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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索人教人教A版版 必修必修1 集合与函数的概念集合与函数的概念第一章第一章1.3函数的基本性质函数的基本性质第一章第一章1.3.2奇偶性奇偶性第二课时习题课第二课时习题课题题 型型 讲讲 解解2课课 时时 作作 业业4知知 识识 整整 合合1当当 堂堂 检检 测测3知知 识识 整整 合合网络构建网络构建(1)判断函数单调性的步骤：任取x1，x2R，且x1x2；作差：f(x1)f(x2)；变形(通分、配方、因式分解)；判断差的符号，下结论(2)求函数单调性要先确定函数的定义域(3)若f(x)为增(减)函数，则f(x
2、)为减(增)函数(4)复合函数yf(g(x)的单调性遵循“同增异减”的原则规律小结规律小结(5)奇函数的性质：图象关于原点对称；在关于原点对称的区间上单调性相同；若在x0处有定义，则有f(0)0.(6)偶函数的性质：图象关于y轴对称；在关于原点对称的区间上单调性相反；f(x)f(x)f(|x|)(7)若奇函数f(x)在a，b上有最大值M，则在区间b，a上有最小值M；若偶函数f(x)在a，b上有最大值m，则在区间b，a上也有最大值m.题题 型型 讲讲 解解探究1.如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？探究2.要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？
3、函数单调性的应用函数单调性的应用解析由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0.分段点x1处的值应满足122a12a1a1，解得a2.所以2a0.答案B规律总结在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件分析利用偶函数的对称性，先求a0时，a值再求a0时a值奇偶性的应用奇偶性的应用(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0分析逆用偶
4、函数的定义求a.解析显然xR，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|，又xR，所以a0.已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？探究1.若本例中的偶函数改为奇函数单调性如何？你会证明吗？分析由函数的奇偶性进行转化奇奇(偶偶)函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的两两个个区区间间上上的的单调性单调性 解析设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2
5、)于是f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数点评由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的规律总结函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小(2)如果奇函数f(x)在区间1,6上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x
6、)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值解析(1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)，f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3)(2)设6x1x21，则1x2x16，f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，又f(x)为奇函数，4f(x2)f(x1)10，10f(x1)f(x2)4，即f(x)在6，1上是增函数，且最小值为10，最大值为4.(2015河南淇县一中月考试题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0时，f(x)0时，f(x)0，对其中
7、的x，y不断赋值解析(1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0)，f(0)0，f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x10，又当x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数(3)f(x)在R上是减函数f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3)f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6，f(3)f(3)6.从而f(x)在区间3,3上的最大值
8、是6，最小值是6.规律总结对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解析(1)令x1x21，得f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.当当 堂堂 检检 测测1如果偶函数在2，1上有最大值，那么该函数在1,2上()A有最大值B有最小值C没有最大值D没有最小值答案A解析偶函数图象关于y轴对称，如果在2，1上有
9、最大值，那么该函数在1,2上也有最大值2函数f(x)在区间(4,7)上是增函数，则使得yf(x3)为增函数的区间为()A(2,3)B(1,7)C(1,10)D(10，4)答案C解析yf(x3)的图象可以由f(x)的图象向右平移8个单位得到，故其在(1,10)上一定为增函数4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：f(0)0；若f(x)在0，)上有最小值1，则f(x)在(，0)上有最大值1；若f(x)在1，)上为增函数，则f(x)在(，1上为减函数；若x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)x22x.其中正确结论的序号是：_.答案解析根据奇函数的定义与性质一一验证即可5(2015河南淇县一中月考试题)已知函数f(x)x24x3.(1)若g(x)f(x)bx为偶函数，求b；(2)求函数f(x)在3,3上的最大值解析(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3，g(x)x2(b4)x3，g(x)g(x)，b40，b4.(2)f(x)x24x3关于直线x2对称，因此f(x)在x2取得最小值1，在x3取得最大值24.
