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1、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二20142014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题一、选择题:1:18 8 小题小题, ,每题每题 4 4 分分, ,共共 3232 分分. .以下每题给出的四个选项中以下每题给出的四个选项中, ,只有一个选项符合题目只有一个选项符合题目要求的要求的, ,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上. .1(1) 当x 0时，假设ln (12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是( )(A)(2,)(B)(1,2)(C)( ,1)12(D)(0,
2、)12(2) 以下曲线中有渐近线的是()(A)y xsin x(C)y xsin(B)y x sin x(D)y x sin221x1x(3) 设函数f (x)具有 2 阶导数，g(x) f (0)(1 x) f (1)x， 则在区间0,1上(A) 当f (x) 0时，f (x) g(x)(C) 当f (x) 0时，f (x) g(x)(B) 当f (x) 0时，f (x) g(x)(D) 当f (x) 0时，f (x) g(x)2x t 7(4) 曲线上对应于t 1的点处的曲率半径是2y t 4t 1 (A)1050函(B)10100(C)10 10(D)5 10(5)设数f (x) arc
3、tan x，假设f (x) xf ()，则limx02x2 (A)1(B)23(C)12(D)132u(6) 设函数u(x, y)在有界闭区域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足 0xy2u2u及22 0， 则xy(A)u(x, y)的最大值和最小值都在D的边界上取得12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二(B)u(x, y)的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)u(x, y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得0a(7) 行列式b0b0d(B)(ad bc)(D)b c a d22222a0
4、00cdc020(A)(ad bc)(C)a d b c2222(8) 设1,2,3均为 3 维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件二、填空题：二、填空题：9 91414 小题小题, ,每题每题 4 4 分分, ,共共 2424 分分. .请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上. .(9)1x22x5dx _.1(10) 设f (x)是周期为4的可导奇函数， 且f (x) 2(x1),2yz则f (7) _.x0,2，(11) 设z z(x
5、, y)是由方程e7 x y2 z 确定的函数，则dz41 1( , )2 2_.(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ， 则L在点(r,) (_. ,)处的切线的直角坐标方程是2 22(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,假设其线密度x x 2x1,则该细棒的质心坐标x _.(14) 设二次型fx1,x2,x3 x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数为 1，则a的取值范围为22_.三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证220
6、14 年全国硕士研究生入学统一考试数学二明过程或演算步骤明过程或演算步骤. .(15)(此题总分值 10 分)求极限limxx121tte 1tdt.1 x2ln1x22(16)(此题总分值 10 分)已知函数y yx满足微分方程x y y 1 y，且y2 0，求yx的极大值与极小值.(17)(此题总分值 10 分)设平面区域D x, y1 x2 y2 4,x 0, y 0,计算Dxxsinx2 y2x ydxdy.(18)(此题总分值 10 分)2z2zx2x设函数f (u)具有二阶连续导数，z f (e cosy)满足22 (4z e cos y)e，假设xyf (0) 0, f(0) 0
7、，求f (u)的表达式.(19)(此题总分值 10 分)设函数f (x),g(x)的区间a,b上连续，且f (x)单调增加，0 g(x) 1.证明：(I)0 (II)xabg(t)dt xa,xa,b,aaag(t)dtf (x)d x bf (x)g(x)dx.a(20)(此题总分值 11 分)设函数f (x) x,x0,1，定义函数列f1(x) f (x), f2(x) f ( f1(x),1 x,fn(x) f ( fn1(x),极限limnSn.n，记Sn是由曲线y fn(x)，直线x 1及x轴所围成平面图形的面积， 求(21)(此题总分值 11 分)已知函数f (x, y)满足f 2
