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1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） 方差、标准差二、用样本的标准差估计总体的标准差二、用样本的标准差估计总体的标准差 数据的数据的离散程度离散程度可以用可以用极差、方差或极差、方差或标准差标准差来描述。来描述。 为了表示样本数据的为了表示样本数据的波动幅度波动幅度，通常，通常要求出要求出样本方差样本方差或者它的或者它的算术平方根算术平方根（标准差）（标准差）.（1）方差方差：设在一组数据，：设在一组数据，x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数中，各数据与它们的平均数x的差的的差的平方分别是平方分别是 来衡量这组数据的波动大小，并把它来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数
2、据的叫做这组数据的方差方差，一组数据，一组数据方差越方差越大大，则这组数据，则这组数据波动越大波动越大。 那么我们用它们的平均数，即那么我们用它们的平均数，即（2）标准差标准差：我们把数据的：我们把数据的方差的算术方差的算术平方根平方根叫做这组数据的标准差，它也是一叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。量。计算标准差的算法：计算标准差的算法： S2 算出每个样本数据与样本平均数的差算出每个样本数据与样本平均数的差 （i=1，2，n）；）；S1 算出样本数据的平均数算出样本数据的平均数x；S3 算出算出 （i=1，2，n）；）；
3、S4 算出算出 （i=1，2，n）这）这n个数的平均数，即为样本方差个数的平均数，即为样本方差s2；S5 算出方差的算术平方根，即为样本标算出方差的算术平方根，即为样本标准差准差s。例例1. 计算数据计算数据5，7，7，8，10，11的标准差的标准差.解：解：S1 x= =85+7+7+8+10+116数据数据 xiS1 xS2 xixS3 (xix)258397811781188001082411839例题分析例题分析S4 s2= =4；9+1+1+0+4+96S5 .所以这组数据的标准差是所以这组数据的标准差是2.例例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取
4、地抽取10只进行寿命测试，得数据如下只进行寿命测试，得数据如下（单位：（单位：h）:1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496使用函数型计算器或计算机的使用函数型计算器或计算机的Excel软件软件求样本的平均数求样本的平均数x和样本的标准差。和样本的标准差。例题分析例题分析解：按键解：按键MODE 2 (进入统计计算状态进入统计计算状态)将计算器存储器设置成将计算器存储器设置成初始状态初始状态SHIFTScl=1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496DTDTDTDTDTDTDTDT
5、DTDT继续按下表按键继续按下表按键按键按键显示结果显示结果1476.278.7309342SHIFTSHIFTxn=x解解3：打开：打开Excel工作表，在一列输入数据，工作表，在一列输入数据，如将如将10个数据输入个数据输入A1到到A10单元格中单元格中. （1）利用求和）利用求和计算它们的和；计算它们的和； （2）用函数）用函数AVERAGE(A1:A10)求它求它们的平均数；们的平均数； （3）用函数）用函数VARPA(A1:A10)求它们的求它们的方差；方差； （4）用开方函数）用开方函数Sqrt(方差方差)计算它们计算它们的标准差的标准差.例题分析例题分析例例3.计算数据计算数据8
6、9，93，88，91，94，90，88，87的方差和标准差。（标准差结的方差和标准差。（标准差结果精确到果精确到0.1） 解：解： . 所以这组数据的方差为所以这组数据的方差为5.5，标准差为，标准差为2.3 .例例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人成绩射从甲、乙两名学生中选拔一人成绩射击比赛，对他们的射击水平进行测试，两击比赛，对他们的射击水平进行测试，两人在相同的条件下各射击人在相同的条件下各射击10次，命中环数次，命中环数如下如下甲甲7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙乙9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平）计算甲、乙两人射击命中环数的平均
7、数和标准差；均数和标准差；（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛一人参赛. 例题分析例题分析解解：（：（1）计算得）计算得x甲甲=7，x乙乙=7； s甲甲=1.73，s乙乙=1.10.（2）由（）由（1）知，甲、乙两人平均成绩）知，甲、乙两人平均成绩相等，但相等，但s乙乙0.02， 所以，由这组数据可以认为甲种水稻所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。的产量比较稳定。 拓展拓展2 2 甲、乙两人同时生产内径为甲、乙两人同时生产内径为25.40mm25.40mm的一种的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们零件，为了对两人的生产质量进行评比
8、，从他们生产的零件中各随机抽取生产的零件中各随机抽取2020件，量得其内径尺寸件，量得其内径尺寸如下（单位：如下（单位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.44 25.40 25.42 25.35 2
9、5.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.48 25.47 25.49 25.47 25.49 25.4925.49 26.36 25.34 25.33 25.43 26.36 25.34 25.33 25.43 25.4325.43 25.32 25.32 25.47 25.31 25.32 25.47 25.31 25.32 25.3225.32 25.3225.32 25.48 25.48 从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？高？ 甲生产的
10、零件内径更接近内径标准，且稳定甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高程度较高，故甲生产的零件质量较高. . 说明：说明：1.1.生产质量可以从总体的平均数与标准差生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差标准差估计总体的平均数与标准差. . 2. 2.问题中问题中25.40mm25.40mm是内径的标准值，而不是是内径的标准值，而不是总体的平均数总体的平均数. .拓展拓展3为
11、了保护学生的视力，教室内的为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的某校使用的100只日光灯在必须换掉前的只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。使用寿命和标准差。天数天数151180181210211240241270271300301330331360361390灯泡灯泡数数1111820251672解：各组中值分别为解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得，由此算得平均数平均数约为约为1651%+19511%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9268(天天)这些组中值的这些组中值的方差方差为为 1(165268)2+11(195268)2+18(225268)2+20(255268)2+25(285268)2+16 (315268)2+7(345268)2+2(375268)2 100=2128.60(天天2).故所求的故所求的标准差标准差约约 （天）（天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为为268天天,标准差约为标准差约为46天天.
