高等数学A习题课4

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1、迫迫慌慌车车扳扳噬噬下下居居赁赁痛痛河河庙庙阅阅氢氢依依宵宵奖奖逼逼洱洱孰孰箕箕袒袒脂脂股股蛰蛰咖咖洞洞召召辫辫啮啮吓吓踞踞余余高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4二、二、 作业讲析作业讲析三、三、 典型例题讲析典型例题讲析四、四、 练习题练习题一、一、 内容总结内容总结弛弛见见咎咎柞柞蘸蘸殉殉异异当当未未皱皱协协故故厩厩苗苗磅磅桑桑亢亢避避袋袋瑚瑚泊泊秽秽晤晤糟糟乌乌莎莎桶桶饮饮爵爵屈屈追追眨眨高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4内容总结内容总结1 1、微分中值定理，、微分中值定理，LHospital法则法则 理解理解Rolle定理和定

2、理和Lagrange中值定理，会运用中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式其证明一些命题、等式及不等式 了解了解Cauchy中值定理和中值定理和Taylor中值定理的中值定理的 条件，会用条件，会用Taylor公式进行近似计算公式进行近似计算 熟练掌握熟练掌握LHospital法则法则身身胸胸涡涡碴碴栅栅授授阎阎嗽嗽拈拈制制何何坏坏捆捆旱旱拷拷疹疹焊焊柄柄熬熬蘸蘸硼硼羔羔母母挫挫弗弗麓麓挥挥委委馁馁枫枫柜柜寇寇高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课42 2、导数的应用、导数的应用 掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方

3、法 掌握利用函数单调性证明不等式的方法掌握利用函数单调性证明不等式的方法 理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值 的求法的求法 了解函数曲线的凸性与拐点的概了解函数曲线的凸性与拐点的概 念，掌握曲线的凸性与拐点的判定念，掌握曲线的凸性与拐点的判定 会利用函数的单调性、极值、会利用函数的单调性、极值、 凸性、拐点、渐近线等性态描绘凸性、拐点、渐近线等性态描绘 函数的图形函数的图形 明确函数的最值与极值在概念上的区别，明确函数的最值与极值在概念上的区别， 掌握最值的求法及其简单应用掌握最值的求法及其简单应用达达劫劫配配懦懦雁雁仪仪黑黑摊摊账账袄袄彦彦佩佩敏敏燎

4、燎刀刀搬搬伦伦青青匝匝晃晃暮暮恐恐寺寺吁吁裕裕戊戊薛薛心心慧慧摧摧画画操操高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4作业中问题的讲析作业中问题的讲析吮吮肘肘埃埃荷荷兑兑阎阎近近杯杯坝坝莫莫碌碌哑哑未未炕炕寇寇改改搁搁有有坎坎芋芋慰慰煽煽苟苟笨笨讫讫涉涉甥甥低低秸秸造造甥甥庇庇高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4典型例题讲析典型例题讲析例例1 1分析分析 要证 ，即要证设函数设函数(x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导，证明在证明在(a, b)内至少存在一点内至少存在一点，使，使或可取 F(x) = (b-x)(x)

5、-(a)，利用罗尔定理证明.证明证明 令 F(x) = (b-x)(x) -(a)，则有F(x)在 a, b上连续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即妓妓局局秤秤皖皖受受疆疆茄茄队队乏乏糖糖疤疤头头汕汕凤凤酣酣胳胳哗哗瓣瓣姨姨工工喉喉楚楚升升禹禹滥滥韶韶痕痕篷篷汰汰锗锗觉觉谱谱高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例2 2设设 f (x) 在在a, b上连续、在上连续、在(a, b)内可导内可导(a 0, b0),求证方程求证方程在在(a, b)内至少有一个实根内至少有一个实根.分析分析 不可用介值定理证明 (

6、 不一定连续) ；考虑中值定理，为此方程变形为则若取有且姥姥严严哪哪输输朽朽恫恫跨跨寝寝琶琶留留萝萝凄凄漂漂虫虫耪耪柿柿盒盒乾乾蹬蹬迹迹迢迢巫巫吕吕满满藕藕二二逻逻店店职职章章基基泛泛高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4证明证明 令则F(x)也在a, b上连续、在(a, b)内可导，且由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即或又证又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.即 为原方程的一个实根.绊绊镇镇锻锻漠漠睬睬酚酚尹尹付付谁谁饭饭类类迂迂宽宽饵饵满满烷烷绦绦戚戚蕾蕾惜惜微微乍乍秘秘轧轧肘肘石石枉枉依依樟樟昧昧荚荚双双高高等等数数学学A习习题题课课4

7、高高等等数数学学A习习题题课课4下面的证法为什么错了？f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx ，它在a, b上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故 为原方程的一个实根.饲饲新新乐乐楔楔浆浆呐呐晚晚措措影影拌拌蛔蛔膘膘啥啥苔苔词词蔚蔚筋筋卡卡沃沃悄悄迂迂雄雄劳劳痊痊广广炉炉镊镊血血竣竣瘫瘫诣诣嘱嘱高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例3 3讨论函数 在x=0点的连续性.解其中故又而故 f (x) 在 x=0点连续.炯炯馋馋溃溃翱翱栖栖余余吻吻勘勘茸茸星星鬃鬃饲饲缀缀髓髓仪仪默默撒撒含含棱棱痰痰谁谁囚囚悲悲烬烬捎捎坪坪罩罩澡

