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1、第九章小波理论及小波滤波去噪方法 0 引言引言 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析 9.2 小波变换小波变换悸救典荆肋舟舷范芳辗环吴沤掘翔钳吗灼忿祖詹奴疤仑箩握觅阀揉羽拘罐九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 目前，信号处理已经变成 了当代科学技术发展的重要部分。对新红进行分析或分解是了解和掌握信号特征和性质的基本方法。在信号分析中，变换就是寻求对于信号的另一种表示，使得比较复杂的、特征不够明确的信号在变换后的形式下变得简洁和特征明确。 信号有两类：一类是稳定变化的信号；另一类是具有突变
2、性质的、非稳定变化的型号。对于稳定变化的信号，知识研究线性不变算子，工程商最常使用的一种变换傅里叶变换0 前言前言稠耳蔫庇话华梯拴验廓驻蜀树醒席朗蒸贝恍斥煞豪缉菌诅渍串胜督回找委九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法傅里叶变换傅里叶变换 1807年，傅里叶提出任何函数都能用一组正余弦函数的和来表示，其最直接的影响就是再数学分析领域中的应用。 傅里叶变换是将信号分解呈不同频率的数学方法。它可以将时域中某一信号变换至频域中，并予以定量认识和分析，还能描述信号的整体频谱特征。因此傅里叶变换是众多科学领域（特别是信
3、号处理、图形处理、量子物理等）里重要的应用工具之一。婉额韧侠算络峡浦乞凝额诫羹饼赶潍毛撬找揭综云琐猴武哀伴昨拿融漓床九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法傅里叶变换傅里叶逆变换 f(t)表示时间信号或函数，其中t表示时间域自变量，对应的F（w）表示相应环视或信号的傅里叶变换，w表示频域自变量至贿酮嗓宁滋赠淳偷剐箩淬催照真床配晾少崔昌脾闲自夯掖琴毯怪脓定搓九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 傅里叶变换属于谐波分析； 正
4、弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程 的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变 的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激 励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取 卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的 乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其 算法称为快速傅里叶变换算法。傅里叶变换特点傅里叶变换特点屿沾拈谁醋廖旦在事驾阴腮庄肠菠谬诣待齐澄擎楚抖弹声宽咸轧贰咐僳敞九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小
5、波滤波去噪方法 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析9.1.1短时傅里叶变换 傅里叶变换能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征。（因为傅里叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变部分）。然而对于变频信号如音乐、地震信号、雷达回波等，此时所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震信号，人们所关心的是在什么位置出现什么样的反射波。假设用傅里叶变换非平稳信号，则不能提供完全的信息，即通过傅里叶变换可以知道信号所含有的频率信息，但是无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。 这样 在信号分析中面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部
6、化矛盾。程让佐搀活爆汹祥冰阔舌盖熏显晴悬盛糟汝枫友披漓分故肩更寥捍鸟敌灰九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息实际采集的地震信号哀玛抬蹈毋宫捣驻远籍力吾窍虑壕泼埂章饺爷沪淄徒弧肝征樊雏缄反孺兹九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.1.1短时傅里叶变换 为了克服傅里叶分析的局限性，使其对非平稳信号也能作
7、较好的分析，通过对信号在时域上加一个窗函数，使其对信号进行乘积运算以实现在套附近的开窗和平移，再对加窗的信号进行傅里叶分析，这就是短时傅里叶变换（short-time Fourier transform，简称STFT），或者加窗傅里叶变换。采用高斯函数作为窗口函数，其相应的傅里叶变换仍旧是高斯函数，从而使短时傅里叶变换在时域和频域内均有局域化功能9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析凋原架绦警夷补蘸甘烽枯法渣痹高旁灿掘喇特紊皮讳鹰痒装频蚕祟缚前会九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9
8、.1.1短时傅里叶变换 STFT的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数， f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用， g(t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析冉家莹咬拓谤钞铣楚碳事嘴买纷阅摆刁俐烂佃谗聋脯烙保棺漫肮继菠踊堵九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九
9、章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数， f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用， g(t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。随着时间的变化， g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。 大致反映了f(t)在时刻“”时，频率为“w”的“信号成分”的相对含量。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析瞧洗碗箱寅硅预闪螺鹏瞪动爷所极议惟款酱蟹挂托喂胶雁歉凸
10、腐馆阶达梨九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在- ， + 、 w- ， w+这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时域分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望，都非常小，以便有更好的时频分辨效果，但海森堡测不准原理指出，是互相制约的，两者不可能同时都任意小。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析惩钻身案丫少宿抠腥促炮毙臃青叶登叠阑貉龋死廊融仑烘吴天吠廖涨沽口九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论
11、及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 由此可见，STFT虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有时域局部分析能力的缺陷，但他也存在着自身不可克服的缺陷其时间频率窗口是固定不变的，一旦窗口函数选定其时频分辨率也就确定了。而时间和频率的最高分辨率受制约，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。 可以说STFT实质上是具有单一分辨率的信号分析方法，若要改变分辨率，则必须重新选择窗口函数g(t)。因此STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率，即要小，而波形变化比较平缓的时刻，主频是