8、(y1)，且f (y, y) (y 1)2(2 y)ln y,求曲线f (x, y) 0y32014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积.(22)(此题总分值 11 分)1 234设矩阵A 0 11 1，E为三阶单位矩阵.1203(I)求方程组Ax 0的一个基础解系；(II)求满足AB E的所有矩阵.(23)(此题总分值 11 分)1 11证明n阶矩阵1 110与01 1100102相似.0n42014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二20142014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题
9、一、选择题:1:18 8 小题小题, ,每题每题 4 4 分分, ,共共 3232 分分. .以下每题给出的四个选项中以下每题给出的四个选项中, ,只有一个选项符合题目只有一个选项符合题目要求的要求的, ,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上. .1(1) 当x 0时，假设ln (12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是( ) (A)(2,)【答案】B(B)(1,2)(C)( ,1)12(D)(0, )12ln(12x)(2x) lim lim2x1 0【解析】由定义limx0x0x0xx所以1 0，故1.21当x 0时，(1cosx
10、)x1是比x的高阶无穷小，所以22故选 B1 0，即 2.(2) 以下曲线中有渐近线的是()(A)y xsin x(C)y xsin【答案】C(B)y x sin x(D)y x sin221x1xxsin【解析】关于 C 选项：limx11sinx lim1limx10 1.xxxx52014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二111limxsin x limsin 0，所以y xsin存在斜渐近线y x.xxxxx故选 C(3) 设函数f (x)具有 2 阶导数，g(x) f (0)(1 x) f (1)x， 则在区间0,1上(A) 当f (x) 0时，f (x) g(x)(C) 当f (
11、x) 0时，f (x) g(x)(B) 当f (x) 0时，f (x) g(x)(D) 当f (x) 0时，f (x) g(x)【答案】D【解析】令F(x) g(x) f (x) f (0)(1 x) f (1)x f (x)，则F(0) F(1) 0,F(x) f (0) f (1) f (x),F(x) f (x).假设f (x) 0，则F(x) 0，F(x)在0,1上为凸的.又F(0) F(1) 0，所以当x0,1时，F(x) 0，从而g(x) f (x).故选 D.(4) 曲线x t27上对应于t 1的点处的曲率半径是y t24t 1(A)1050(B)10100(C)10 10(D)
12、5 10【答案】C【解析】dy2t 4dxt12tt132d2ydy2dx2t1dxt1t2tt1 1k y1,R 11 y2321q32k10 10故选 C62014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二(5)设函数f (x) arctan x，假设f (x) xf ()，则limx02x2(A)1【答案】D【解析】因为(B)23(C)12(D)13f (x)1x f (x)2 f() ，所以x12f (x)2limx0x2 limx0x f (x)xarctanx lim limx2f (x)x0x2arctanxx0111 x213x23故选 D.2u(6) 设函数u(x, y)在有界闭区
13、域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足 0xy2u2u及22 0， 则xy(A)u(x, y)的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)u(x, y)的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)u(x, y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得【答案】A2u2u2u,C 2,B 0,A,C相反数【解析】记A 2,B xxyy则=AC-B 0,所以u(x,y)在D内无极值，则极值在边界处取得.故选 A20ab0b()0d2a00(7) 行列式0cdc02022222222(A)(ad bc)(B)(ad bc
14、)(C)a d b c(D)b c a d72014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列0ab0a000cdc00b a cd000dab0dacbd000 c 00b ad(ad bc)bc(ad bc) (ad bc).(8) 设a1,a2,a3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a1 ka3,a2la3线性无关是向量组2a1,a2,a3线性无关的()(A)必要非充分条件(C)充分必要条件【答案】A【解析】1k3(B)充分非必要条件(D)既非充分也非必要条件2l31210301.kl10013，C C . 假设1,2,3线性kl)记A1k3