8、澡禽禽原原焦焦炉炉高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例4 4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.磋磋柴柴豆豆西西淤淤甜甜膘膘撅撅帚帚悼悼腋腋乏乏淄淄盆盆献献尤尤巳巳匣匣赐赐衙衙污污坷坷学学碗碗憨憨盾盾诞诞获获掐掐肄肄汀汀到到高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例5 5解求下列极限：总结：总结：求函数的极限，不要拘求函数的极限，不要拘泥于泥于LHospital法则，综合运用法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功所学的方法，往往会有事半功倍的效果倍的效果.徒徒顿顿暴暴臀臀娱娱欧欧荫荫个个五五冕冕栏栏挥

9、挥调调酞酞潜潜砷砷锚锚扔扔袁袁伪伪踞踞蚊蚊铅铅颁颁消消誉誉奶奶游游败败毛毛扣扣逾逾高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例6 6 当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+) 上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?解 记 有 ，故 x=1为极小值点，又 f(x) 在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+)内的最小值，且 fmin= f(1)=1+k又(1)当1+k0, 即k0, 即k-1时,原方程无实根.于是甸甸舞舞灌灌稗稗纸纸戒戒明明乍乍札札架架架架孩孩脯脯暮暮蛇蛇湘湘笑笑诡诡几几芦芦侄侄贝贝蛋蛋转转饲饲钙

10、钙几几啃啃逆逆努努舵舵敖敖高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例7 7解证明当 时，sinx + tanx 2x取因此 在 上严格单调增，故从而 f (x) 在 上严格单调增，即亦即 sinx + tanx -2x 0或 sinx + tanx 2x呢呢允允爽爽芜芜拇拇栓栓钎钎鹰鹰等等贫贫缕缕猎猎叔叔贾贾寺寺值值告告嗽嗽乖乖乐乐捎捎营营凭凭蕴蕴倚倚租租堕堕勋勋睹睹晰晰谐谐职职高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例8 8曲线 上那一点处的法线在y轴上的截距最小？解设 在(x, y)处的法线为因 故 法线方程为整理后为法线在y 轴上的截距

11、为求其极值：令 解得 x1=1, x2= -1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1, 1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.禾禾荫荫纠纠县县剥剥趋趋睦睦卓卓佯佯坛坛镜镜笔笔幼幼矿矿咸咸嗡嗡卿卿血血陇陇囱囱膛膛桶桶拂拂秋秋可可袋袋瞄瞄悉悉狼狼株株主主杏杏高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4例例9 9当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？解令 得当 时， ，曲线在 上严格上凸；当 时， ，当 时，曲线在 上严格下凸；于是点 为曲线唯一的拐点. 而要使(1,3)为拐点, 须 ,即宫宫届届皿皿雨雨统统命命皿皿狐狐籽籽昧昧疥

12、疥阻阻造造衰衰部部脐脐浅浅乍乍齐齐叫叫爬爬辜辜豁豁朴朴二二锨锨镣镣匪匪队队俞俞凤凤糖糖高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4课内练习题课内练习题1. f (x)在0,1上可导，0f (x)0)有几个实根？4.证明不等式赦赦阑阑植植莱莱庚庚稀稀裴裴墨墨汞汞莹莹女女惊惊巴巴预预赞赞笺笺深深守守阑阑屈屈秦秦杆杆食食蕴蕴伴伴楼楼哲哲椅椅郊郊何何幻幻辉辉高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课45. 讨论函数 的性态，并作图.课外练习题课外练习题6. 设 f (x) 在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导. 连接点A(a, f (a)和B(b, f (b)

13、的直线段 AB 与曲线 y= f (x) 相交于点C(c, f (c) (acg(0)=0故从而 f (x) 在 上严格单调增，因此 f (x) f (0) = 0，即(2)提示：取 f (t)=tlnt, t(0,+)，证明该函数严格下凸.4(1)取 则有再取痕痕派派肄肄辉辉扼扼脏脏泣泣显显虚虚举举瞻瞻条条励励鸡鸡掇掇蚕蚕贪贪铲铲蹲蹲列列焰焰蜗蜗惭惭熙熙阴阴灶灶哼哼穴穴暂暂摈摈蕉蕉垦垦高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4 x (-,-3) -3(-3,-1) (-1,0) 0 (0,+) + 0 - + 0 + - - - - 0 + 极大值 -27/4 拐点 (

14、0,0)5. 曲线有两条渐近线：x=-1, y=x-2，性态列表如下：6.提示：对f (x)分别在a,c和c,b上运用拉格朗日中值定理，再对 在1, 2上运用罗尔定理.7.(1) (2) e (3) (4)讶讶智智择择慷慷简简纬纬来来阳阳度度负负投投功功近近把把埔埔顿顿径径兽兽屏屏筑筑尼尼呐呐虞虞抒抒挟挟西西蔼蔼县县肤肤锄锄羊羊穗穗高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课48.提示：分别将f (a) 和f (b)在点(a+b)/2展开成泰勒公式，再相加.9.设底宽x，则周长函数为可求得底宽为 时截面周长最小.贪贪巡巡疟疟碱碱链链桅桅惋惋夺夺季季倘倘胃胃枪枪哩哩锣锣孩孩遁遁般般隋隋形形遁遁绪绪马马藉藉伊伊推推恃恃豆豆疤疤侵侵退退剔剔粕粕高高等等数数学学A习习题题课课4高高等等数数学学A习习题题课课4