《江苏专版高考数学大一轮复习 第六章 数列 专题探究课三学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版高考数学大一轮复习 第六章 数列 专题探究课三学案 理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点一可转为等差数列、等比数列的数列问题【例1】 数列an，bn，cn满足bnan2an1，cnan12an22，nN*.(1)若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；(2)若数列bn，cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列；(3)(一题多解)若数列bn是等差数列，试判断当b1a30时，数列an是否成等差数列.证明你的结论.证明(1)设数列an的公差为d.因为bnan2an1，所以bn1bn(an12an2)(an2an1)(an1an)2(an2an1)d2dd，所以数列bn是公差为d的等差数列.(2)当n2时，cn1an2an12.所以数列an从第二项起为等差数列.(
2、3)数列an成等差数列.法一 设数列bn的公差为d.因为bnan2an1，所以2nbn2nan2n1an1，所以2n1bn12n1an12nan，2b12a122a2，所以2nbn2n1bn12b12a12n1an1.设Tn2b122b22n1bn12nbn，所以2Tn22b12nbn12n1bn.两式相减得Tn2b1(222n12n)d2n1bn，即Tn2b14(2n11)d2n1bn，所以2b14(2n11)d2n1bn2a12n1an1.所以2n1an12a12b14(2n11)d2n1bn2a12b14d2n1(bnd)，所以an1(bnd)，所以an2an1(bn1d)(bnd)d，
3、所以数列an(n2)是公差为d的等差数列.因为bnan2an1，令n1，a12a2a3，即a12a2a30，所以数列an是公差为d的等差数列.法二 因为bnan2an1，b1a30，令n1，a12a2a3，即a12a2a30，所以bn1an12an2，bn2an22an3，所以2bn1bnbn2(2an1anan2)2(2an2an1an3).因为数列bn是等差数列，所以2bn1bnbn20，所以2an1anan22(2an2an1an3).因为a12a2a30，所以2an1anan20，所以数列an是等差数列.探究提高解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的
4、定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.热点二数列与恒成立问题【例2】 (2018南通一调)已知数列an是等比数列，且an0.(1)若a2a18，a3m.当m48时，求数列an的通项公式；若数列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kN*，求a2k1a2k2a3k的最小值.解设数列an的公比为q，则由题意得q0.所以方程8q2mqm0有唯一解.则m232m0，解得m32或m0.因为a3m0，所以m32，此时q2.经检验，当m32时，数列an唯一，其通项公式为an2n2.(2)由a2ka2k1ak1(akak1a1)8，得a1(
5、qk1)(qk1qk21)8(表示成a1和q即可)，且q1.热点三数列与方程【例3】 (2015江苏卷)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(2)解不存在.理由如下：令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0).则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.化简得t32t220(*)，且t2t1.将t2t1代入(*)式，则(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k).将上述两个等式两边取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3
6、k)ln(13t)2(n2k)ln(12t).化简得2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t)，且3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t).再将这两式相除，化简得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)(*).令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，则g(t)2(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)(1t)(12t)(13t).令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)，则(
7、t)6(13t)ln(13t)2(12t)ln(12t)(1t)ln(1t).令1(t)(t)，则1(t)63ln(13t)4ln(12t)ln(1t).【训练】 (2018常州监测)已知等差数列an的公差d为整数，且akk22，a2k(k2)2，其中k为常数且kN*.因为dZ，kN*，所以k1或k2.当k1时，d6，代入得a13，所以an6n3；当k2时，d5，代入得a11，所以an5n4.(2)由题意可得bnqn1，因为a11，所以an6n3，Sn3n2.当m2时，q0或q1(均舍去).热点四数列与新定义、探索性问题的综合【例4】 (2017江苏卷)对于给定的正整数k，若数列an满足ank
8、ank1an1an1ank1ank2kan对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an).将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d(利用a3，a4，a5，成等差)，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列.
