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1、3.1.1-2习题分析3.1.1习题1.a=3,c=11.a=3,c=1的椭圆标准方程为的椭圆标准方程为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析解析】选选D.D.当焦点在当焦点在x x轴时，方程为轴时，方程为 当焦点在当焦点在y y轴上时，方程为轴上时，方程为 故选故选D.D.2.2.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 则椭圆的焦点为则椭圆的焦点为( )( )(A)(A)(5,0) (B)(0,5,0) (B)(0,3)3)(C)(C)(4,0) (D)(0,4,0) (D)(0,4)4)【解析解析】选选C.C.由方程可得椭圆的焦点在由方程可得椭圆的焦点在x x轴上
2、轴上. .又又c c2 2=25-9=16,c=4,=25-9=16,c=4,故焦点坐标为故焦点坐标为( (4,0).4,0).3.3.若若F F1 1、F F2 2是两个定点，是两个定点，|F|F1 1F F2 2|=6,|=6,动点动点M M满足满足|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=6,|=6,则点则点M M的轨迹是的轨迹是( )( )(A)(A)椭圆椭圆 (B)(B)直线直线(C)(C)圆圆 (D)(D)线段线段【解析解析】选选D.|MFD.|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=6=|F|=6=|F1 1F F2 2| |，点点M M的轨迹为线段的轨迹为线段F F1 1
3、F F2 2. .4.4.设设F F1 1、F F2 2为椭圆为椭圆 的焦点，的焦点，P P为椭圆上一点，则为椭圆上一点，则PFPF1 1F F2 2的周长等于的周长等于 . .【解析解析】cc2 2=16-1=15,=16-1=15,PFPF1 1F F2 2的周长为的周长为|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2| |2 24+24+2 =8+ =8+答案答案: :8+8+5.5.椭圆椭圆5x5x2 2-ky-ky2 2=5=5的一个焦点是的一个焦点是(0(0，2),2),那么那么k k . .【解析解析】椭圆的方程为椭圆的方程为焦点在焦点在y y轴上
4、，轴上， k=-1.k=-1.答案：答案：-1-16.6.已知椭圆经过点已知椭圆经过点 和点和点 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. .【解析解析】方法一：当椭圆的焦点在方法一：当椭圆的焦点在x x轴上时，轴上时，设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为因为点因为点 和点和点 在椭圆上，在椭圆上，所以所以所以所以a a2 2=1=1，b b2 2=9=9不合题意，即焦点在不合题意，即焦点在x x轴上的椭圆不存在轴上的椭圆不存在. .设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为因为点因为点 和点和点 在椭圆上，所以在椭圆上，所以所以所求的椭圆的标准方程为所以所求的椭圆的标准方程为方法二：设椭圆的方程为方法二
5、：设椭圆的方程为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(m=1(m0,n0,n0,mn).0,mn).因为点因为点 和点和点 都在椭圆上，所以都在椭圆上，所以所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为椭圆焦点三角形的简单应用椭圆焦点三角形的简单应用关于椭圆的焦点三角形的特点关于椭圆的焦点三角形的特点(1)(1)如图所示如图所示PFPF1 1F F2 2称为椭圆的焦点三角形称为椭圆的焦点三角形. .三角形中的定理，如勾股定理，余弦定理，正弦定理，三角形三角形中的定理，如勾股定理，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式等均成立的面积公式等均成立. .(2)(2)解题时应用相关定理要结合椭圆的定义
