《高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件2北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件2北师大版必修（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.72.7向量应用举例向量应用举例【题型探究题型探究】类型一型一 向量在解析几何中的向量在解析几何中的应用用【典例典例】1.1.点点P P0 0(-1,2)(-1,2)到直到直线l:2x+y-10=0:2x+y-10=0的距离的距离为_._.2.2.已已知知ABCABC的的三三顶点点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点点D,E,FD,E,F分分别为边BC,CA,ABBC,CA,AB的中点的中点. .(1)(1)求直求直线DE,EF,FDDE,EF,FD的方程的方程. .(2)(2)求求ABAB边上的高上的高线CHCH所在的直所在的直线
2、方程方程. .【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中点中点P P0 0到直到直线l的距离的的距离的实质是什么是什么? ?提示提示: :实质是过点实质是过点P P0 0作直线作直线m,m,垂足与垂足与P P0 0的距离的距离. .2.2.典例典例2 2题(1)(1)中直中直线DEDE有什么特征有什么特征? ?题(2)(2)中的中的CHCH呢呢? ?提示提示: :设点设点M M为直线为直线DEDE上任意一点上任意一点, ,则则 设点设点N N为为CHCH所在的直线所在的直线上任意一点上任意一点, ,则则 【解析解析】1.1.方法一方法一: :取直线取直线l的一个法向量为的一个法向量为n=(2,
3、1),=(2,1),在直线在直线l上任取上任取一点一点P(5,0),P(5,0),所以所以 =(-6,2),=(-6,2),所以点到直线所以点到直线l的距离的距离d d就是就是 在法在法向量向量n上的射影上的射影. .设设 与与n的夹角为的夹角为. .所以所以 故点故点P P0 0到直线到直线l的距离为的距离为 . .方法二方法二: :由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 答案答案: : 2.(1)2.(1)由已知得点由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2).D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2).设点设点M(x,yM(x,y) )是直线是直线DEDE上任一
4、点上任一点, ,则则 所以所以(-2)(-2)(x+1)-(-2)(x+1)-(-2)(y-1)=0,(y-1)=0,即即x-y+2=0x-y+2=0为直线为直线DEDE的方程的方程. .同理可求同理可求, ,直线直线EF,FDEF,FD的方程分别为的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0.x+5y+8=0,x+y=0.(2)(2)设点设点N(x,yN(x,y) )是是CHCH所在的直线上任一点所在的直线上任一点, ,则则 所以所以4(x+6)+4(y-2)=0,4(x+6)+4(y-2)=0,即即x+y+4=0x+y+4=0为所求直线为所求直线CHCH所在的直线方程所在的直线方程. .【方法
5、技巧方法技巧】1.1.直直线的法向量的法向量n2.2.利用方向向量及法向量求直利用方向向量及法向量求直线方程的关方程的关键及常用及常用结论(1)(1)关关键是探是探寻所求直所求直线的方向向量同已知直的方向向量同已知直线方向向量或法向量的方向向量或法向量的关系关系. .(2)(2)常用常用结论如下如下: :所求直所求直线与已知直与已知直线平行平行, ,则和已知直和已知直线的方向向量平行的方向向量平行, ,和已知直和已知直线的法向量垂直的法向量垂直. .所求直所求直线与已知直与已知直线垂直垂直, ,则和已知直和已知直线的方向向量垂直的方向向量垂直, ,和已知直和已知直线的法向量平行的法向量平行.
