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1、本学期学习内容本学期学习内容教材上册教材上册:第五章第五章 定积分定积分第六章第六章 定积分的应用定积分的应用教材下册教材下册:第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第九章第九章 重积分重积分第十二章第十二章 微分方程微分方程第十一章第十一章 无穷级数无穷级数1第五章第五章 定积分定积分第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质2abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出一、问题的提出两个问题要解决两个问题要解决:一个是给出面积的定义，一个是给出面积的定义，一个是给出面积的定义，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。一
2、个是找出计算面积的方法。一个是找出计算面积的方法。一个是找出计算面积的方法。矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系5观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积
3、的关系6观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系7观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系8观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系9观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系10观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，
4、注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系11曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，具体解决步骤具体解决步骤 :分割分割近似近似12曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限13实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路
5、程的精确值14（1）分割分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和求和（4）取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2) 近似近似15曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积变速直线运动变速直线运动变速直线运动变速直线运动的路程的路程的路程的路程 以上两个和式的极限形式完全相同以上两个和式的极限形式完全相同以上两个和式的极限形式完全相同以上两个和式的极限形式完全相同, ,如何用数学如何用数学如何用数学如何用数学的方法统一的加以解决的方法统一的加以解决的方法统一的加以解决的方法统一的加以解决? ? 1. 1. 对这类问题进行数学抽象对这类问题进行数学抽象对这类问题进行数学抽
6、象对这类问题进行数学抽象, ,建立严格的理论基础建立严格的理论基础建立严格的理论基础建立严格的理论基础; ; 2. 2. 找到求这一类极限值的有效方法找到求这一类极限值的有效方法找到求这一类极限值的有效方法找到求这一类极限值的有效方法. .16二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义17被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和18注意：注意：1920定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理（充分条件）三、存在定理（充分条件）21曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何
7、意义22几何意义：几何意义：23例例1面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的x1y24例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解2526例例3. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:解解:27思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.原式原式28对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小定积分的性质定积分的性质29证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 130证证性质性质2 231
8、补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 332证证性质性质4 4性质性质5 533性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）34证证性质性质5 5的推论：的推论：（2）35性质性质5(5(定积分的保号性定积分的保号性) )命题命题证证36解解令令于是于是37例例2 柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式38证证被积函数非负被积函数非负39证证即证即证柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式40证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 641解解42解解4344证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式45使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：46解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使47内容小结内容小结1. 定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2. 定积分的性质定积分的性质3. 积分中值定理积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式48
