《【中考数学分项真题】二次函数图象性质与应用（共38题）-（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【中考数学分项真题】二次函数图象性质与应用（共38题）-（解析版）（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12021 年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第 01 期)专题专题 1313 二次函数图象性质与应用二次函数图象性质与应用( (共共 3838 题题) )姓名:_ 班级:_ 得分:_一、单选题一、单选题1 1(2021(2021山东泰安市山东泰安市中考真题中考真题) )将抛物线将抛物线223yxx 的图象向右平移的图象向右平移 1 1 个单位个单位, ,再向下平移再向下平移 2 2 个个单位得到的抛物线必定经过单位得到的抛物线必定经过( ( ) )A A( 2,2)B B( 1,1)C C(0,6)D D(1, 3)【答案答案】B【分析】根据二次函数平移性质“左加右减,上加下减”,得出将抛
2、物线223yxx 的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式,代入求值即可.【详解】解:将抛物线223yxx 化为顶点式,即:223yxx 2=23xx214x ,将抛物线的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,根据函数图像平移性质:左加右减,上加下减得:221 1422yxx ,A选项代入,222=( 2)22yx ,不符合;B选项代入, 222( 1)21yx ,符合;C选项代入,222(0)22yx ,不符合;D选项代入,222(1)21yx ,不符合;故选:B2【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质,一般先将函数化为顶点式:即2()ya xhk的
3、形式,然后按照“上加下减,左加右减”的方式写出平移后的解析式,能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键2 2(2021(2021浙江绍兴市浙江绍兴市中考真题中考真题) )关于二次函数关于二次函数22(4)6yx的最大值或最小值的最大值或最小值, ,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A A有最大值有最大值 4 4B B有最小值有最小值 4 4C C有最大值有最大值 6 6D D有最小值有最小值 6 6【答案答案】D【分析】根据二次函数22(4)6yx的解析式,得到a的值为 2,图象开口向上,函数有最小值,根据定点坐标(4,6),即可得出函数的最小值【详解】解:在二次函数22(4)6
4、yx中,a=20,顶点坐标为(4,6),函数有最小值为 6故选:D【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题,关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值3 3(2021(2021四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州中考真题中考真题) )二次函数二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示的图象如图所示, ,则下列结则下列结论中不正确的是论中不正确的是( ( ) )A A0abc B B函数的最大值为函数的最大值为abc3C C当当31x 时时, ,0yD D420abc【答案答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号,
5、利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0),从而分别判断各选项【详解】解:抛物线开口向下,a0,抛物线的对称轴为直线x=-1,12ba ,即b=2a,则b0,抛物线与y轴交于正半轴,c0,则abc0,故 A 正确;当x=-1 时,y取最大值为abc,故 B 正确;由于开口向上,对称轴为直线x=-1,则点(1,0)关于直线x=-1 对称的点为(-3,0),即抛物线与x轴交于(1,0),(-3,0),当31x 时,0y,故 C 正确;由图像可知:当x=-2 时,y0,即420yabc,故 D 错误;故选 D【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx
6、+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0 时,抛物线向上开口;抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c)4 4(2021(2021陕西中考真题陕西中考真题) )下表中列出的是一个二次函数的自变量下表中列出的是一个二次函数的自变量x x与函数与函数y y的几组对应值的几组对应值: :4x-2-20 01 13 3y6 6-4-4-6-6-4-4下列各选项中下列各选项中, ,正确的是正确的是A A这个函数的图象开口
7、向下这个函数的图象开口向下B B这个函数的图象与这个函数的图象与x x轴无交点轴无交点C C这个函数的最小值小于这个函数的最小值小于-6-6D D当当1x 时时, ,y y的值随的值随x x值的增大而增大值的增大而增大【答案答案】C【分析】利用表中的数据,求得二次函数的解析式,再配成顶点式,根据二次函数的性质逐一分析即可判断【详解】解:设二次函数的解析式为2yaxbxc,依题意得:42646abccabc ,解得:134abc ,二次函数的解析式为234yxx=232524x,10a ,这个函数的图象开口向上,故A选项不符合题意;22434 14250bac A,这个函数的图象与x轴有两个不同
8、的交点,故B选项不符合题意;10a ,当32x 时,这个函数有最小值2564 ,故C选项符合题意;这个函数的图象的顶点坐标为(32,254),当32x 时,y的值随x值的增大而增大,故D选项不符合题意;故选:C5【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质,利用二次函数的性质解答是解题关键5 5(2021(2021四川眉山市四川眉山市中考真题中考真题) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,抛物线抛物线245yxx与与y轴交于点轴交于点C, ,则该抛则该抛物线关于点物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为成中心对称的抛物线的表达式为( ( ) )A A245yxx
9、 B B245yxxC C245yxx D D245yxx 【答案答案】A【分析】先求出C点坐标,再设新抛物线上的点的坐标为(x,y),求出它关于点C对称的点的坐标,代入到原抛物线解析式中去,即可得到新抛物线的解析式【详解】解:当x=0 时,y=5,C(0,5);设新抛物线上的点的坐标为(x,y),原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称,由2 0xx ,2 510yy ;对应的原抛物线上点的坐标为,10xy;代入原抛物线解析式可得:21045yxx ,新抛物线的解析式为:245yxx ;故选:A【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容,
10、解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标,求出其在原抛物线上的对应点坐标,再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式,本题属于中等难度题目,蕴含了数形结合的思想方法等6 6(2021(2021浙江杭州市浙江杭州市中考真题中考真题) )已知已知1y和和2y均是以均是以x为自变量的函数为自变量的函数, ,当当xm时时, ,函数值分别为函数值分别为61M和和2M, ,若存在实数若存在实数m, ,使得使得120MM, ,则称函数则称函数1y和和2y具有性质具有性质P以下函数以下函数1y和和2y具有性质具有性质P的是的是( ( ) )A A212yxx和和21yx B B212yxx和和21yx C C11
11、yx 和和21yx D D11yx 和和21yx 【答案答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项【详解】解:当xm时,函数值分别为1M和2M,若存在实数m,使得120MM,对于 A 选项则有210mm ,由一元二次方程根的判别式可得:241450bac ,所以存在实数m,故符合题意;对于 B 选项则有210mm ,由一元二次方程根的判别式可得:241430bac ,所以不存在实数m,故不符合题意;对于 C 选项则有110mm ,化简得:210mm ,由一元二次方程根的判别式可得:241430bac ,所以不存在实数m,故不符合题意;对于 D 选项则有110mm
