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1、一、一、a a的的n n次方根和根式次方根和根式1.a1.a的的n n次方根次方根(1)(1)定义：如果定义：如果_，那么，那么x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .(2)(2)表示：表示：x xn n=a=an n的分的分类a a的的n n次方根的符号表示次方根的符号表示a a的取的取值范范围n n为奇数奇数_aRaRn n为偶数偶数_a0a02.2.根式根式式子式子_叫做根式叫做根式, ,其中根指数是其中根指数是_,_,被开方数是被开方数是_._.思考：思考： 是根式吗？根式一定是无理式吗是根式吗？根式一定是无理式吗? ?提示：提示：是
2、根式是根式. .根式不一定是无理式根式不一定是无理式. .如如 是根式，但不是无是根式，但不是无理式，因为理式，因为 =2=2是有理数是有理数. .n na a二、根式的性质二、根式的性质a aa aa,a0a,a0判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)当当nNnN* *时时,( ),( )n n都有意义都有意义.( ).( )(2)(2)因为因为(3)(3)4 4=81=81， 的运算结果为的运算结果为3.( )3.( )(3) =4-.( )(3) =4-.( )提示：提示：(1)(1)错误错误. .若若( )( )n n有意义，则有意义，则n
3、 n必为奇数必为奇数. .(2)(2)错误错误. .(3)(3)正确正确.-40, =|-4|=-(-4)=4-.-40, =|-4|=-(-4)=4-.答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3)【知识点拨知识点拨】1.1.解读解读a a的的n n次方根的个数次方根的个数类型类型 一一 n n次方根的概念问题次方根的概念问题【典型例题典型例题】1.161.16的平方根为的平方根为_,-27_,-27的的5 5次方根为次方根为_._.2.2.已知已知x x7 7=6,=6,则则x=_.x=_.3.3.若若 有意义，则实数有意义，则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析
4、】1.(1.(4)4)2 2=16,16=16,16的平方根为的平方根为4.-274.-27的的5 5次方根为次方根为答案：答案：4 4 2.x2.x7 7=6,x=6,x=答案：答案：3.3.要使要使 有意义，则需有意义，则需x-20x-20，即，即x2.x2.因此实数因此实数x x的取值的取值范围是范围是2 2，+).+).答案：答案：2 2，+)+)【变式训练变式训练】若若8181的平方根为的平方根为a,-8a,-8的立方根为的立方根为b b，求，求a+ba+b的值的值. .【解析解析】(9)9)2 2=81,81=81,81的平方根为的平方根为9,9,即即a=a=9.9.又又(-2)(
5、-2)3 3=-8=-8，-8-8的立方根为的立方根为-2-2，即，即b=-2.b=-2.a+b=-9-2=-11a+b=-9-2=-11或或a+b=9-2=7a+b=9-2=7，a+b=-11a+b=-11或或7.7.类型类型 二二 直接利用根式的性质化简与求值直接利用根式的性质化简与求值 【典型例题典型例题】1.1.求下列各式的值求下列各式的值(1)( )(1)( )2 2=_.=_.(2) =_.(2) =_.2.2.化简：化简：(1)(1)(2)(2)【解题探究解题探究】1. 1. 的值是什么？的值是什么？2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是什么？的关键点是什么？(2)(2)对于分
6、母中含有根号的式子对于分母中含有根号的式子应如何进行化简？应如何进行化简？探究提示：探究提示：1. =a(n1. =a(n为奇数为奇数),),2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是将的关键点是将a a配凑成完全平方数，去掉根号配凑成完全平方数，去掉根号. .(2)(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简. .2.(1)2.(1)(2)(2)【互动探究互动探究】题题2(2)2(2)中，若将原式改为中，若将原式改为还能求出值吗？还能求出值吗？【解析解析
7、】能，能，【拓展提升拓展提升】根式化简或求值的两个注意点根式化简或求值的两个注意点(1)(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简次根式，然后运用根式的性质进行化简. .(2)(2)注意正确区分注意正确区分 与与( )( )n n. .类型类型 三三 带有限制条件的根式运算带有限制条件的根式运算 【典型例题典型例题】1.1.若若x0x0，则，则x+|x|+ =_.x+|x|+ =_.2.2.若代数式若代数式 有意义，化简有意义，化简【解题探究解题探究】1.1.对于式子对于式子 化简时应注意什么？化
8、简时应注意什么？2.2.由代数式由代数式 有意义，能得到什么结论？有意义，能得到什么结论？探究提示：探究提示：1.1.应特别注意符号问题，即应特别注意符号问题，即2.2.借助代数式有意义可确定借助代数式有意义可确定x x的取值范围，即的取值范围，即可得可得: x2.: x2.【解析解析】1.1.因为因为x0x0，所以所以x+|x|+ =x-x+ =-1.x+|x|+ =x-x+ =-1.答案：答案：-1-12.2.由由 有意义，则有意义，则 即即 x2.x2.故故=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.【变式训练变式训
9、练】设设0x20x2，求，求 的值的值. .【解题指南解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而开方，利用开方，利用x x的范围，去掉绝对值号，进一步化简的范围，去掉绝对值号，进一步化简. .【解析解析】原式原式= =|x+1|+|x-2|,=|x+1|+|x-2|,0x0,x-20,0x0,x-21,an1,a是实数是实数););(2) =( )(2) =( )n n=a(n=a(n是正偶数，是正偶数，a a是实数是实数););(3) =a+b(a,b(3) =a+b(a,b是实数是实数).).A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析解析】选选B.B.对对(1)(1)，由于，由于n n是大于是大于1 1的奇数，故的奇数，故(1)(1)正确；对正确；对(2)(2)，由于，由于n n是正偶数，故是正偶数，故 中中a a可取任意实数，而可取任意实数，而( )( )n n中中a a只能取非负数，故只能取非负数，故(2)(2)错误；对错误；对(3)(3)， =|b|=|b|，故结果错误，故结果错误. .2.2.当当mnmn时，时， =_.=_.【解析解析】 又又mn,|m-n|=n-m,mn,|m-n|=n-m,即即答案：答案：