6、：解题时应用相关定理要结合椭圆的定义：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a.|=2a.(3)(3)常用的变形：常用的变形：|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=(|PF=(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1| |PFPF2 2, , (1)(1)解题过程中要注意整体思想的应用，解题过程中要注意整体思想的应用，|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |与与|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2| |可以作为整体相互表示，而不必分可以作为整体相互表示，而不必分别求出别求出|PF|PF1 1| |和
7、和|PF|PF2 2|.|.(2)(2)若涉及最值问题，则要注意不等式若涉及最值问题，则要注意不等式及其变形式的应用及其变形式的应用. .【例例3 3】(2011(2011厦门高二检测厦门高二检测) )已知椭圆的两焦点为已知椭圆的两焦点为F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0),P(2,0),P在椭圆上且在椭圆上且2|F2|F1 1F F2 2|=|PF|=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |，(1)(1)求此椭圆的方程；求此椭圆的方程；(2)(2)若若F F1 1PFPF2 2=60=60，求求F F1 1PFPF2 2的面积的面积. .【审题指导审题指导】本题中
8、本题中F F1 1,F,F2 2坐标已知，故可求出坐标已知，故可求出c c，又，又|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |2a,2a,可求出可求出a.Fa.F1 1PFPF2 2中，中，F F1 1PFPF2 2及及|F|F1 1F F2 2| |已知，已知，可用余弦定理，设法构造可用余弦定理，设法构造 求值求值. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知由题意知c=2c=2，又因为又因为2|F2|F1 1F F2 2|=|PF|=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|,|,所以所以2 24=2a,a=4,b4=2a,a=4,b2 2=16-4=12,=16-4=12,所以椭圆的
9、方程为所以椭圆的方程为(2)(2)设设|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2, ,在在F F1 1PFPF2 2中，中，r r1 1+r+r2 2=2a=8=2a=8，r r1 12 2+r+r2 22 2-2r-2r1 1r r2 2cos60cos60=16,=16,即即(r(r1 1+r+r2 2) )2 23r3r1 1r r2 2=16,=16,解得解得r r1 1r r2 2=16=16，所以所以F F1 1PFPF2 2的面积为的面积为3.1.2习题1.1.已知点已知点(3,2)(3,2)在椭圆在椭圆 上上, ,则点则点(-3,3)(-3,3
10、)与椭圆的位与椭圆的位置关系是置关系是( )( )(A)(A)在椭圆上在椭圆上 (B)(B)在椭圆内在椭圆内(C)(C)在椭圆外在椭圆外 (D)(D)无法判断无法判断【解析解析】选选C.C.点点(3,2) (3,2) 在椭圆上，由椭圆的对称性可知，点在椭圆上，由椭圆的对称性可知，点(-3,2)(-3,2)也在椭圆上，也在椭圆上，点点(-3,3)(-3,3)在点在点(-3,2)(-3,2)的上方，的上方，应在应在椭圆外椭圆外. .2.2.点点P(x,yP(x,y) )在椭圆在椭圆 上，上，F F1 1,F,F2 2是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左、右焦点，若若|PF|PF1 1|PF|PF2 2|
11、,|,则有则有( )( )(A)(A)4x0 (B)0x44x0 (B)0x4(C)-3x0 (D)0x3(C)-3x0 (D)0|PF|PF2 2|,|,点点P P位于位于y y轴右侧，轴右侧，-4x4,0x4.-4x4,00)=4m(m0)的离心率为的离心率为 试求椭试求椭圆的长轴、短轴的长，焦点坐标及顶点坐标圆的长轴、短轴的长，焦点坐标及顶点坐标. .【审题指导审题指导】本题中椭圆的方程不是标准形式，故应先化为本题中椭圆的方程不是标准形式，故应先化为标准形式，再利用标准形式，再利用 求出求出m m的值，最后根据焦点位置写出的值，最后根据焦点位置写出几何性质几何性质. .【规范解答规范解答