12、 ,化简得:210mm ,由一元二次方程根的判别式可得:241430bac ,所以不存在实数m,故不符合题意;故选 A【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质,熟练掌握一元二次方程根的判别7式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键7 7(2021(2021上海中考真题上海中考真题) )将抛物线将抛物线2(0)yaxbxc a向下平移两个单位向下平移两个单位, ,以下说法错误的是以下说法错误的是( ( ) )A A开口方向不变开口方向不变B B对称轴不变对称轴不变C Cy y随随x x的变化情况不变的变化情况不变D D与与y y轴的交点不变轴的交点不变【答案答案】
13、D【分析】根据二次函数的平移特点即可求解【详解】将抛物线2(0)yaxbxc a向下平移两个单位,开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变;与y轴的交点改变故选 D【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象,解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点8 8(2021(2021江苏苏州市江苏苏州市中考真题中考真题) )已知抛物线已知抛物线22yxkxk的对称轴在的对称轴在y轴右侧轴右侧, ,现将该抛物线先向右现将该抛物线先向右平移平移 3 3 个单位长度个单位长度, ,再向上平移再向上平移 1 1 个单位长度后个单位长度后, ,得到的抛物线正好经过坐标原点得到的抛物线正好经过坐标原点, ,则则
14、k的值是的值是( ( ) )A A5或或 2 2B B5C C2 2D D2【答案答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答即可【详解】解:函数22yxkxk向右平移 3 个单位,得:22(3)(3)yxk xk;再向上平移 1 个单位,得:22(3)(3)yxk xk+1,得到的抛物线正好经过坐标原点220(03)(03)kk+1 即20310kk 解得:5k 或2k 抛物线22yxkxk的对称轴在y轴右侧2kx 08k05k 故选:B【点睛】此题主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减9 9(2021(2021天津中考真题天津中考真题)
15、 )已知抛物线已知抛物线2yaxbxc( (, ,a b c是常数是常数, ,0a ) )经过点经过点( 1, 1),(0,1), ,当当2x 时时, ,与其对应的函数值与其对应的函数值1y 有下列结论有下列结论:0abc ;关于关于x x的方程的方程230axbxc有两个有两个不等的实数根不等的实数根;7abc其中其中, ,正确结论的个数是正确结论的个数是( ( ) )A A0 0B B1 1C C2 2D D3 3【答案答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质,逐一计算判断即可【详解】抛物线2yaxbxc(, ,a b c是常数,0a )经过点( 1, 1)
16、,(0,1),当2x 时,与其对应的函数值1y c=10,a-b+c= -1,4a-2b+c1,a-b= -2,2a-b0,2a-a-20,a20,b=a+20,abc0,230axbxc,=24 (3)ba c=28ba0,230axbxc有两个不等的实数根;b=a+2,a2,c=1,a+b+c=a+a+2+1=2a+3,a2,92a4,2a+34+37,故选D【点睛】本题考查了二次函数的性质,一元二次方程根的判别式,不等式的基本性质,熟练掌握二次函数的性质,灵活使用根的判别式,准确掌握不等式的基本性质是解题的关键1010(2021(2021四川遂宁市四川遂宁市中考真题中考真题) )已知二次
17、函数已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示的图象如图所示, ,有下列有下列 5 5 个结个结论论:0abc ;24bac;23cb;2()abm amb( (1m ););若方程若方程2axbxc1 1 有四个有四个根根, ,则这四个根的和为则这四个根的和为 2,2,其中正确的结论有其中正确的结论有( ( ) )A A2 2 个个B B3 3 个个C C4 4 个个D D5 5 个个【答案答案】A【分析】根据抛物线的开口向下,对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a,b,c的取值,于是可对进行判断;根据抛物线与x轴的交点的个数可对进行判断;根据对称轴可得12ba,则12ab ,根据1x
18、 可得0abc,代入变形可对进行判断;当1x 时,yabc的值最大,即当(1)xm m时,即abc2ambmc,则可对进行判断;由于方程ax2+bx+c=1 有 2 个根,方程ax2+bx+c=-1 有 2 个根,则利用根与系数的关系可对进行判断【详解】解:抛物线开口方向向下,a0,抛物线与y轴交于正半轴,c0,对称轴在y轴右侧,10b0,abc0,错误;抛物线与x轴有两个交点24bac024bac,故错误;抛物线的对称轴为直线x=1,12ba,12ab 由图象得,当1x 时,0yabc,102bbc23cb,故正确;当1x 时,yabc的值最大,当(1)xm m时,abc2ambmc,()a
19、bm amb(1m ),b0,2()abm amb(1m ),故正确;方程|ax2+bx+c|=1 有四个根,方程ax2+bx+c=1 有 2 个根,方程ax2+bx+c=-1 有 2 个根,所有根之和为 2(-ba)=22aa=4,所以错误正确的结论是,故选:A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口11方向和大小当a0 时,抛物线向上开口;当a0 时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右常数项c决定抛物线
20、与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数由决定:=b2-4ac0 时,抛物线与x轴有 2 个交点;=b2-4ac=0 时,抛物线与x轴有 1 个交点;=b2-4ac0 时,抛物线与x轴没有交点1111(2021(2021江苏连云港市江苏连云港市中考真题中考真题) )关于某个函数表达式关于某个函数表达式, ,甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征的一个特征甲甲: :函数图像经过点函数图像经过点( 1,1); ;乙乙: :函数图像经过第四象限函数图像经过第四象限; ;丙丙: :当当0x 时时, ,y y随随x x的增大而增大的增
21、大而增大则这个函数表达式可能是则这个函数表达式可能是( ( ) )A Ayx B B1yxC C2yx=D D1yx 【答案答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可【详解】解:A.对于yx ,当x=-1 时,y=1,故函数图像经过点( 1,1);函数图象经过二、四象限;当0x 时,y随x的增大而减小故选项A不符合题意;B.对于1yx,当x=-1 时,y=-1,故函数图像不经过点( 1,1);函数图象分布在一、三象限;当0x 时,y随x的增大而减小故选项B不符合题意;C.对于2yx=,当x=-1 时,y=1,故函数图像经过点( 1,1);函数图象分布在一、二象限;当0x 时,y随x的增大而
22、增大故选项C不符合题意;D.对于1yx ,当x=-1 时,y=1,故函数图像经过点( 1,1);函数图象经过二、四象限;当0x 时,y随x的增大而增大故选项D符合题意;故选:D【点睛】12本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质,熟知相关函数的性质是解答此题的关键1212(2021(2021四川乐山市四川乐山市中考真题中考真题) )如图如图, ,已知已知6OA, ,8OB , ,2BC , ,PA与与OB、AB均相切均相切, ,点点P是线段是线段AC与抛物线与抛物线2yax的交点的交点, ,则则a的值为的值为( ( ) )A A4 4B B92C C112D D5 5【答案答案】D【
23、分析】在 RtAOB中,由勾股定理求得10BC ;再求得直线AC的解析式为6yx ;设PA的半径为m,可得P(m,-m+6);连接PB、PO、PC,根据AOBAOPAPBBOPSSSSAAAA求得m=1,即可得点P的坐标为(1,5);再由抛物线2yax过点P,由此即可求得5a 【详解】在 RtAOB中,6OA,8OB ,22226810BCOAOB;8OB ,2BC ,OC=6,C(0,6);6OA,A(6,0);设直线AC的解析式为ykxb,606kbb ,13解得16kb ,直线AC的解析式为6yx ;设PA的半径为m,PA与OB相切,点P的横坐标为m,点P在直线直线AC上,P(m,-m+
24、6);连接PB、PO、PA,PA与OB、AB均相切,OBP边OB上的高为m,AOB边AB上的高为m,P(m,-m+6);AOP边OA上的高为-m+6,AOBAOPAPBBOPSSSSAAAA,11116 8661082222mmm ,14解得m=1,P(1,5);抛物线2yax过点P,5a 故选 D【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式,正确求出PA的半径是解决问题的关键1313(2021(2021四川资阳市四川资阳市中考真题中考真题) )已知已知A A、B B两点的坐标分别为两点的坐标分别为3, 4、0, 2, ,线段线段AB上有一动点上有一动点,M m n, ,过点
25、过点M M作作x x轴的平行线交抛物线轴的平行线交抛物线2(1)2ya x于于11,P x y、22,Q xy两点若两点若12xmx, ,则则a a的取值范围为的取值范围为( ( ) )A A342a B B342a C C302aD D302a【答案答案】C【分析】先根据题意画出函数的图象,再结合图象建立不等式组,解不等式组即可得【详解】解:由题意得:线段AB(B除外)位于第四象限,过点M且平行x轴的直线在x轴的下方,抛物线2(1)2ya x的顶点坐标为(1,2),此顶点位于第一象限,0a,画出函数图象如下:15结合图象可知,若12xmx,则当3x 时,二次函数的函数值4y ;当0x 时,二
26、次函数的函数值2y ,即42422aa ,解得32a ,又0a ,302a,故选:C【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组,熟练掌握二次函数的图象与性质,以及图象法是解题关键1414(2021(2021四川泸州市四川泸州市中考真题中考真题) )直线直线l l过点过点(0,4)(0,4)且与且与y y轴垂直轴垂直, ,若二次函数若二次函数2222()(2 )(3 )2yxaxaxaaa( (其中其中x x是自变量是自变量) )的图像与直线的图像与直线l l有两个不同的交点有两个不同的交点, ,且其且其对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧, ,则则a a的取值范围是的取值范围是( ( ) )A
27、 Aa a4 4B Ba a0 0C C0 0a a44D D0 0a a4 4【答案答案】D【分析】由直线l:y=4,化简抛物线2231212yxaxaa,令22312124xaxaa,利用判别式12480a ,解出4a ,由对称轴在y轴右侧可求0a 即可16【详解】解:直线l过点(0,4)且与y轴垂直,直线l:y=4,222222()(2 )(3 )231212yxaxaxaaaxaxaa,22312124xaxaa,二次函数2222()(2 )(3 )2yxaxaxaaa(其中x是自变量)的图像与直线l有两个不同的交点,22124 3124aaa ,12480a ,4a ,又对称轴在y轴
28、右侧,1212=202 36aaxa ,0a ,0a4故选择D【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题,抛物线对称轴,一元二次方程两个不等实根,根的判别式,掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题,根的判别式,抛物线对称轴公式是解题关键1515(2021(2021浙江中考真题浙江中考真题) )已知抛物线已知抛物线2(0)yaxbxc a与与x轴的交点为轴的交点为()1,0A和和3,0B, ,点点111,P x y, ,222,P xy是抛物线上不同于是抛物线上不同于,A B的两个点的两个点, ,记记1PAB的面积为的面积为12,SP ABA的面积为的面积为2S有下有下列结论列结论
29、:当当122xx时时, ,12SS;当当122xx时时, ,12SS;当当12221xx时时, ,12SS;当当12221xx时时, ,12SS其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是( ( ) )A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4【答案答案】A【分析】17通过1x和2x的不等关系,确定111,P x y,222,P xy在抛物线上的相对位置,逐一分析即可求解【详解】解:抛物线2(0)yaxbxc a与x轴的交点为()1,0A和3,0B,该抛物线对称轴为2x ,当122xx时与当122xx时无法确定111,P x y,222,P xy在抛物线上的相对位置,故和都不正确;当1222
30、1xx时,111,P x y比222,P xy离对称轴更远,且同在 x 轴上方或者下方,12yy,12SS,故正确;当12221xx时,即在 x 轴上1x到 2 的距离比2x到2的距离大,且都大于 1,可知在 x 轴上1x到 2 的距离大于 1,2x到 2 的距离不能确定,所以无法比较111,P x y与222,P xy谁离对称轴更远,故无法比较面积,故错误;故选:A【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,掌握二次函数的对称性是解题的关键1616(2021(2021四川自贡市四川自贡市中考真题中考真题) )如图如图, ,直线直线22yx 与坐标轴交于与坐标轴交于A A、B B两点两点, ,点点P
31、 P是线段是线段ABAB上的上的一个动点一个动点, ,过点过点P P作作y y轴的平行线交直线轴的平行线交直线3yx 于点于点Q Q, ,OPQ绕点绕点O O顺时针旋转顺时针旋转 45,45,边边PQPQ扫过区扫过区域域( (阴影部份阴影部份) )面积的最大值是面积的最大值是( ( ) )A A23B B12C C1116D D213218【答案答案】A【分析】根据题意得OQMOMNSSS阴影扇形扇形,设P(a,2-2a),则Q(a,3-a),利用扇形面积公式得到21325 8Saa 阴影,利用二次函数的性质求解即可【详解】解:如图,根据旋转的性质,OPQOMNAA,OPQOMNSSAA,则O
32、MNOPQOQMOPNSSSSSAA阴影扇形扇形OQMOPNSS扇形扇形,点P在直线22yx 上,点Q在直线3yx 上,且PQy轴,设P(a,2-2a),则Q(a,3-a),OP2=22222584aaaa,OQ2=2223269aaaa,OQMOPNSSS阴影扇形扇形192245 45 360360OQOP21325 8aa ,设22116325333yaaa ,30 ,当13a 时,y有最大值,最大值为163,S阴影的最大值为1612383故选:A【点睛】本题考查了旋转的性质,扇形的面积公式,二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件第第 IIII 卷卷( (非选择题
33、非选择题) )请点击修改第 II 卷的文字说明二、填空题二、填空题1717(2021(2021四川成都市四川成都市中考真题中考真题) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中, ,若抛物线若抛物线22yxxk与与x x轴只有一个交轴只有一个交点点, ,则则k _【答案答案】1【分析】根据抛物线22yxxk与x轴只有一个交点可知方程22xxk=0 根的判别式=0,解方程求出k值即可得答案【详解】抛物线22yxxk与x轴只有一个交点,方程22xxk=0 根的判别式=0,即 22-4k=0,20解得:k=1,故答案为:1【点睛】本题考查二次函数与 x 轴的交点问题,对于二次函数2yaxbxc(k
34、0),当判别式0 时,抛物线与x 轴有两个交点;当 k=0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当 x0 时,抛物线与 x 轴没有交点;熟练掌握相关知识是解题关键1818(2021(2021山东泰安市山东泰安市中考真题中考真题) )如图是抛物线如图是抛物线2yaxbxc的部分图象的部分图象, ,图象过点图象过点(3,0), ,对称轴为对称轴为直线直线1x , ,有下列四个结论有下列四个结论:0abc ;0abc;y y的最大值为的最大值为 3;3;方程方程210axbxc 有有实数根其中正确的为实数根其中正确的为_(_(将所有正确结论的序号都填入将所有正确结论的序号都填入) )【答案答案】【分析】
