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1、一、一、a a的的n n次方根和根式次方根和根式1.a1.a的的n n次方根次方根(1)(1)定义:如果定义:如果_,那么,那么x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .(2)(2)表示:表示:x xn n=a=an n的分的分类a a的的n n次方根的符号表示次方根的符号表示a a的取的取值范范围n n为奇数奇数_aRaRn n为偶数偶数_a0a02.2.根式根式式子式子_叫做根式叫做根式, ,其中根指数是其中根指数是_,_,被开方数是被开方数是_._.思考:思考: 是根式吗?根式一定是无理式吗是根式吗?根式一定是无理式吗? ?提示:提示:是
2、根式是根式. .根式不一定是无理式根式不一定是无理式. .如如 是根式,但不是无是根式,但不是无理式,因为理式,因为 =2=2是有理数是有理数. .n na a二、根式的性质二、根式的性质a aa aa,a0a,a0判断:判断:( (正确的打正确的打“”“”,错误的打,错误的打“”)”)(1)(1)当当nNnN* *时时,( ),( )n n都有意义都有意义.( ).( )(2)(2)因为因为(3)(3)4 4=81=81, 的运算结果为的运算结果为3.( )3.( )(3) =4-.( )(3) =4-.( )提示:提示:(1)(1)错误错误. .若若( )( )n n有意义,则有意义,则n
3、 n必为奇数必为奇数. .(2)(2)错误错误. .(3)(3)正确正确.-40, =|-4|=-(-4)=4-.-40, =|-4|=-(-4)=4-.答案:答案:(1)(1) (2) (2) (3) (3)【知识点拨知识点拨】1.1.解读解读a a的的n n次方根的个数次方根的个数类型类型 一一 n n次方根的概念问题次方根的概念问题【典型例题典型例题】1.161.16的平方根为的平方根为_,-27_,-27的的5 5次方根为次方根为_._.2.2.已知已知x x7 7=6,=6,则则x=_.x=_.3.3.若若 有意义,则实数有意义,则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析
4、】1.(1.(4)4)2 2=16,16=16,16的平方根为的平方根为4.-274.-27的的5 5次方根为次方根为答案:答案:4 4 2.x2.x7 7=6,x=6,x=答案:答案:3.3.要使要使 有意义,则需有意义,则需x-20x-20,即,即x2.x2.因此实数因此实数x x的取值的取值范围是范围是2 2,+).+).答案:答案:2 2,+)+)【变式训练变式训练】若若8181的平方根为的平方根为a,-8a,-8的立方根为的立方根为b b,求,求a+ba+b的值的值. .【解析解析】(9)9)2 2=81,81=81,81的平方根为的平方根为9,9,即即a=a=9.9.又又(-2)(
5、-2)3 3=-8=-8,-8-8的立方根为的立方根为-2-2,即,即b=-2.b=-2.a+b=-9-2=-11a+b=-9-2=-11或或a+b=9-2=7a+b=9-2=7,a+b=-11a+b=-11或或7.7.类型类型 二二 直接利用根式的性质化简与求值直接利用根式的性质化简与求值 【典型例题典型例题】1.1.求下列各式的值求下列各式的值(1)( )(1)( )2 2=_.=_.(2) =_.(2) =_.2.2.化简:化简:(1)(1)(2)(2)【解题探究解题探究】1. 1. 的值是什么?的值是什么?2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是什么?的关键点是什么?(2)(2)对于分
6、母中含有根号的式子对于分母中含有根号的式子应如何进行化简?应如何进行化简?探究提示:探究提示:1. =a(n1. =a(n为奇数为奇数),),2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是将的关键点是将a a配凑成完全平方数,去掉根号配凑成完全平方数,去掉根号. .(2)(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘以分母的有理化因式,分母有理化,从而化简以分母的有理化因式,分母有理化,从而化简. .2.(1)2.(1)(2)(2)【互动探究互动探究】题题2(2)2(2)中,若将原式改为中,若将原式改为还能求出值吗?还能求出值吗?【解析解析
7、】能,能,【拓展提升拓展提升】根式化简或求值的两个注意点根式化简或求值的两个注意点(1)(1)解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简次根式,然后运用根式的性质进行化简. .(2)(2)注意正确区分注意正确区分 与与( )( )n n. .类型类型 三三 带有限制条件的根式运算带有限制条件的根式运算 【典型例题典型例题】1.1.若若x0x0,则,则x+|x|+ =_.x+|x|+ =_.2.2.若代数式若代数式 有意义,化简有意义,化简【解题探究解题探究】1.1.对于式子对于式子 化简时应注意什么?化
8、简时应注意什么?2.2.由代数式由代数式 有意义,能得到什么结论?有意义,能得到什么结论?探究提示:探究提示:1.1.应特别注意符号问题,即应特别注意符号问题,即2.2.借助代数式有意义可确定借助代数式有意义可确定x x的取值范围,即的取值范围,即可得可得: x2.: x2.【解析解析】1.1.因为因为x0x0,所以所以x+|x|+ =x-x+ =-1.x+|x|+ =x-x+ =-1.答案:答案:-1-12.2.由由 有意义,则有意义,则 即即 x2.x2.故故=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.【变式训练变式训
9、练】设设0x20x2,求,求 的值的值. .【解题指南解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式,从而可先将被开方数凑配成完全平方的形式,从而开方,利用开方,利用x x的范围,去掉绝对值号,进一步化简的范围,去掉绝对值号,进一步化简. .【解析解析】原式原式= =|x+1|+|x-2|,=|x+1|+|x-2|,0x0,x-20,0x0,x-21,an1,a是实数是实数););(2) =( )(2) =( )n n=a(n=a(n是正偶数,是正偶数,a a是实数是实数););(3) =a+b(a,b(3) =a+b(a,b是实数是实数).).A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析解析】选选B.B.对对(1)(1),由于,由于n n是大于是大于1 1的奇数,故的奇数,故(1)(1)正确;对正确;对(2)(2),由于,由于n n是正偶数,故是正偶数,故 中中a a可取任意实数,而可取任意实数,而( )( )n n中中a a只能取非负数,故只能取非负数,故(2)(2)错误;对错误;对(3)(3), =|b|=|b|,故结果错误,故结果错误. .2.2.当当mnmn时,时, =_.=_.【解析解析】 又又mn,|m-n|=n-m,mn,|m-n|=n-m,即即答案:答案: