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1、定理：行列式某一行（或列）的每一元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零。即:2 2 逆矩阵逆矩阵一、准备知识1结合行列式的展开定理，有：2引例：若 ，求矩阵X，使：AX=E2 解：设解线性方程组容易得到：x1=3, x2=2 ,x3=1, x4=1.问题：对于矩阵A，是否存在一个矩阵A1，使得：比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b.二、逆矩阵的概念31.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E，则称A为可逆矩阵（简称可逆），并称B为A的逆矩阵。例：对于 ，否则称A是不可逆的。AB=E=BA.故A是可逆的，并且B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为：A1，即： A A
2、1= A1 A=E2.问题：(1)怎么样的方阵才可逆？(2)若A可逆，逆阵有多少个？(3)若A可逆，怎样去求它的逆阵A1？4分析：设B和C都是A的逆矩阵, 则：AB=BA=E, AC=CA=E,B=BE=B (AC)= (BA) C=EC=C需证明B=C（证明唯一性常用同一法）又注：适当乘上单位阵E，并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式，是一种常用的技巧。单位阵技巧3.定理：若A可逆，则A的逆阵唯一。三、逆阵存在的充分必要条件1.定理：若A可逆，则 . 注：如果 ，则称A是非奇异的，否则称A是奇异的。52.伴随矩阵：设An=（aij），令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代数余子式，将这
3、n2个数排成如下n阶方阵:（注意 中Aij 的排列）称之为A的伴随矩阵。例：求 的伴随矩阵。6同理可得：解：所以：2326624523.定理：设A为n阶方阵，若 ，则A可逆，且： 7一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和|A|000|A|0|A|00一行元素与对应代数余子式乘之和同理：证明：8例：求 的逆矩阵。解：A1存在，故注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2. 中Aij的排列。9 4.定理：方阵A可逆推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即A、B皆可逆, 且A、B互为逆矩阵。证明：因为AB=E，所以|A|B|=1，|A|0, |B|0,故 A、B皆可逆。BA
4、=EBA=(A1A)BA=A1(AB)A=A1EA=A1A=E注：1.判断B是否为A的逆, 只需验证AB=E或BA=E的一个等式成立即可。2.逆矩阵是相互的。即：若A1=B，则B1=A.（课本54页推论1）10练习：1.求 的逆矩阵。答案：1.（其中|A|=1）2.设A、B都是n阶方阵，B可逆，且A2+AB+B2=O，证明：A和A+B均可逆。2.提示：只需证明把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=B2思考：11四、逆阵的性质1.若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1=A.2.若A可逆，数 ，则kA也可逆，且：3.若A可逆，则AT也可逆，且 (AT)-1= (A -1)T.4.若A、B为同阶可
5、逆方阵，则其积AB也可逆，且: (AB)-1= B-1A-1推广：5.若A可逆，|A1|=|A|1，(AB)-1 A-1B-1注：一般的，(kA)-1 kA-112例：设 求矩阵X，使 AX=B.分析：法一：待定系数法若法二：，则A可逆，由 AX=B可得：X=A1B注：若YA=B，则Y=BA1.13例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中：分析： AB=2A+B AB2A=B A(B2E)=B若|B2E|0，则A=B (B2E)1容易错为 A(B2)=BA=B (B2E)114练习：用逆矩阵解线性方程组答案：15思考：若A、B均可逆，那么A+B可逆吗？不一定。如A=E，B=E， A+B=O不可逆。注：就算A+B可逆， (A+B)1 A1+B1.16