35、根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可【详解】解:抛物线的开口向下,与 y 轴的交点在y轴的正半轴,a0,c0,抛物线的对称轴为直线x=1,2ba=1,即b=2a0abc0,故错误;抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),根据对称性,与x轴的另一个交点坐标为(1,0),ab+c=0,故正确;根据图象,y是有最大值,但不一定是 3,故错误;21由210axbxc 得2= 1axbxc,根据图象,抛物线与直线y=1 有交点,210axbxc 有实数根,故正确,综上,正确的为,故答案为:【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质,会利用数形结合思想解决问题是解答的关键19
36、19(2021(2021江苏连云港市江苏连云港市中考真题中考真题) )某快餐店销售某快餐店销售A A、B B两种快餐两种快餐, ,每份利润分别为每份利润分别为 1212 元、元、8 8 元元, ,每天卖每天卖出份数分别为出份数分别为 4040 份、份、8080 份该店为了增加利润份该店为了增加利润, ,准备降低每份准备降低每份A A种快餐的利润种快餐的利润, ,同时提高每份同时提高每份B B种快餐的种快餐的利润售卖时发现利润售卖时发现, ,在一定范围内在一定范围内, ,每份每份A A种快餐利润每降种快餐利润每降 1 1 元可多卖元可多卖 2 2 份份, ,每份每份B B种快餐利润每提高种快餐利
37、润每提高 1 1 元元就少卖就少卖 2 2 份如果这两种快餐每天销售总份数不变份如果这两种快餐每天销售总份数不变, ,那么这两种快餐一天的总利润最多是那么这两种快餐一天的总利润最多是_元元【答案答案】1264【分析】根据题意,总利润=A快餐的总利润B快餐的总利润,而每种快餐的利润=单件利润对应总数量,分别对两份快餐前后利润和数量分析,代入求解即可【详解】解:设A种快餐的总利润为1W,B种快餐的总利润为2W,两种快餐的总利润为W,设A快餐的份数为x份,则B种快餐的份数为120x份据题意:2140112122032222xxWxxxx 22801201= 812072240022xWxxx 221
38、21042400=521264WWWxxx 10 当52x 的时候,W取到最大值 1264,故最大利润为 1264 元故答案为:126422【点睛】本题考查的是二次函数的应用,正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点2020(2021(2021四川南充市四川南充市中考真题中考真题) )关于抛物线关于抛物线221(0)yaxxa, ,给出下列结论给出下列结论:当当0a 时时, ,抛抛物线与直线物线与直线22yx没有交点没有交点;若抛物线与若抛物线与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,则其中一定有一个交点在点则其中一定有一个交点在点(0,0)(0,0)与与(1,0)(1,0)之间之
39、间;若抛物线的顶点在点若抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)(0,0),(2,0),(0,2)所围成的三角形区域内所围成的三角形区域内( (包括边界包括边界),),则则1a其中正确结其中正确结论的序号是论的序号是_【答案答案】【分析】先联立方程组,得到2410axx ,根据判别式即可得到结论;先求出a1,分两种情况:当 0a1 时,当a0 时,进行讨论即可;求出抛物线221(0)yaxxa的顶点坐标为:11aaa，,进而即可求解【详解】解:联立22122yaxxyx,得2410axx ,= 2441164aa ,当0a 时,有可能0,抛物线与直线22yx有可能有交点,故错误;抛物
40、线221(0)yaxxa的对称轴为:直线x=1a,若抛物线与x轴有两个交点,则=2240a,解得:a1,当 0a1 时,则1a1,此时,x1a,y随x的增大而减小,又x=0 时,y=10,x=1 时,y=a-10,抛物线有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,当a0 时,则1a0,此时,x1a,y随x的增大而减小,又x=0 时,y=10,x=1 时,y=a-10,抛物线有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,综上所述:若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,故正确;23抛物线221(0)yaxxa的顶点坐标为:11aaa，,111aaa+,抛物线的顶点
41、所在直线解析式为:x+y=1,即:y=-x+1,抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)所围成的三角形区域内(包括边界),1010aaa,解得:1a,故正确故答案是:【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质,掌握二次函数与二次方程的联系,熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况,是解题的关键2121(2021(2021安徽安徽) )设抛物线设抛物线2(1)yxaxa, ,其中其中a a为实数为实数(1)(1)若抛物线经过点若抛物线经过点( 1,)m, ,则则m _;_;(2)(2)将抛物线将抛物线2(1)yxaxa向上平移向上平移 2 2 个单位个单位, ,所得抛物线顶点的纵坐标的最大
42、值是所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是_【答案答案】0 2 【分析】(1)直接将点( 1,)m代入计算即可(2)先根据平移得出新的抛物线的解析式,再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标,再通过配方得出最值【详解】解:(1)将( 1,)m代入2(1)yxaxa得:110maa 故答案为:0(2)根据题意可得新的函数解析式为:2(1)+2yxaxa24由抛物线顶点坐标24-,24bacbaa得新抛物线顶点的纵坐标为:24(2)(1)4aa2274aa2(21)84aa2(1)84a2(1)0a当a=1 时,218a有最大值为 8,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为:2【点睛】本题考查
43、将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法2222(2021(2021浙江中考真题浙江中考真题) )已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系xOy中中, ,点点A的坐标为的坐标为3,4 ,M是抛物线是抛物线22(0)yaxbxa对称轴上的一个动点小明经探究发现对称轴上的一个动点小明经探究发现: :当当ba的值确定时的值确定时, ,抛物线的对称轴上能使抛物线的对称轴上能使AOMA为直角三角形的点为直角三角形的点M的个数也随之确定若抛物线的个数也随之确定若抛物线22(0)yaxbxa的对称轴上存在的对称轴上存在 3 3 个个不同的点不同的点M, ,使使AOMA为直角三
44、角形为直角三角形, ,则则ba的值是的值是_【答案答案】2 或8【分析】25分=90AOM,=90OAM和=90OMA 确定点M的运动范围,结合抛物线的对称轴与1l,2l,PA共有三个不同的交点,确定对称轴的位置即可得出结论【详解】解:由题意得:O(0,0),A(3,4)AOM为直角三角形,则有:当=90AOM时,OAOM 点M在与OA垂直的直线1l上运动 (不含点O);如图,当=90OAM时,OAAM,点M在与OA垂直的直线2l上运动 (不含点A);当=90OMA时,OMAM,点M在与OA为直径的圆上运动,圆心为点P,点P为OA的中点,3( ,2)2P 半径r=2211534222AO 抛物
45、线22(0)yaxbxa的对称轴与x轴垂直26由题意得,抛物线的对称轴与1l,2l,PA共有三个不同的交点,抛物线的对称轴为PA的两条切线,而点P到切线3l,4l的距离52dr ,又3( ,2)2P直线3l的解析式为:35122x ;直线4l的解析式为:35+422x ;12ba 或 42ba或-8故答案为:2 或-8【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有圆的切线的判定,直角三角形的判定,综合性较强,有一定难度运用数形结合、分类讨论是解题的关键2323(2021(2021湖北武汉市湖北武汉市中考真题中考真题) )如图如图(1),(1),在在ABCA中中, ,ABAC, ,90B
46、AC, ,边边AB上的点上的点D从从顶点顶点A出发出发, ,向顶点向顶点B运动运动, ,同时同时, ,边边BC上的点上的点E从顶点从顶点B出发出发, ,向顶点向顶点C运动运动, ,D, ,E两点运动速度的大两点运动速度的大小相等小相等, ,设设xAD, ,yAECD, ,y关于关于x的函数图象如图的函数图象如图(2),(2),图象过点图象过点0,2, ,则图象最低点的横坐标则图象最低点的横坐标是是_27【答案答案】21【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2,进而求得AB=AC=1、BC=2以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值;再运用勾股定理求得CD、AE,然后根据AE+CD得