6、.【变式式训练】已知已知圆C:(x-3)C:(x-3)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4及点及点A(1,1),MA(1,1),M是是圆C C上的任一上的任一点点, ,点点N N在在线段段MAMA的延的延长线上上, ,且且 求点求点N N的的轨迹方程迹方程. .【解析解析】设设N(x,y),M(xN(x,y),M(x0 0,y,y0 0),),所以所以 =(1-x=(1-x0 0,1-y,1-y0 0), =(x-1,y-1).), =(x-1,y-1).依题设依题设 则则(1-x(1-x0 0,1-y,1-y0 0)=2(x-1,y-1).)=2(x-1,y-1).所以所以 又因为点
7、又因为点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆C C上上, ,所以所以(x(x0 0-3)-3)2 2+(y+(y0 0-3)-3)2 2=4,=4,则则x x2 2+y+y2 2=1.=1.故点故点N N的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=1.=1.类型二型二 向量在平面几何中的向量在平面几何中的应用用【典例典例】已知正方形已知正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分分别是是CD,ADCD,AD的中点的中点,BE,CF,BE,CF交于点交于点P.P.求求证:BECF.:BECF.【解解题探究探究】典例中如何用向量典例中如何用向量证明明BECF?BECF?提示提示:
8、 :可证明可证明 【证明证明】建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系, ,设设AB=2,AB=2,则则A(0,0),A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). 所以所以 =(-1) =(-1)(-2)+2(-2)+2(-1)=0,(-1)=0,所以所以 即即BECF.BECF.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法) )本例条件不本例条件不变, ,证明明:AP=AB.:AP=AB.【证明证明】连接连接AP.AP.建系同例题建系同例题, ,设点设点P P坐标为坐标为( (x,yx,y),)
9、,则则 因为因为 所以所以x=2(y-1),x=2(y-1),即即x=2y-2,x=2y-2,同理同理, ,由由 得得y=-2x+4,y=-2x+4,由由所以点所以点P P坐标为坐标为 所以所以 即即AP=AB.AP=AB.2.(2.(变换条件条件) )本例条件本例条件变为“P P为对角角线BDBD上的一点上的一点, ,四四边形形PECFPECF是矩是矩形形”, ,求求证:PAEF.:PAEF.【证明证明】方法一方法一:(:(基向量法基向量法) )如图如图, ,设设 由已知得由已知得, ,|a|=|b|a|=|b|且且a ab b=0.=0.设设 所以所以 所以所以 即即APEF.APEF.方
10、法二方法二:(:(坐标法坐标法) )如图如图, ,以以A A为坐标原点为坐标原点,AB,AB所在直线为所在直线为x x轴轴, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,设正方形的边长为设正方形的边长为1,1, 则则A(0,0),A(0,0), 所以所以 故故 所以所以 即即APEF.APEF.【方法技巧方法技巧】1.1.用向量用向量证明平面几何明平面几何问题的两种基本思路的两种基本思路(1)(1)向量的向量的线性运算法的四个步性运算法的四个步骤: :选取基底取基底;用基底表示相关向量用基底表示相关向量;利用向量的利用向量的线性运算或数量性运算或数量积找相找相应关系关系;把几何把几何问题向量化
11、向量化. .(2)(2)向量的坐向量的坐标运算法的四个步运算法的四个步骤: :建立适当的平面直角坐建立适当的平面直角坐标系系;把相关向量坐把相关向量坐标化化;用向量的坐用向量的坐标运算找相运算找相应关系关系;把几何把几何问题向量化向量化. .2.2.用向量解决平面几何用向量解决平面几何问题的常用策略的常用策略(1)(1)证明明线段相等、平行段相等、平行, ,常运用向量加法的三角形法常运用向量加法的三角形法则、平行四、平行四边形形法法则, ,有有时也用到向量减法的定也用到向量减法的定义. .(2)(2)证明明线段平行、三角形相似、判断两直段平行、三角形相似、判断两直线是否平行是否平行, ,常运用
12、向量平常运用向量平行的条件行的条件: :aba=b( (b0),),或者或者abx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.(3)(3)证明明线段的垂直段的垂直问题, ,如如证明四明四边形是矩形、正方形形是矩形、正方形, ,判断两直判断两直线是否垂直等是否垂直等, ,常运用向量垂直的条件常运用向量垂直的条件: :abab=0,=0,或者或者abx x1 1x x2 2 +y+y1 1y y2 2=0.=0.(4)(4)求与求与夹角相关的角相关的问题, ,往往利用向量的往往利用向量的夹角公式角公式coscos= = 如求三角形的面如求三角形的面积用公式用公式S=S= absin
