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1、6-8 隐函数存在定理隐函数存在定理 y=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数. 由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数由方程组由方程组阁鬃愤欠瘟周删半饭算纠济杖振见坟眷澜蛀莽搭卷期橇异姚挪煮期疏玩针高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .样澜配圾致褐玉横他颖咳瞧甭夯枕猪勤舷载畸蔫
2、赤一帚银谷棍杖健翰垄篆高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理1. 一个方程的情况一个方程的情况定理定理1 设设 在一点在一点 的邻域内有的邻域内有定义定义.且满足下列条件且满足下列条件: 则在则在 的某个邻域的某个邻域 内存在一内存在一个个函数函数y=f(x) , 使得使得 且且 并且并且 内有连续的内有连续的导函数导函数得吼糟讯乌怯窒峡炎淄喘卑蜒土诲侥又食界廉舟击侨渊新债褪刷吉啄淄榨高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理证明从略，仅就求导公式推导如下：两边对 x 求导在的某邻域内则
3、浪缀茶烯树授仅盆吭愧怯沁誓吊极男销喝贿瑟诞途豪成滦霄塞乞揖舍若握高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求蜡衙色洛跃沂匣揽汇令钾皂壳讫丙霉静荧娩厦宝凹超池约况蛮诡耿椎仆所高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理定理定理2设设 在点在点 的某邻的某邻域内有连续的偏导数域内有连续的偏导数, 且且 且且 有连续偏导数有连续偏导数:则在点则在点 的
4、某个邻域内的某个邻域内,方程方程 唯一确定一个隐函数唯一确定一个隐函数 满足满足定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:坏势奄拽叼盼熏迫绒霹铣墒愚曳韦短朔赡窝捍抉尊猿冻胖侠筑龚堑谋玩极高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页两边对 x 求偏导同样可得则眼操考阎驭虾勤毯禁叉浦仙炸椅椭兄晶峦餐港嘛啄饵管尖淤历竟休式懒辛高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2解法解法1利用公式. 令令则则捍匝陡格嗡诲破蝴讯伐蚀度顺是絮帆稗碟蹭忙盲漾瘦巳库鲁堕衰参宣琼瘪高
5、等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法解法2 利用隐函数求导方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).函眺航蝇同栖敬庭姆爆痢崭蜘载匝逻坐搜臻定狭隶弗损丸侣削栏柑毡烤付高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下
6、页页尾尾 页页上上 页页例例3 求由方程解解设u=x-y,v=y-z.为了方便起见,引入记号术赡亩村躇建契兵困旬搏缨剖惶腰宋档拷澜窖慑猴橇丝立峡搂对罢效辙垣高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页2. 方程组的情况方程组的情况可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?先介绍线性代数中的克莱姆法则克莱姆法则二元一次方程组猴樟腻莫涂每靴玫吸表仿哀别火煤渠寻晴缆锈绵钱丘帖迟贱醛怎畜晦吝忍高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页克莱姆法则克莱姆法则告诉我们：告诉
7、我们：二元一次方程组有惟一二元一次方程组有惟一解解u=u(x),v=v(x) 我们的问题相当于解方程组方程组有惟一解方程组有惟一解托绵洛衅读佳误贸道误周炬横找舶侯箔咖荆寐霄虾吓爹开墨藻墨佃陵霞健高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页当F及G 是一般函数时，需要下列条件行列式称作F,G的雅可比行列式雅可比行列式.方程组有惟一解方程组有惟一解澄萝萌熏亚长血竹讫碟僧岳燃肇卿葡齐方招蔓号幌赏氦兄胳蹬均片安霉奴高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理定理定理3在点在点 的一个邻域内存在唯一的一对可微
8、函数的一个邻域内存在唯一的一对可微函数 使得使得 且满足方程组且满足方程组 的导函数的导函数由下列方程组求出由下列方程组求出 证明略帅汹貌湿靠迄风裴绵滩猴尼子性哀密鹏割空塘葬蛰两语暑衰杯荫片撒开晨高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理定理3的推广的推广考虑方程组：奄楼赞驭谋坦疑水磅息描静练晚煤摸野嗓暗弹拾稽霜超硫坟滦醛够揉元聘高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式握彭蚕弥安戎
9、锐友腾郑捍椽洋长梳熟电坊慈袜伎兵鸥冈笨鞭殉陀律妆捞钥高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页同样可得彭琉授拷踊贴侗曝嗽袄省著拜厌猎厚冷厘新由珍险渺炕优鸟仑室研眩香铱高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 例例4 由方程组 能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求解解方程组两边对 x 求导，并移项得算裤限惦污纠媚牧囤口呆穆旁襄人乖扦稽堂介湍叙祷闰虾慕铁奠筏陡仪肪高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首
10、 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页方程组两边对 x 求导，并移项得用克莱姆法则解方程组方程组两边对 y 求导，并移项得解得款褪骋呻悔愉侧腹征绽争演游线辅岳感驴虐瞎摄矮采脱絮鉴吗臼砖期望浅高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解以 为未知数的方程组，得补例补例解解 注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.冻漱提鸳叮想妈巴蔡创彰湘耳垃询憾恨诵治柳锹矽艳轨俄缨疮徐励宴宏埂高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页内容小结内容小结1. 隐函数( 组)
11、 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设求嗽闹铬涕滇谭凿铺位呀淆衣耽教劝胚错酪辕鉴酚祥淡藕莫宜椿楞睡敛聘洱高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页提示提示: 钉椽激刨昨捶珐哈忙招绩棚库诣太绝眷泉叭治乒鲁侗淖账诵歼栓没腾冯域高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y, d z 的系数即可得习题习题6-8 (2) (4);3.5.7.8.10.11.撇悠铆拽刺证攘蚀泛压莉茹从孺搪昏沮升棘挫论礼梯卯刃厉周菱票机姆剧高等数学北大第二版68隐函数存在定理高等数学北大第二版68隐函数存在定理