47、到21x +222222x可知其表示点(x,0)到(0,-1)与(22,22)的距离之和,然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式,进而求得x的值【详解】解:由图可知,当x=0 时,AE+CD=AB+AC=2AB=AC=1,BC=2,图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得:CD=21x ,AE=222222x AE+CD=21x +222222x,即点(x,0)到(0,-1)与(22,22)的距离之和当这三点共线时,AE+CD最小设该直线的解析式为y=kx+b12222bkb 解得211kb 211yx当y=0 时,x=21故填21【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义
48、,从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键2424(2021(2021湖北武汉市湖北武汉市中考真题中考真题) )已知抛物线已知抛物线2yaxbxc( (a, ,b, ,c是常数是常数),),0abc, ,下列四下列四个结论个结论: :28若抛物线经过点若抛物线经过点3,0, ,则则2ba; ;若若bc, ,则方程则方程20cxbxa一定有根一定有根2x ; ;抛物线与抛物线与x轴一定有两个不同的公共点轴一定有两个不同的公共点; ;点点11,A x y, ,22,B xy在抛物线上在抛物线上, ,若若0ac, ,则当则当121xx时时, ,12yy其中正确的是其中正确的是_(_(填写
49、序号填写序号) )【答案答案】【分析】将3,0代入解析式即可判定;由b=c,可得a=-2c,cx2+bx+a=0 可得cx2+cx-2c=0,则原方程可化为x2+x-2=0,则一定有根x=-2;当b2-4ac0 时,图像与x轴少于两个公共点,只有一个关于a,b,c的方程,故存在a、b、c使b2-4ac00,故错误;若 0ac,则有b|c|a|,|b|2|a|,所以对称轴12ba,因为a0 在对称轴左侧,函数单调递减,所以当x1x2y2,故正确【详解】解:抛物线经过点3,02033abc ,即 9a-3b+c=00abcb=2a故正确;b=c,0abca=-2c,cx2+bx+a=0cx2+cx
50、-2c=0,即x2+x-2=0一定有根x=-2故正确;当b2-4ac0 时,图像与x轴少于两个公共点,只有一个关于a、b、c的方程,故存在a、b、c使b2-4ac0,故错误;29若 0ac,则有b|c|a|,|b|2|a|,所以对称轴12ba,因为a0 在对称轴左侧,函数单调递减,所以当x1x2y2,故正确故填:【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程,灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键三、解答题三、解答题2525(2021(2021湖北武汉市湖北武汉市中考真题中考真题) )在在“乡村振兴乡村振兴”行动中行动中, ,某村办企业以某村办企业以A, ,B两种农作物为原料
51、开发了两种农作物为原料开发了一种有机产品一种有机产品, ,A原料的单价是原料的单价是B原料单价的原料单价的 1.51.5 倍倍, ,若用若用 900900 元收购元收购A原料会比用原料会比用 900900 元收购元收购B原料少原料少100kg生产该产品每盒需要生产该产品每盒需要A原料原料2kg和和B原料原料4kg, ,每盒还需其他成本每盒还需其他成本 9 9 元市场调查发现元市场调查发现: :该产品每该产品每盒的售价是盒的售价是 6060 元时元时, ,每天可以销售每天可以销售 500500 盒盒; ;每涨价每涨价 1 1 元元, ,每天少销售每天少销售 1010 盒盒 (1)(1)求每盒产品
52、的成本求每盒产品的成本( (成本原料费其他成本成本原料费其他成本););(2)(2)设每盒产品的售价是设每盒产品的售价是x元元( (x是整数是整数),),每天的利润是每天的利润是w元元, ,求求w关于关于x的函数解析式的函数解析式( (不需要写出自变量不需要写出自变量的取值范围的取值范围););(3)(3)若每盒产品的售价不超过若每盒产品的售价不超过a元元( (a是大于是大于 6060 的常数的常数, ,且是整数且是整数),),直接写出每天的最大利润直接写出每天的最大利润【答案答案】(1)每盒产品的成本为 30 元(2)210140033000 wxx;(3)当70a 时,每天的最大利润为 1
53、6000 元;当6070a时,每天的最大利润为210140033000aa元【分析】(1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元然后再根据“用 900 元收购A原料会比用 900 元收购B原料少100kg”列分式方程求解即可;(2)直接根据“总利润=单件利润销售数量”列出解析式即可;(3)先确定210140033000 wxx的对称轴和开口方向,然后再根据二次函数的性质求最值即可【详解】解:(1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元依题意,得9009001001.5mm30解得,3m ,1.54.5m 经检验,3m 是原方程的根每盒产品的成本为:4.5 24 3930 (元)答:
54、每盒产品的成本为 30 元(2)30500 1060wxx210140033000xx ;(3)抛物线210140033000 wxx的对称轴为w=70,开口向下当70a 时,a=70 时有最大利润,此时 w=16000,即每天的最大利润为 16000 元;当6070a时,每天的最大利润为210140033000aa元【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点,正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键2626(2021(2021陕西中考真题陕西中考真题) )已知抛物线已知抛物线228yxx 与与x x轴交于点轴交于点A A、B B( (其中其中A A在点在点B
55、 B的左侧的左侧),),与与y y轴交于点轴交于点C C(1)(1)求点求点B B、C C的坐标的坐标; ;(2)(2)设点设点C与点与点C C关于该抛物线的对称轴对称在关于该抛物线的对称轴对称在y y轴上是否存在点轴上是否存在点P P, ,使使PCC与与POBA相似且相似且PC与与PO是对应边是对应边? ?若存在若存在, ,求点求点P P的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由【答案答案】(1)4,0B,0,8C;(2)存在,0,16P或160,3P【分析】(1)令y=0,求2280xx的根即可;令x=0,求得y值即可确定点C的坐标;(2)确定抛物线的对称轴为x=1,确定
56、C的坐标为(2,8),计算CC=2,利用直角相等,两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似,分类求解即可.【详解】解:(1)令0y ,则2280xx,12x ,24x 314,0B令0x ,则8y 0,8C(2)存在由已知得,该抛物线的对称轴为直线1x 点C与点C关于直线1x 对称,2,8C,2CC / /CCOB点P在y轴上,90PCCPOB 当PCCCPOOB时,PCCPOB设0,Py,i)当8y 时,则824yy,16y 0,16Pii)当08y时,则824yy,163y 160,3Piii)当0y 时,则CPOP,与12PCPO矛盾点P不存在0,16P或160,3P32【点睛】本题考
57、查了二次函数与一元二次方程的关系,对称轴的意义,三角形相似的判定和性质,熟练掌握二次函数的性质,灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键2727(2021(2021四川乐山市四川乐山市中考真题中考真题) )已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程20xxm(1)(1)若方程有两个不相等的实数根若方程有两个不相等的实数根, ,求求m的取值范围的取值范围; ;(2)(2)二次函数二次函数2yxxm的部分图象如图所示的部分图象如图所示, ,求一元二次方程求一元二次方程20xxm的解的解【答案答案】(1)14m ;(2)11x ,22x 【分析】(1)根据0 时,一元二次方程有