13、CabsinC时, ,可能会利用可能会利用夹角公式求出角公式求出cosCcosC, ,进而求出而求出sinCsinC. .(5)(5)向量的坐向量的坐标法法, ,对于有些平面几何于有些平面几何问题, ,如矩形、正方形、直角三如矩形、正方形、直角三角形等角形等, ,可建立平面直角坐可建立平面直角坐标系系, ,把向量用坐把向量用坐标表示表示, ,通通过代数运算解代数运算解决几何决几何问题. .【补偿训练】如如图, ,已知已知RtOABRtOAB中中,AOB=90,OA=3,OB=2,M,AOB=90,OA=3,OB=2,M在在OBOB上上, ,且且OM=1,NOM=1,N在在OAOA上上, ,且且
14、ON=1,PON=1,P为AMAM与与BNBN的交点的交点, ,求求AP.AP.【解析解析】设设 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法) )本本题条件不条件不变, ,求求MPN.MPN.【解析解析】设设 的夹角为的夹角为, ,则则 所以所以 所以所以coscos= = 又因为又因为0,0,所以所以= ,= ,因为因为MPNMPN即为向量即为向量 的夹角的夹角, ,所以所以MPN= .MPN= .2.(2.(变换条条件件) )本本题条条件件变为“等等腰腰RtOABRtOAB中中,OA=OB=2,D,OA=OB=2,D是是BOBO的的中中点点,E,E是是ABAB上的点上的点, ,且且AE=
15、2BE”,AE=2BE”,求求证ADOE.ADOE.【证明证明】如图如图, ,以以O O为坐标原点为坐标原点, ,以以OA,OBOA,OB所在的直线为所在的直线为x x轴轴,y,y轴建立坐标系轴建立坐标系, ,则则A(2,0),A(2,0),因为因为AO=BO,AO=BO,所以所以B(0,2).B(0,2).因为因为D D为为BOBO的中点的中点, ,所以所以D(0,1).D(0,1).所以所以 =(0,2)-(2,0)=(-2,2).=(0,2)-(2,0)=(-2,2). =(0,1)-(2,0)=(-2,1). =(0,1)-(2,0)=(-2,1).所以所以 所以所以 所以所以ADOE
16、.ADOE.类型三型三 向量在物理中的向量在物理中的应用用【典典例例】1.1.如如图, ,无无弹性性的的细绳OA,OBOA,OB的的一一端端分分别固固定定在在A,BA,B处, ,同同样无无弹性性的的细绳OCOC下下端端系系着着一一称称盘, ,且且使使得得OBOC,OBOC,试分分析析三三根根绳子子受受力力的的大小大小, ,判断哪根判断哪根绳受力最大受力最大. .2.2.某人在静水中游泳某人在静水中游泳, ,速度速度为4 km/h.4 km/h.如果他径直如果他径直游向河游向河对岸岸, ,水的流速水的流速为4km/h,4km/h,他他实际沿什么方向前沿什么方向前进? ?速度大小速度大小为多少多少
17、? ?【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中考中考查的的知知识点点是什么是什么? ?提示提示: :向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则. .2.2.典典例例2 2中中某某人人在在水水中中的的速速度度与与其其在在静静水水中中的的速速度度及及水水的的流流速速有有什什么么关系关系? ?提示提示: :某人在水中的速度是其在静水中的速度及水的流速的和某人在水中的速度是其在静水中的速度及水的流速的和. .【解析解析】1.1.设设OA,OB,OCOA,OB,OC三根绳子的受力分别为三根绳子的受力分别为a, ,b, ,c, ,则则a+ +b+ +c= =0, ,a与与b的合力为的合力为c=a+
18、 +b,|,|c|=|=|c|,|,在如图的平行四边形中在如图的平行四边形中, ,因为因为 所以所以 即即| |a|b| |且且| |a|c|,|,故绳故绳OAOA受力最大受力最大. .2.2.如图如图, ,设人游泳的速度为设人游泳的速度为 , ,水流的速度为水流的速度为 , ,以以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作平行四边形平行四边形OACB,OACB,则此人的实际速度为则此人的实际速度为 根据勾股定理根据勾股定理, , 且在且在RtACORtACO中中,COA=60,COA=60, ,故此人实际沿与水速夹角为故此人实际沿与水速夹角为6060的方向前进的方向前进, ,速度大小为速度大小为8
19、km/h.8km/h.【延延伸伸探探究究】( (改改变问法法) )典典例例2 2条条件件不不变, ,他他必必须朝朝哪哪个个方方向向游游才才能能沿沿与与水水流流垂垂直直的的方方向向前前进( (求求出出其其与与河河岸岸夹角角的的余余弦弦值即即可可)?)?他他实际前前进的速度大小的速度大小为多少多少? ?【解析解析】如图如图, ,设此人的实际速度为设此人的实际速度为 , ,水流速度为水流速度为 . .因为实际速度因为实际速度= =游速游速+ +水速水速, ,故游速为故游速为 在在RtAOBRtAOB中中, , 所以所以cosBAOcosBAO= ,= ,故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为故此人的前