12、】椭圆方程可化为椭圆方程可化为 (1)(1)当当0 0m4m4m4时，时， b=2,b=2,椭圆的长轴、短轴的长分别是椭圆的长轴、短轴的长分别是焦点坐标为焦点坐标为 顶点坐标为顶点坐标为1.1.利用几何性质求椭圆的标准方程利用几何性质求椭圆的标准方程. .利用椭圆的几何性质求标准方程常采用待定系数法，将条件转化利用椭圆的几何性质求标准方程常采用待定系数法，将条件转化为相应的方程为相应的方程( (组组) )后求系数，体现了方程思想在解题中的应用后求系数，体现了方程思想在解题中的应用. .2.2.利用几何性质求椭圆标准方程的步骤利用几何性质求椭圆标准方程的步骤. .已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方
13、程已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程【例【例2 2】(1)(2011(1)(2011厦门高二检测厦门高二检测) )若对称轴在坐标轴上，椭圆若对称轴在坐标轴上，椭圆长轴长与短轴长的比为长轴长与短轴长的比为2,2,它的一个焦点是它的一个焦点是 则此椭圆的标则此椭圆的标准方程是准方程是 . .(2)(2011(2)(2011郑州高二检测郑州高二检测) )离心率离心率 短轴长为短轴长为 的椭圆的的椭圆的标准方程是标准方程是 . .【审题指导审题指导】(1)(1)中已知长轴长与短轴长的比，即中已知长轴长与短轴长的比，即abab=2=2，又，又 可分别求可分别求a,ba,b. .(2)(2)中中 短轴长为
14、短轴长为2b= 2b= ，可先求出，可先求出b b后借助后借助a,b,ca,b,c的关的关系求系求a.a.但是要注意焦点位置并不确定但是要注意焦点位置并不确定. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意由题意 c c2 2=6=a=6=a2 2-b-b2 2=3b=3b2 2,b,b2 2=2,a=2,a2 2=4b=4b2 2=8,=8,椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上轴上,椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为(2)(2)由题意由题意a a2 2=b=b2 2+c+c2 2=80+ a=80+ a2 2,a,a2 2=144=144椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为答案答案：1.1.关于椭圆的离
15、心率的认识关于椭圆的离心率的认识(1)(1)离心率是椭圆最为核心的几何性质，是刻画椭圆离心率是椭圆最为核心的几何性质，是刻画椭圆“扁的程扁的程度度”的量的量. .(2)(2)求椭圆的离心率求椭圆的离心率2.2.椭圆离心率的求法椭圆离心率的求法(1)(1)直接求直接求a,ca,c后求后求e e，或利用，或利用 求出求出 后求后求e.e.(2)(2)将条件转化为关于将条件转化为关于a,b,ca,b,c的关系式，利用的关系式，利用b b2 2=a=a2 2-c-c2 2, ,消去消去b.b.等等式两边同除以式两边同除以a a2 2或或a a4 4构造关于构造关于 的方程求的方程求e.e.e的范围是的
16、范围是(0,1)，求出，求出e后要检验是否符合，避免出现错解后要检验是否符合，避免出现错解.【例例3 3】如图所示，在平面直角坐标系如图所示，在平面直角坐标系xOyxOy中，中，A A1 1,A,A2 2,B,B1 1,B,B2 2为为椭圆椭圆 (ab0)(ab0)的的4 4个顶点，个顶点，F F为其右焦点，直线为其右焦点，直线A A1 1B B2 2与与直线直线B B1 1F F相交于点相交于点T T，线段，线段OTOT与椭圆的交点与椭圆的交点M M恰为线段恰为线段OTOT的中点，的中点，求该椭圆的离心率求该椭圆的离心率. .【审题指导审题指导】由由A A1 1,B,B1 1,B,B2 2,
17、F,F的坐标可分别求出直线的坐标可分别求出直线A A1 1B B2 2,B,B1 1F F的方的方程，可求出点程，可求出点T T的坐标，进而求出点的坐标，进而求出点M M的坐标，点的坐标，点M M在已知椭圆在已知椭圆上，可代入椭圆方程，得到上，可代入椭圆方程，得到a,b,ca,b,c的关系式，从而求出离心率的关系式，从而求出离心率e. e. 【规范解答规范解答】点点A A1 1，B B2 2的坐标分别为的坐标分别为(-a,0),(0,b)(-a,0),(0,b)，直线直线A A1 1B B2 2的方程为的方程为 点点B B1 1,F,F的坐标分别为的坐标分别为(0,-b),(c,0)(0,-b),(c,0)，直线直线B B1 1F F的方程为的方程为 联立可得联立可得点点M M是是OTOT的中点，的中点，点点M M在椭圆上，适合椭圆的方程在椭圆上，适合椭圆的方程. . 整理得整理得c c2 2+10ac-3a+10ac-3a2 2=0=0，两边同除以两边同除以a a2 2, ,得得即即e e2 2+10e-3=0.+10e-3=0.椭圆的离心率椭圆的离心率