58、两个不相等的实数根求解 m 的取值范围即可;(2)根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0 时对应一元二次函数的解,故将x=1 代入方程中求出m值,再代入一元二次方程中解方程即可求解【详解】解:(1)由题知1 40m ,14m (2)由图知20xxm的一个根为 1,2110m ,2m ,33即一元二次方程为220xx,解得11x ,22x ,一元二次方程20xxm的解为11x ,22x 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程,会解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键2828(2021(2021浙江丽水市浙江
59、丽水市中考真题中考真题) )如图如图, ,已知抛物线已知抛物线2:L yxbxc经过点经过点(0, 5),(5,0)AB(1)(1)求求, b c的值的值; ;(2)(2)连结连结AB, ,交抛物线交抛物线L L的对称轴于点的对称轴于点M M求点求点M M的坐标的坐标; ;将抛物线将抛物线L L向左平移向左平移(0)m m 个单位得到抛物线个单位得到抛物线1L过点过点M M作作/ /MNy轴轴, ,交抛物线交抛物线1L于点于点N NP P是抛物是抛物线线1L上一点上一点, ,横坐标为横坐标为1, ,过点过点P P作作/ /PEx轴轴, ,交抛物线交抛物线L L于点于点E E, ,点点E E在抛
60、物线在抛物线L L对称轴的右侧若对称轴的右侧若10PEMN, ,求求m m的值的值【答案答案】(1)4, 5;(2)(2, 3);1 或1652 【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可;(2)求出直线AB的解析式,抛物线的对称轴方程,代入求解即可;根据抛物线的平移方式求出抛物线1L的表达式,再分三种情况进行求解即可【详解】34解:(1)把点(0, 5),(5,0)AB的坐标分别代入2yxbxc,得5,2550.cbc 解得4,5.bc , b c的值分别为4, 5(2)设AB所在直线的函数表达式为()0ykxn k,把(0, 5),(5,0)AB的坐标分别代入表达式,得5,50.nkn 解得
61、1,5.kn AB所在直线的函数表达式为5yx由(1)得,抛物线L的对称轴是直线2x ,当2x 时,53yx 点M的坐标是(2, 3)设抛物线1L的表达式是2(2)9yxm,/ /MNy轴,点N的坐标是22,9m 点P的横坐标为1,点P的坐标是21,6mm,设PE交抛物线1L于另一点Q,抛物线1L的对称轴是直线2,/ /xm PEx轴,根据抛物线的轴对称性,点Q的坐标是252 ,6m mm35(i)如图 1,当点N在点M下方,即06m时,52( 1)62PQmm ,22396MNmm ,由平移性质得,QEm,626PEmmm10PEMN，26610mm,解得12m (舍去),21m (ii)图
62、 2,当点N在点M上方,点Q在点P右侧,即63m时,26,6PEm MNm,10PEMN，3626610mm ,解得11412m(舍去),21412m(舍去)()如图 3,当点N在点M上方,点Q在点P左侧,即3m 时,2,6PEm MNm,10PEMN，2610mm,解得11652m (舍去),21652m 综上所述,m的值是 1 或1652 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点,数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键2929(2021(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题) )甲、乙两汽车出租公司均有甲、乙两汽车出租公
63、司均有 5050 辆汽车对外出租辆汽车对外出租, ,下面是两公司经理的下面是两公司经理的一段对话一段对话: :甲公司经理甲公司经理: :如果我公司每辆汽车月租费如果我公司每辆汽车月租费 30003000 元元, ,那么那么 5050 辆汽车可以全部租出如果每辆汽车的月租费每辆汽车可以全部租出如果每辆汽车的月租费每增加增加 5050 元元, ,那么将少租出那么将少租出 1 1 辆汽车另外辆汽车另外, ,公司为每辆租出的汽车支付月维护费公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200200 元元乙公司经理乙公司经理: :我公司每辆汽车月租费我公司每辆汽车月租费 35003500 元元, ,无论是否租出汽车
64、无论是否租出汽车, ,公司均需一次性支付月维护费共计公司均需一次性支付月维护费共计 18501850元元说明说明:汽车数量为整数汽车数量为整数; ;月利润月利润= =月租车费月租车费- -月维护费月维护费; ;两公司月利润差两公司月利润差= =月利润较高公司的利润月利润较高公司的利润- -月利润较低公司的利润月利润较低公司的利润在两公司租出的汽车数量相等的条件下在两公司租出的汽车数量相等的条件下, ,根据上述信息根据上述信息, ,解决下列问题解决下列问题: :(1)(1)当每个公司租出的汽车为当每个公司租出的汽车为 1010 辆时辆时, ,甲公司的月利润是甲公司的月利润是_元元; ;当每个公司
65、租出的汽车为当每个公司租出的汽车为_辆时辆时, ,两两公司的月利润相等公司的月利润相等; ;(2)(2)求两公司月利润差的最大值求两公司月利润差的最大值; ;37(3)(3)甲公司热心公益事业甲公司热心公益事业, ,每租出每租出 1 1 辆汽车捐出辆汽车捐出a a元元0a 给慈善机构给慈善机构, ,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润高于乙公司月利润, ,且当两公司租出的汽车均为且当两公司租出的汽车均为 1717 辆时辆时, ,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大, ,求求a a的取值范围的取值范围【答案答案】
66、(1)48000,37;(2)33150 元;(3)50150a【分析】(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以 10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据二次函数的性质,结合x的范围求出最值,再比较即可;(3)根据题意得到利润差为25018001850yxa x ,得到对称轴,再根据两公司租出的汽车均为 17 辆,结合x为整数可得关于a的不等式
67、180016.517.5100a,即可求出a的范围【详解】解:(1)501050300010200 10=48000 元,当每个公司租出的汽车为 10 辆时,甲公司的月利润是 48000 元;设每个公司租出的汽车为x辆,由题意可得:5050300020035001850xxxx,解得:x=37 或x=-1(舍),当每个公司租出的汽车为 37 辆时,两公司的月利润相等;(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,则y甲=50503000200xxx,y乙=35001850x ,当甲公司的利润大于乙公司时,0x37,y=y甲-y乙=5050300020035001850xxxx=2501
68、8001850xx,当x=1800502=18 时,利润差最大,且为 18050 元;38当乙公司的利润大于甲公司时,37x50,y=y乙-y甲=3500185050503000200xxxx=25018001850xx,对称轴为直线x=1800502=18,当x=50 时,利润差最大,且为 33150 元;综上:两公司月利润差的最大值为 33150 元;(3)捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,则利润差为25018001850yxxax =25018001850xa x,对称轴为直线x=1800100a,x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为 17 辆时,月利润之差最大,180016
69、.517.5100a,解得:50150a【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,二次函数的图像和性质,解题时要读懂题意,列出二次函数关系式,尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式3030(2021(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题) )如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,二次函数二次函数2yxbxc的图像与的图像与x x轴交轴交于点于点1,0A 、3,0B, ,与与y y轴交于点轴交于点C C(1)(1)b _,_,c _;_;(2)(2)若点若点D D在该二次函数的图像上在该二次函数的图像上, ,且且2ABDABCSSAA, ,求点求点D D的坐标的坐标; ;
