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1、几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节曲面及其方程 即动动点点为为 定定点点为为 ，由两点间距离公式得特别,当M在原点时,球面方程为定值为 R表示上(下)球面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、几种常见的曲面及其方程1.球面 例1 方程表示怎样的曲面. 解 通过配方，把原方程写成对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为的球面.三、柱面三、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在
2、圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义3.3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l叫做母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束 定义2. 一条平面曲线3.3.旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 将面上的椭圆分别绕轴和轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。解 绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为即即绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为 例3 求面上的抛物
4、线绕x轴旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程中的x不变，换成便得到旋转抛物线的方程为 例4 求面上的直线绕z轴旋转一周而成的圆锥面的方程。 解 所求圆锥面的方程为即二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 黄绿红与的交线为椭圆：(4) 当 ab
5、时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.椭圆抛物面( p , q 同号)特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲线三、曲线1.1.曲线方程曲线方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将将曲曲线线C C上上的的动动点点坐坐标标x, x, y, y,
6、z z表表示示成成参参数数t t 的函数的函数: :称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 设一动点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升( 都是常数)则点M的几何轨迹叫做螺旋线（图7-34），试图建立其参数方程。解 取时间t为参数，设t=0时动点在处，动点在点处，过点M作xoy面的垂线，则垂足的坐标为由于是动点在时间t内转过的角度，而线段的长是时间t内动点上升的高度，所以经过时间t，得从而因此螺旋线的参数方程为2.2.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 求曲线关于面的投影柱面及投影的方程。解 将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得曲线 关于 面的投影柱面的方程为（是圆柱面），在 面的投影方程为（是 面上的圆）