15、2l3，B 12无关，则r(A) r(BC) r(C) 2，故1k3,2l3线性无关.)举反例. 令3 0，则1,2线性无关，但此时1,2,3却线性相关.综上所述，对任意常数k,l，向量1k3,2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的必要非充分条件.故选 A二、填空题：二、填空题：9 91414 小题小题, ,每题每题 4 4 分分, ,共共 2424 分分. .请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上. .1x22x5dx _.3【答案】8(9)182014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二【解析】1111x1dx dx arctanx22x5x12422111 32428
16、(10) 设f (x)是周期为4的可导奇函数， 且f (x) 2(x1),【答案】1【解析】fx 2x1，x0,2且为偶函数则fx 2x1，x2,0又fx x22xc且为奇函数，故c=0则f (7) _.x0,2， fx x22x，x2,0又fx的周期为 4， f7 f112yz(11) 设z z(x, y)是由方程e7 x y2 z 确定的函数，则dz41 1( , )2 2_.【答案】1(dxdy)22yz【解析】对e7 x y2 z 方程两边同时对x, y求偏导4zz2yze2y1 0xxzze2yz(2z 2y)2y 0yy当x 11, y 时,z 0221 1( , )2 2故zx1
17、 z ,2 y1 1( , )2 21 2故dz1 1( , )2 2111 dx( )dy (dxdy)22292014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二(12) 曲线limnSn的极坐标方程是r ，则L在点(r,) (n ,)处的切线的直角坐标方程是2 2_.【答案】y 2x2x rcoscos【解析】由直角坐标和极坐标的关系，y rsinsin于是r, ,对应于x, y0,2 22dydydydcossin切线斜率dxdxdxcossind2所以切线方程为y x022即y=x20,2 2(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,假设其线密度x x22x1,则该细棒的质心坐标x
18、_.【答案】112010xxdx【解析】质心横坐标x xdx10x3152x dx=x 2x1 dx x x 000334211x23x 1112xx dx=x x 2x1 dx 43x 20120 01111x 12=5203112(13) 设二次型fx1,x2,x3 x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围22102014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二_.【答案】2,2【解析】配方法：fx1,x2,x3x1ax3a x3x22x34x322222由于二次型负惯性指数为1，所以4a 0，故2 a 2.三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9
19、494 分分. .请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤. .(15)(此题总分值 10 分)2求极限limxx121tte 1tdt.1 x2ln1xx121dt2dtttt (e 1)tt (e 1)t1 lim1【解析】limxx11x2ln(1)x2xxx limx (e 1) xx1tx21xet1tet1t1 lim lim lim.t0t02tt02tt2222(16)(此题总分值 10 分)已知函数y yx满足微分方程x y y 1 y，且y2 0，求yx的极大值与极小值.【解析
20、】 由x y y 1 y，得(y 1)y 1 x此时上面方程为变量可别离方程，解的通解为2222131y y xx3c332由y(2) 0得c 31 x2又由可得y(x) 2y 1当y(x) 0时，x 1，且有：112014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二x 1,y(x) 01 x 1,y(x) 0x 1,y(x) 0所以y(x)在x 1处取得极小值，在x 1处取得极大值y(1) 0, y(1)1即：y(x)的极大值为 1，极小值为 0.(17)(此题总分值 10 分)设平面区域D x, y1 x2 y2 4,x 0, y 0 ,计算Dxsinx2 y2x ydxdy.【解析】D 关于y
21、x对称，满足轮换对称性，则：xsin(x2 y2)ysin(x2 y2)dxdy dxdyx yx yDDxsin(x2 y2)1xsin(x2 y2)ysin(x2 y2)I dxdy dxdyx y2x yx yDD122sin(x y )dxdy2D212dsinrrdr12021()rd cosr41212 cosrr |1cosrdr141 12 21sinr |143 4(18)(此题总分值 10 分)2z2zx2x设函数f (u)具有二阶连续导数，z f (e cosy)满足22 (4z e cos y)e，假设xyxf (0) 0, f(0) 0，求f (u)的表达式.1220
