四) )乘法公式的扩展乘法公式的扩展乘法公式：乘法公式：（1）平方差：）平方差：（2）完全平方公式：）完全平方公式： （3）多项式的平方：）多项式的平方： 二、专题知识点二、专题知识点补充公式：补充公式： 动画一动画一 动画二动画二 动画三动画三 动画四注：乘法公式中的字母可以表示数、单项注：乘法公式中的字母可以表示数、单项式、多项式，在应用公式之前应先从整体式、多项式，在应用公式之前应先从整体上观察，检查
6、是否符合公式的结构特征，上观察，检查是否符合公式的结构特征，特别是符号不要出错，不可盲目应用特别是符号不要出错，不可盲目应用( (四四) )乘法公式的扩展乘法公式的扩展二、专题知识点二、专题知识点三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题例例3. 3. 分解因式：分解因式： 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通常采用分组分解法，用这种方法的思路是：先看常采用分组分解法，
7、用这种方法的思路是：先看有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决定分组，分组的时候要考虑分组后是否可以分解定分组，分组的时候要考虑分组后是否可以分解因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定要是要是n n个整式的积的形式个整式的积的形式 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题拓展拓展题题例例5.5.分解因式：分解因式： 思路分析：思路分析：三、典型
8、例题三、典型例题 拓展拓展题题三、典型例题三、典型例题换元换元 思路分析：我思路分析：我们可以将可以将x25x3当成整体，并当成整体，并设x25x3=y，则将原式化将原式化为y25y6，从而，从而使使问题得解得解.例例6 6分解因式分解因式:(x25x3)(x25x2)6 三、典型例题三、典型例题换元法换元法则则, ,原式原式解：解：设三、典型例题三、典型例题拓展题拓展题思路分析：可以将一次思路分析：可以将一次项7x拆成拆成x6x，然，然后再分成两后再分成两组(x3x)和和(6x6)，可达到分解因，可达到分解因式的目的式的目的. 例例7.7.分解因式：分解因式： 解：解： 三、典型例题三、典型
9、例题拓展题拓展题课间休息五分钟课间休息五分钟三、典型例题三、典型例题公式的构造公式的构造思路分析：此题为两数的平方和，无法直接思路分析：此题为两数的平方和，无法直接运用公式，考虑到运用公式，考虑到x x4 4+4x+4x2 2+4=(x+4=(x2 2+2)+2)2 2，故可，故可以添加以添加4x4x2 2-4x-4x2 2，构成平方差公式，构成平方差公式. .例例8 8分解因式分解因式:x:x4 4+4.+4.三、典型例题三、典型例题公式的构造公式的构造解：解：原式原式三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用思路分析思路分析: :欲比较欲比较m、n的大小，通常可以利用作的大小，通
10、常可以利用作差法，再利用因式分解差法，再利用因式分解, ,来判断各因式的符号来判断各因式的符号. .三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用 解：解：三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用 因为 所以 所以 因此MN，选B三、典型例题三、典型例题重新整理组合重新整理组合 思路分析：此多项式的形式无法再继续分解，思路分析：此多项式的形式无法再继续分解，因此需先打破原来的形式，而后重组分解即先因此需先打破原来的形式，而后重组分解即先破后立破后立 例例10.10.分解因式：分解因式： 三、典型例题三、典型例题重新整理组合重新整理组合 解：解：思路思路分析：分析：我们观察出我
11、们观察出(x-1)(x-4)(x-1)(x-4)的常数项之和的常数项之和与与(x-2)(x-3)(x-2)(x-3)常数项之和相等常数项之和相等, ,故可部分相乘故可部分相乘, ,得得x x2 2-5x+4-5x+4和和x x2 2-5x+6,-5x+6,在将在将x x2 2-5x-5x当作整体当作整体, ,再相乘后再相乘后与与120120合并同类项合并同类项, ,就可以达到分解的目的了就可以达到分解的目的了三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 例例11.11.分解因式：分解因式： 三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 解：解： 例例12.12.因式分解下列各式因式
12、分解下列各式: :(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2；(2)x4+2x39x22x+8；(3)ab(a+b)2(a+b)2+1三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例13. 13. 已知一个凸四边形已知一个凸四边形ABCDABCD的四条边的长的四条边的长依次为依次为a a、b b、c c、d d，且，且判断四边形判断四边形ABCDABCD的形状的形状. . ，解：解： 即 即故四边形ABCD是平行四边形三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例14.14.已知已知长方形的周方形的周长是是16cm16
13、cm，它的两，它的两边x、y是是整数，且整数，且满足足 ， 求其求其面面积分析：分析：要求要求长方形面方形面积，必，必须利用已知条件求出利用已知条件求出两两边x、y，一个条件是，一个条件是 ，另一个，另一个是条件等式是条件等式观察等式左端特点可以考察等式左端特点可以考虑利用交利用交换律、律、结合律分合律分组后分解因式，两个条件后分解因式，两个条件结合求合求值 三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用 解：解：即又或三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用 解得由x、y是整数，得 故长方形面积三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例15. 15. 一圆形灯具，在
14、一个大圆盘中，嵌入一圆形灯具，在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是影部分的面积是 ，试求大、小圆盘，试求大、小圆盘的半径的半径 评析：评析：在这里因式分解是解题的关键，在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到因为因式分解可以得到解题思路豁然开朗解题思路豁然开朗. .三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用、解：解：设大大圆盘的半径的半径为RdmRdm，小，小圆盘的半径的半径为rdmrdm，则由由题意，得意，得 即即由于由于必有必有1项为5的倍数，的倍数，则 三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解
15、应用三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例17.17.P( (x) )是一个关于是一个关于x的二次多项式的二次多项式, ,且且7x3-5x2+6x-m-1=(x-1)P(x)+a其中其中m, ,a是与是与x无关的常数无关的常数, ,则则P( (x) )的表达式为的表达式为? ?三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例18.18.若若yz, ,且满足且满足, ,2 2，则，则x+y+z的值为的值为? ?三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例19.19.因式分解：因式分解：x2(yz)y2(zx)z2(xy)三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用本节课到此结束本节课到此结束请同学们下节课准时学习！请同学们下节课准时学习！