70、39(3)(3)若点若点P P是该二次函数图像上位于是该二次函数图像上位于x x轴上方的一点轴上方的一点, ,且且APCAPBSSAA, ,直接写出点直接写出点P P的坐标的坐标【答案答案】(1)-2,-3;(2)(110,6)或(110,6);(3)(4,5)【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)先求出ABC的面积,设点D(m,223mm),再根据2ABDABCSSAA,得到方程求出m值,即可求出点D的坐标;(3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧,结合平行线之间的距离,分别求解【详解】解:(1)点A和点B在二次函数2yxbxc图像上,则01093bcbc ,解得:23bc ,故答案为:
71、-2,-3;(2)连接BC,由题意可得:A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),223yxx,SABC=14 32 =6,SABD=2SABC,设点D(m,223mm),1262DABy,即21423262mm ,解得:x=110或110,代入223yxx,可得:y值都为 6,D(110,6)或(110,6);40(3)设P(n,223nn),点P在抛物线位于x轴上方的部分,n-1 或n3,当点P在点A左侧时,即n-1,可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,APCAPBSS,不成立;当点P在点B右侧时,即n3,APC和APB都以AP为底,若要面积相等,则点B和点C到AP的距离相等,即
72、BCAP,设直线BC的解析式为y=kx+p,则033kpp ,解得:13kp ,则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入,则-1+q=0,解得:q=1,则直线AP的解析式为y=x+1,将P(n,223nn)代入,即2231nnn,解得:n=4 或n=-1(舍),2235nn,点P的坐标为(4,5)41【点睛】本题考查了二次函数综合,涉及到待定系数法求函数解析式,三角形面积,平行线之间的距离,一次函数,解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离3131(2021(2021浙江宁波市浙江宁波市中考真题中考真题) )如图如图, ,二次函数二次函数1yxxa( (a a为常数
73、为常数) )的图象的对称轴为直线的图象的对称轴为直线2x (1)(1)求求a a的值的值(2)(2)向下平移该二次函数的图象向下平移该二次函数的图象, ,使其经过原点使其经过原点, ,求平移后图象所对应的二次函数的表达式求平移后图象所对应的二次函数的表达式【答案答案】(1)3a ;(2)24yxx【分析】(1)把二次函数化为一般式,再利用对称轴:2bxa ,列方程解方程即可得到答案;(2)由(1)得:二次函数的解析式为:243yxx,再结合平移后抛物线过原点,则0,c 从而可得平移方式及平移后的解析式【详解】解:(1)2(1)()(1)yxxaxa xa42图象的对称轴为直线2x ,122a,
74、3a (2)3a ,二次函数的表达式为243yxx,抛物线向下平移 3 个单位后经过原点,平移后图象所对应的二次函数的表达式为24yxx【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数图像的平移,熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键3232(2021(2021浙江金华市浙江金华市中考真题中考真题) )某游乐场的圆形喷水池中心某游乐场的圆形喷水池中心O O有一雕塑有一雕塑OAOA, ,从从A A点向四周喷水点向四周喷水, ,喷出的喷出的水柱为抛物线水柱为抛物线, ,且形状相同如图且形状相同如图, ,以水平方向为以水平方向为x x轴轴, ,点点O O为原点建立直角
75、坐标系为原点建立直角坐标系, ,点点A A在在y y轴上轴上, ,x x轴上的轴上的点点C C, ,D D为水柱的落水点为水柱的落水点, ,水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为21566yx (1)(1)求雕塑高求雕塑高OAOA(2)(2)求落水点求落水点C C, ,D D之间的距离之间的距离(3)(3)若需要在若需要在ODOD上的点上的点E E处竖立雕塑处竖立雕塑EFEF, ,10mOE , ,1.8m,EFEFOD问问: :顶部顶部F F是否会碰到水柱是否会碰到水柱? ?请通过计算说明请通过计算说明【答案答案】(1)11m6;(2)22 米;(3
76、)不会【分析】(1)求雕塑高OA,直接令0x ,代入21566yx 求解可得;43(2)可先求出OD的距离,再根据对称性求CD的长;(3)利用21566yx ,计算出10x 的函数值y,再与EF的长进行比较可得结论【详解】解:(1)由题意得,A点在图象上当0x 时,21(05 )66y 2511666 11(m)6OA(2)由题意得,D点在图象上令0y ,得21(5)606x解得:1211,1xx (不合题意,舍去)11OD222(m)CDOD(3)当10x 时,21(105)66y ,251161.866 ,不会碰到水柱【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于y轴对称问题,解题的关键
77、是:掌握二次函数的图像与性质3333(2021(2021浙江温州市浙江温州市中考真题中考真题) )已知抛物线已知抛物线228yaxax0a 经过点经过点2,0(1)(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标求抛物线的函数表达式和顶点坐标(2)(2)直线直线l交抛物线于点交抛物线于点4,Am, ,7B n, ,n为正数若点为正数若点P在抛物线上且在直线在抛物线上且在直线l下方下方( (不与点不与点A, ,B重重合合),),分别求出点分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围横坐标与纵坐标的取值范围, ,【答案答案】(1)228yxx,顶点坐标为1, 9;(2)4px ,916py 44【分析】(1)把2,0
78、代入可求得函数解析式,然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式,直接得到抛物线的顶点坐标;(2)把4,Am,7B n代入可求出m,n,求出点P横坐标取值范围,在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解:(1)把2,0代入228yaxax,得4480aa,解得1a ,抛物线的函数表达式为228yxx,配方得219yx,顶点坐标为1, 9(2)当4x 时,16m 当7y 时,2287nn,解得15n ,23n n为正数,5n 点P在抛物线上且在直线l的下方(不与点A,B重合),4px 1a 0开口向上,当x=1 时函数取得最小值=-9当41x 时,y随x的增大而减小;当15x时,y随x
79、的增大而增大,当x=-4 时,y=16,当x=5 时y=7,916py 【点睛】本题二次函数综合题,考查了利用待定系数法求二次函数解析式,配方法把二次函数一般式化成顶点式,以及二次函数的性质3434(2021(2021四川南充市四川南充市中考真题中考真题) )超市购进某种苹果超市购进某种苹果, ,如果进价增加如果进价增加 2 2 元元/ /千克要用千克要用 300300 元元; ;如果进价减如果进价减45少少 2 2 元元/ /千克千克, ,同样数量的苹果只用同样数量的苹果只用 200200 元元(1)(1)求苹果的进价求苹果的进价(2)(2)如果购进这种苹果不超过如果购进这种苹果不超过 10
80、0100 千克千克, ,就按原价购进就按原价购进; ;如果购进苹果超过如果购进苹果超过 100100 千克千克, ,超过部分购进价格减少超过部分购进价格减少2 2 元元/ /千克写出购进苹果的支出千克写出购进苹果的支出y y( (元元) )与购进数量与购进数量x x( (千克千克) )之间的函数关系式之间的函数关系式(3)(3)超市一天购进苹果数量不超过超市一天购进苹果数量不超过 300300 千克千克, ,且购进苹果当天全部销售完据统计且购进苹果当天全部销售完据统计, ,销售单价销售单价z z( (元元/ /千克千克) )与与一天销售数量一天销售数量x x( (千克千克) )的关系为的关系为