22、14 年全国硕士研究生入学统一考试数学二【解析】由z f excos y ,zz f (excos y)excos y, f (excos y)exsin yxy2zxxxxx f (e cos y)e cos ye cos y f (e cos y)e cos y，2x2z f (excos y)exsin yexsin y f (excos y)excos y2y2z2zx2x+ 4z e cos y e由，代入得，22xyf excos ye2x4 fexcos yexcos ye2x即f excos y4fexcos y excos y，令e cos y=t,得f t4fttx特征方程
23、4 0, 2得齐次方程通解y c1e2tc2e2t211,b 0，特解y* t4412t2t则原方程通解为y=ft c1ec2et411由f00, f00，得c1,c2 , 则1616111y=fue2ue2uu.16164设特解y at b，代入方程得a *(19)(此题总分值 10 分)设函数f (x),g(x)在区间a,b上连续，且f (x)单调增加，0 g(x) 1，证明： I0 g(t)dt xa,xa,b,axIIaaag(t)dtf (x)d x bf (x)g(x)dx.ab【解析】 I由积分中值定理gtdt gxa,a,xax0 gx1，0 gxaxa132014 年全国硕士
24、研究生入学统一考试数学二0 gtdt xaaxII直接由0 gx1，得到0 gtdt 1dt=xaaaxxII令FufxgxdxauaFu fugu f agtdt guaaagtdtf x dx uu gufu f agtdtau由I知0 uagtdt u aa agtdt uau又由于fx单增，所以fu f agtdt 0uaFu 0， Fu单调不减，Fu Fa 0取u b，得Fb 0，即II成立.(20)(此题总分值 11 分)设函数f (x) x,x0,1，定义函数列1 x, fn(x) f ( fn1(x),nf1(x) f (x), f2(x) f ( f1(x),， 记Sn是由曲
25、线y fn(x)， 直线x 1及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnSn.【解析】f1(x) xxxx, f2(x) , f3(x) , fn(x) ,1 x12x13x1nx11x111xnndxSnfn(x)dx dx 001nx01nx11111111dxdx 2ln(1nx)10n0n01nxnn112ln(1n)nnln(1n)ln(1 x)1limnSn1lim1lim1lim10 1nnxxnx1 x14(21)(此题总分值 11 分)2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二已 知 函 数f (x, y)满 足f 2(y1)， 且f (y, y) (y 1)2(2 y)l
26、n y,求 曲 线yf (x, y) 0所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为f 2(y1),所以f (x, y) y2 2y (x),其中(x)为待定函数.y又因为f (y, y) (y1)22 yln y,则(y) 12 yln y，从而f (x, y) y22y12xlnx (y1)22 xlnx.令f (x, y) 0,可得(y1)22 xlnx，当y 1时，x 1或x 2，从而所求的体积为V y1dx 2 xlnxdx1122221x2ln xd2x222x2x ln x(2x)2dx121222ln 2(2x(22)(此题总分值 11 分)x255)12ln
27、22ln 2.4441 234设矩阵A 0 11 1，E为三阶单位矩阵.1203(I)求方程组Ax 0的一个基础解系；(II)求满足AB E的所有矩阵B.【解析】12341001234100011 1010 011 1010A E1203001043 1101611234100 10012100102131,011 1000131410013141152014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二(I)Ax 0的基础解系为1,2,3,1(II)e11,0,0,e20,1,0,e30,0,1TTTTAx e1的通解为x k12,1,1,02k1,12k1,13k1,k1TTAx e2的通解为x k
28、26,3,4,06k2,32k2,43k2,k2Ax e3的通解为x k31,1,1,01k3,12k3,13k3,k3TTTT6k21k32k112k32k12k123B 13k143k213k3kkk123(23)(此题总分值 11 分)k1,k2,k3为任意常数1 11 1证明n阶矩阵1 11010与100102相似.0n11 21，B = 00【解析】已知A 1 1 n则A的特征值为n，0(n1重).1，A属于 n的特征向量为(1,1,的 解 向 量 ， 即A属 于,1)T；r(A) 1，故Ax 0基础解系有n1个线性无关 0有n1个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ； 故A相 似 于 对 角 阵.0B的特征值为n，0(n1重)，同理B属于 0有n1个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.由相似关系的传递性，A相似于B.n0 =16
