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1、第二节第二节 中心极限定理中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1基础教学一、中心极限定理的意义一、中心极限定理的意义 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形成的因素的综合（或和）影响所形成的. 例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机变量和）每个随机因素对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的所起的作用都是很小的. 那
2、么弹着点服从怎样分布？那么弹着点服从怎样分布？2基础教学一、中心极限定理的意义一、中心极限定理的意义 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.高斯高斯3基础教学一、中心极限定理的意义一、中心极限
3、定理的意义 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题的规律性问题. 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？4基础教学一、中心极限定理的意义一、中心极限定理的意义5基础教学一、中心极限定理的意义一、中心极限定理的意义 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理分布这一类定理都叫做中心极限定理.6基础教学二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理1. 李雅普诺夫李雅
4、普诺夫(Lyapunov)定理定理7基础教学注意：注意：二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理8基础教学二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理 对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其约束条件改为约束条件改为独立同分布独立同分布，即，即林德贝尔格林德贝尔格勒维勒维 中心极限定理中心极限定理9基础教学三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理2. 2. 林德贝尔格勒维（林德贝尔格勒维（Lindeberg-LevyLindeberg-Levy）定理）定理10基础教学三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理11基础教学三、勒维中心极限
5、定理三、勒维中心极限定理12基础教学例例1 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量，其期望为目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为，方差为1.69.求在求在100次轰炸中有次轰炸中有180颗至颗至220颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.解：解：设设Xi - -第第i次轰炸命中目标的炸弹数，次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, ,100三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理则则100次轰炸命中目标的炸弹总数为次轰炸命中目标的炸弹总数为依题意，依题意，13基础教学例例1 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行
6、100次轰炸，每次轰炸命中次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量，其期望为目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为，方差为1.69.求在求在100次轰炸中有次轰炸中有180颗至颗至220颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.由中心极限定理由中心极限定理, 三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理于是，于是，14基础教学三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理例例2 计计算算机机在在进进行行数数学学计计算算时时，遵遵从从四四舍舍五五入入原原则则. 为为简简单单计计，现现从从小小数数点点后后第第一一位位进进行行舍舍入入运运算算，设设误误差差 . 若若一一项项计计算算中中进进行行了了1
7、00次次数数字字运运算，求平均误差落入算，求平均误差落入 上的概率上的概率.解：解：设设Xi - -第第i次运算中产生的误差，次运算中产生的误差，i=1,2, ,100则诸则诸Xi 独立，服从独立，服从 ，100次运算的平均误差为次运算的平均误差为15基础教学于是，于是，依题意，依题意，由中心极限定理由中心极限定理, 三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理16基础教学 对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将其约束条件改为其约束条件改为独立同独立同0-1分布分布，即，即三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理拉普拉斯拉普拉斯 中心极限定理中心极限定理1
8、7基础教学四、拉普拉斯中心极限定理四、拉普拉斯中心极限定理3. 3. 棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace）定理）定理18基础教学定理表明定理表明: : 二项分布的极限分布是正态分布二项分布的极限分布是正态分布 四、拉普拉斯中心极限定理四、拉普拉斯中心极限定理 在在n重贝努利试验中，描述重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机事件发生次数的随机变量服从二项分布变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极当试验次数较多时，根据中心极限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即19基础教学四
9、、拉普拉斯中心极限定理四、拉普拉斯中心极限定理例例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的工作时间的80%. 求任一时刻有求任一时刻有70至至86台车床工作的台车床工作的概率概率. .解：解：则则依题意，依题意，20基础教学四、拉普拉斯中心极限定理四、拉普拉斯中心极限定理例例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的工作时间的80%. 求任一时刻有求任一时刻有70至至86台车床工作的台车床工作的概率概率. .由中心极限定理由中心极限定理, 于是，于是，21基础教学五、课程小结五、课程小
10、结1. 标准化因子标准化因子22基础教学五、课程小结五、课程小结 中心极限定理其实是描述的随机变量序列和，中心极限定理其实是描述的随机变量序列和，经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布.2. 中心极限定理的内容中心极限定理的内容23基础教学五、课程小结五、课程小结24基础教学六、课堂练习六、课堂练习 根根据据以以往往经经验验，某某种种电电器器元元件件的的寿寿命命服服从从均均值值为为100小小时时的的指指数数分分布布. 现现随随机机地地取取16只只，设设它它们们的的寿寿命命是是相相互互独独立立的的. 求求这这16只只元元件件的的寿寿命命的的总总和和大大于于1920小时的概率小时的概率.25基础教学由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为且且E(Xi)=100, D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920).设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16解：解：E(Y)=1600, D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8) 1-=1-0.7881=0.2119六、课堂练习六、课堂练习26基础教学