20、进方向与河岸夹角的余弦值为 , ,且逆着水流方向且逆着水流方向, ,实际实际前进速度的大小为前进速度的大小为4 km/h.4 km/h.【方法技巧方法技巧】利用向量解决物理利用向量解决物理问题的步的步骤【变式式训练】两两个个力力F1 1= =i+ +j, ,F2 2=4=4i-5-5j作作用用于于同同一一质点点, ,使使该质点点从从点点A(20,15)A(20,15)移移动到到点点B(7,0)(B(7,0)(其其中中i, ,j分分别是是与与x x轴,y,y轴同同方方向向的的单位位向向量量).).求求:(1):(1)F1 1, ,F2 2分分别对该质点做的功点做的功. .(2)(2)F1 1,
21、,F2 2的合力的合力F F对该质点做的功点做的功. .【解题指南解题指南】明确所求力及其位移明确所求力及其位移, ,代入公式代入公式, ,得出结论得出结论. .【解析解析】 =(7-20)=(7-20)i+(0-15)+(0-15)j=-13=-13i-15-15j. .(1)(1)F1 1做的功做的功W W1 1= =F1 1s= =F1 1 =(=(i+ +j) )(-13(-13i-15-15j)=-28J;)=-28J;F2 2做的功做的功W W2 2= =F2 2s= =F2 2 =(4=(4i-5-5j) )(-13(-13i-15-15j)=23J.)=23J.(2)(2)F=
22、 =F1 1+ +F2 2=5=5i-4-4j, ,所以所以F F做的功做的功W=W=Fs= =F =(5=(5i-4-4j) )(-13(-13i-15-15j)=-5J.)=-5J.【补偿训练】如如图, ,在在细绳O O处用用水水平平力力F2 2缓慢慢拉拉起起所所受受重重力力为G的的物物体体, ,绳子与子与铅垂方向的垂方向的夹角角为,绳子所受到的拉力子所受到的拉力为F1 1. .(1)(1)求求| |F1 1|,|,|F2 2| |随角随角的的变化而化而变化的情况化的情况. .(2)(2)当当| |F1 1|2|2|G| |时, ,求角求角的取的取值范范围. .【解析解析】(1)(1)如图
23、如图, ,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, ,得得| |F1 1|= ,|= ,|F2 2|=|=|G|tan|tan. .当当从从0 0趋向于趋向于9090时时,|,|F1 1|,|,|F2 2| |都逐渐变大都逐渐变大. .(2)(2)由由(1),(1),得得| |F1 1|= ,|= ,由由| |F1 1|2|2|G|,|,得得coscos . .又因为又因为0 09090, ,所以所以0 06060. .易易错案例案例 用用错向量的性向量的性质及运算法及运算法则致致误【典例典例】在在ABCABC中中, ,设 若若ab= =bc= =ca, ,判
24、断判断三角形三角形ABCABC的形状的形状. .【失失误案例案例】【错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里吗? ?提提示示: :以以上上三三种种解解法法都都犯犯了了推推理理不不严严谨谨的的错错误误. .解解法法一一中中, ,只只有有在在a, ,b同同向向 共共 线线 时时 , ,才才 有有 ab=|=|a|b| |成成 立立 ; ;解解 法法 二二 错错 在在 “( (a- -c) )b= =0 0, ,而而 b0, ,故故 a- -c= =0, ,得得到到a= =c”, ,这这里里由由( (a- -c) )b= =0 0只只能能得得出出( (a-
25、-c) )b, ,而而不不能能得得到到a= =c; ;解解法法三三错错在在由由ab= =bc, ,而而b0, ,得得a= =c, ,向向量量具具有有方方向向, ,不不能能像像数数量量那那样样, ,在在进进行行计计算时可以约分算时可以约分. .【自自我我矫矫正正】因因为为ab= =bc, ,所所以以( (a- -c) )b=0,=0,而而由由向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则可可 知知 , ,a+ +b+ +c= =0, ,所所 以以 b=-=-a- -c, ,所所 以以 ( (a- -c) )(-(-a- -c)=0,)=0,即即 ( (a- -c) )( (a+ +c)=0,)=0,得
26、得 到到 a2 2- -c2 2=0,=0,a2 2= =c2 2, ,即即 | |a| |2 2=|=|c| |2 2, ,也也 就就 是是 | |a|=|=|c|.|.同同 理理 可可 得得 | |a|=|=|b|,|,所所 以以| |a|=|=|b|=|=|c|.|.故故ABCABC是等边三角形是等边三角形. .【防范措施】【防范措施】1.1.正确正确应用向量的定用向量的定义、性、性质、运算法、运算法则向向量量是是一一个个具具有有方方向向的的量量, ,因因此此, ,在在进行行向向量量计算算时, ,不不能能简单地地照照搬搬代代数数的的运运算算方方法法, ,而而应该严格格按按照照向向量量的的定定义、性性质、运运算算法法则进行行运算运算. .如本例如本例错解三解三, ,向量的数量向量的数量积不能不能约分分. .2.2.养成解养成解题思思维严谨的的习惯解解题时, ,要要注注意意步步骤的的严谨性性, ,每每一一步步要要讲求求有有理理有有据据, ,如如本本例例错解解二二, ,由由( (a- -c)b=0=0只能得出只能得出( (a- -c)b. .
