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1、6平面向量数量积的坐标表示第二章平面向量学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.答案思考1ii，jj，ij分别是多少？答案答案ii11cos 01，jj11cos 01，ij0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案答案答案ax1iy1j，bx2
2、iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.梳理梳理x1x2y1y2知识点二向量模的坐标表示思考若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案答案答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xy ij(yj)2x2i22xy ijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a| .设a(x，y)，则|a|2 ，或|a| .梳理梳理x2y2知识点三向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a
3、(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？答案设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则梳理梳理(2)abab0x1x2y1y20.知识点四直线的方向向量思考1什么是直线的方向向量？答案答案答案与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.思考2直线的方向向量唯一吗？答案答答案案不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个.(1)给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.(2)对于直线l：AxByC0，可取直线l的方向向量为m(1， )(B0)
4、，或取直线l的方向向量为m(B，A).梳理梳理题型探究类型一平面向量数量积的坐标表示例例1已知a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求a的坐标；解解设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2，4).解答(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解解bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10).此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1向量a(1，1)，b(1
5、，2)，则(2ab)a等于A.1 B.0 C.1 D.2解析解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，则(2ab)a(1，0)(1，1)1，故选C.答案解析例例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(5，15).类型二向量的模、夹角问题解答(2)求OAB.解答(16，12)(21，3)16(21)123300，OAB45.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a| 求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值.反思与感悟跟跟踪踪训训练练2已知a(1
6、，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.解解a(1，1)，b(，1)，解答又a，b的夹角为钝角，1且1.的取值范围是(，1)(1，1).例例3(1)已知a(3，2)，b(1，0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为类型三向量垂直的坐标形式答案解析解析解析由向量ab与a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因为a(3，2)，b(1，0)，所以(31，2)(1，2)0，即3140，解得 .(2)在ABC中， (2，3)， (1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值.解答利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨
7、论.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(2，3)，C(2，1)，若( t ) ，则实数t_.1(32t)2(1t)(1)0，t1.答案解析当堂训练1.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为又a，b的夹角范围为0，答案解析22334455112233445511答案解析A.30 B.45 C.60 D.120ABC30.3.已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则等于A.4 B.3 C.2 D.1答案2233445511解析解析解析因为mn(23，3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(mn)(mn)(23，3)(1，1
8、)260，解得3.22334455114.已知平面向量a，b， 若a(4， 3)，|b|1， 且ab5，则向量b_.答案解析解答5.已知a(4，3)，b(1，2).(1)求a与b的夹角的余弦值；解解ab4(1)322，2233445511解解ab(4，32)，2ab(7，8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0， .解答(2)若(ab)(2ab)，求实数的值.2233445511规律与方法1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习 、 记 忆 .若 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则 abx1y2 x2y1 0，abx1x2y1y20.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.本课结束