81、112100zx 在在(2)(2)的条件下的条件下, ,要使超市销售苹果利润要使超市销售苹果利润w w( (元元) )最大最大, ,求一求一天购进苹果数量天购进苹果数量( (利润销售收入利润销售收入购进支出购进支出) )【答案答案】(1)苹果的进价为 10 元/千克;(2)10 (100)8200(100)x xyxx;(3)要使超市销售苹果利润w最大,一天购进苹果数量为 200 千克【分析】(1)设苹果的进价为x元/千克,根据等量关系,列出分式方程,即可求解;(2)分两种情况:当x100 时, 当x100 时,分别列出函数解析式,即可;(3)分两种情况:若x100 时,若x100 时,分别求
82、出w关于x的函数解析式,根据二次函数的性质,即可求解【详解】解:(1)设苹果的进价为x元/千克,由题意得:30020022xx,解得:x=10,经检验:x=10 是方程的解,且符合题意,答:苹果的进价为 10 元/千克;(2)当x100 时,y=10x,当x100 时,y=10100+(10-2)(x-100)=8x+200,10 (100)8200(100)x xyxx;(3)若x100 时,w=zx-y=21112102100100xxxxx =21100100100x,当x=100 时,w最大=100,46若x100 时,w=zx-y=2111282004200100100xxxxx =
83、21200600100x,当x=200 时,w最大=600,综上所述:当x=200 时,超市销售苹果利润w最大,答:要使超市销售苹果利润w最大,一天购进苹果数量为 200 千克【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用,根据数量关系,列出函数解析式和分式方程,是解题的关键3535(2021(2021浙江嘉兴市浙江嘉兴市中考真题中考真题) )已知二次函数已知二次函数265yxx (1)(1)求二次函数图象的顶点坐标求二次函数图象的顶点坐标; ;(2)(2)当当14x时时, ,函数的最大值和最小值分别为多少函数的最大值和最小值分别为多少? ?(3)(3)当当3txt 时时, ,函数
84、的最大值为函数的最大值为m, ,最小值为最小值为n,m-n=3,m-n=3 求求t的值的值【答案答案】(1)3,4;(2)函数的最大值为 4,最小值为 0;(3)33t 或3【分析】(1)把二次函数265yxx 配成顶点式即可得出结论;(2)利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值(3)分 t0;03t ;3t 三种情况,根据二次函数的性质和 m-n=3 列出关于 t 的方程,解之即可【详解】(1)226534yxxx ,顶点坐标为3,4(2)顶点坐标为3,4,当3x 时,4y最大值, 当13x时,y随着x的增大而增大,当1x 时,0y最小值当34x时,y随着x的增大而减小,当4x 时
85、,3y最小值当14x时,函数的最大值为 4,最小值为 0(3)当3txt 时,对t进行分类讨论当33t 时,即,0t ,y随着x的增大而增大当xt时,265ntt 472246569mntttt 693t,解得1t (不合题意,舍去)当03t 时,顶点的横坐标在取值范围内,4m i)当302t 时,在xt时,265ntt ,2246569mntttt 2693tt,解得133t ,233t (不合题意,舍去)ii)当332t 时在3xt 时,24nt ,2244mntt 23t ,解得,13t ,23t (不合题意舍去)当3t 时,y随着x的增大而减小,当xt时,265mtt ,当3xt 时,
86、2236354nttt ,2265469mntttt 693t ,解得2t (不合题意,舍去)综上所述,33t 或3【点睛】本题是二次函数综合题,考查抛物线的性质以及最值问题,有难度,并学会利用参数解决问题是解题的关键,属于中考常考题型3636(2021(2021浙江中考真题浙江中考真题) )如图如图, ,已知经过原点的抛物线已知经过原点的抛物线22yxmx与与x轴交于另一点轴交于另一点A A(2,0)(2,0)48(1)(1)求求m的值和抛物线顶点的值和抛物线顶点M的坐标的坐标; ;(2)(2)求直线求直线AM的解析式的解析式【答案答案】(1)4m ,M (1,-2);(2)24yx【分析】
87、(1)将A(2,0)代入抛物线的解析式,可求得m的值,再配成顶点式即可求解;(2)利用待定系数法即可求得直线AM的解析式【详解】解 (1)抛物线22yxmx过点A(2,0),22 220m ,解得4m ,224yxx,22(1)2x,顶点M的坐标是(1,-2);(2)设直线AM的解析式为0ykxb k,图象过A(2,0),M (1,-2),202kbkb ,解得24kb ,直线AM的解析式为24yx49【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的图象和性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题3737(2021(2021四川遂宁市四川遂宁市中考真题中考真题) )某服装店以每件某服装店以
88、每件 3030 元的价格购进一批元的价格购进一批T T恤恤, ,如果以每件如果以每件 4040 元出售元出售, ,那那么一个月内能售出么一个月内能售出 300300 件件, ,根据以往销售经验根据以往销售经验, ,销售单价每提高销售单价每提高 1 1 元元, ,销售量就会减少销售量就会减少 1010 件件, ,设设T T恤的销售恤的销售单价提高单价提高x元元(1)(1)服装店希望一个月内销售该种服装店希望一个月内销售该种T T恤能获得利润恤能获得利润 33603360 元元, ,并且尽可能减少库存并且尽可能减少库存, ,问问T T恤的销售单价应提高恤的销售单价应提高多少元多少元? ?(2)(2
89、)当销售单价定为多少元时当销售单价定为多少元时, ,该服装店一个月内销售这种该服装店一个月内销售这种T T恤获得的利润最大恤获得的利润最大? ?最大利润是多少元最大利润是多少元? ?【答案答案】(1)2 元;(2)当服装店将销售单价 50 元时,得到最大利润是 4000 元【分析】(1)根据题意,通过列一元二次方程并求解,即可得到答案;(2)设利润为M元,结合题意,根据二次函数的性质,计算得利润最大值对应的x的值,从而得到答案【详解】(1)由题意列方程得:(x40-30) (300-10x)3360 解得:x12,x218要尽可能减少库存,x218 不合题意,故舍去T恤的销售单价应提高 2 元
90、;(2)设利润为M元,由题意可得: M(x40-30)(300-10x)-10x2200x3000210104000x 当x10 时,M最大值4000 元销售单价:401050 元当服装店将销售单价 50 元时,得到最大利润是 4000 元【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质,从而完成求解3838(2021(2021山东临沂市山东临沂市中考真题中考真题) )公路上正在行驶的甲车公路上正在行驶的甲车, ,发现前方发现前方 20m20m 处沿同一方向行驶的乙车后处沿同一方向行驶的乙车后, ,开开始减速始减速, ,减速后甲车行驶的路程减速后
91、甲车行驶的路程s s( (单位单位:m):m)、速度、速度v v( (单位单位:m/s):m/s)与时间与时间t t( (单位单位:s):s) 的关系分别可以用二次函的关系分别可以用二次函数和一次函数表示数和一次函数表示, ,其图象如图所示其图象如图所示50(1)(1)当甲车减速至当甲车减速至 9m/s9m/s 时时, ,它行驶的路程是多少它行驶的路程是多少? ?(2)(2)若乙车以若乙车以 10m/s10m/s 的速度匀速行驶的速度匀速行驶, ,两车何时相距最近两车何时相距最近, ,最近距离是多少最近距离是多少? ?【答案答案】(1)87.5m;(2)6 秒时两车相距最近,最近距离是 2 米
92、【分析】(1)根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式,令v=9 求出t,代入求出s即可;(2)分析得出当v=10m/s 时,两车之间距离最小,代入计算即可【详解】解:(1)由图可知:二次函数图像经过原点,设二次函数表达式为2satbt,一次函数表达式为vktc,一次函数经过(0,16),(8,8),则8816kcc,解得:116kc ,一次函数表达式为16vt ,令v=9,则t=7,当t=7 时,速度为 9m/s,二次函数经过(2,30),(4,56),51则423016456abab,解得:1216ab ,二次函数表达式为21162stt ,令t=7,则s=491672=87.5,当甲车减速至 9m/s 时,它行驶的路程是 87.5m;(2)当t=0 时,甲车的速度为 16m/s,当 10v16 时,两车之间的距离逐渐变小,当 0v10 时,两车之间的距离逐渐变大,当v=10m/s 时,两车之间距离最小,将v=10 代入16vt 中,得t=6,将t=6 代入21162stt 中,得78s ,此时两车之间的距离为:106+20-78=2m,6 秒时两车相距最近,最近距离是 2 米【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用,理解题意,读懂函数图像,求出表达式是解题的基本前提
