《球的内切和外接问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球的内切和外接问题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接球的半径球的半径r和正方体和正方体的棱长的棱长a有什么关系？有什么关系？.ra二、二、 球与多面体的接、切球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积
2、多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球正方体的内切球直径正方体的内切球直径正方体的外接球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则a图3图4图5长方体的外接球的球心是体对角线的长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半交点，半径是体对角线的一半设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c 则对角线长为则对角线长为 a2+b2+c2设为设为1 1例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
3、丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. C. D.甲球为内切球直径=正方体棱长图3图4图5ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径的对角线等于球的直径=.球内切于正方体的棱球内切于正方体的棱ABCDD1C1B1A1O对角面对角面设为设为1 1球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。球外接于正方体球外接于正方体有三个球有三个球, ,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面, ,一球切于正方体的各棱一球切于正方体的各棱, ,一球过正一球过正方体的各顶点方体的各顶点,
4、 ,求这三个球的体积求这三个球的体积之比之比_._.1例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 )在正在正三棱锥中，三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高解法解法1：O1ABEOCD作作 OF AE 于于 FF设内切设内切球半径为球半径为 r，则则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E OABCD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC
5、+ VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD解法解法2：例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。注意：注意：割补法，割补法，PAO1DEO例例3 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积的外接球的表面积过侧棱过侧棱 PA PA 和球心和球心 O O 作截面作截面则则截球得大圆，截正四面体得截球得大圆，截正四面体得PADPAD，如图所示，如图所示, ,G连连 AO AO 延长交延长交 PD PD 于于 G G则则 OG PD，且，且 OO1 = OG
6、Rt PGO Rt PO1D 解法解法1：ABCDO求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径解法解法2：球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。正四面体的三个球正四面体的三个球一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。 正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上，