12、低频，则要求有较高的频率分辨率，要小，而STFT不能兼顾二者。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析贩免公郊烯源岗雍晓镰率丝喧殃谴侠蛛姑佃经牢咱誉猴青啥苑舵飘踊涸特九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 对实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性；对于高频谱的信息时间间隔要相对的小以给出很高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽以给出完全的信息。重要的是要有一个灵活可变的时间频率窗。而小波便是为此而设计的。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析蛔骨疽担
13、杉忘纽另恕孵普冷尚玄咬荫尉郊婉娄炮擒谋感拴枪卷版队务坍吨九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 小波分析，是当前数学中一个迅速发展新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重含义。他是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为“数学显微镜” 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析荔傅童诧怒禁蛛柑唤婚沦铭钾档弛角粒杠铸显拌潭楼蚊浇
14、迫雅稠亢原梆硒九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 与傅里叶变换、STFT相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题，他是调和分析发展史上里程碑式的进展。（1）继承和发展了STFT的局部化思想。（2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析嚣涅侵镁溺毋雍霉需娱摈匹张衡草疟半烈念翔懈元赡斋限几贮域客俺茧贵九章小波理论及小
15、波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法正交基的解释正交基的解释 若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。小为特征基，构成此物体特征描述空间。 大小和颜色是互不相干的大小和颜色是互不相干的2 2种描述，我们称其为种描述，我们称其为正交。正交。 同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称其同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称其为完备特征基。为完备特征基。 因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简洁因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简洁的描述表
16、示物体。的描述表示物体。 9.1 9.1 从傅里叶变换到小波分析从傅里叶变换到小波分析缸泰漾威撰蛛疤勒庐郧胶袱灾单凶立埃缨孙猴跃吼皑吟菜捅语批具泛嗅镀九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法 9.29.2. .小波变换小波变换9.2.1小波变换定义及特点 小波（小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为长度有限、平均值为0的波形。的波形。 特点：（特点：（1）“小小”，即在时域都具有紧支集或，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集近似紧支集 （2）正负交替的）正负交替的“波动性波动性”，也即直流，也即直流 分量为零分量为零
17、第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法竖淆橇盂咬芒懊邦痰茁押挡螟恕省狈刁锭简姐片柬接帧柿谱遂破匈霓审烛九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法9.2.1小波变换定义及特点第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 9.29.2. .小波变换小波变换狈椰氟硼踊袖志漾邹揪潦屏奸广踞测妒为暑秀袖糖纂列卧他妮镭艘星填贸九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法u傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。穷，但小波倾向
18、于不规则与不对称。uFT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析是将将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小波函数都是由一信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。u用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。比光滑的正弦函数来逼近要好。9.2.1小波
19、变换定义及特点第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 9.29.2. .小波变换小波变换斧叛沛化肄缅童酵芥枕蔼芬北喇扒剥寡肤圾症阂瞅垛矣房雏舆帆眨妹疆低九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法20连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示： 表表示示小小波波变变换换是是信信号号f f( (x x) )与与被被缩缩放放和和平平移移的的小小波波函函数数()()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWTCWT的的变变换换结结果果是是许许多多小小波波系系数数C C，
20、这这些些系系数数是是缩缩放放因因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函数。）的函数。9.2.2连续小波变换第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 9.29.2. .小波变换小波变换饰枚炙非削盼敖纠简轴激粗涧趾临爽口高杠清掂氟粹驰石碧肥第诀吁明直九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法（1 1）连续小波函数定义：）连续小波函数定义： 设设 ，则下面的函数族，则下面的函数族 叫小波分析或连续小波，叫小波分析或连续小波， 叫基本小波或小波。叫基本小波或小波。若若 是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我是窗函
21、数，就叫为窗口小波函数，一般我们恒假定们恒假定 为窗口小波函数。为窗口小波函数。 第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换谷称斥碘欢呸野淋掷然贫争纶换歪苟獭蹄氢批绷耳酉痛霉园坚娶茂瘴鲤众九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法22 (2) (2) 缩放缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换翱振伶被限旱昌秉要型桅寓裤顾违票空兆启捂杠据疗窒贷冉蔽样盔络呢
22、喷九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法23第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法(3) (3) 平移平移。小波的延迟或超前。在数学上小波的延迟或超前。在数学上, ,函数函数f f( (t t) )延迟延迟k k的表达的表达式为式为f f( (t-kt-k) )，(a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k) 9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换川严蓖傈涧含撕渠湾诫粮吊獭粉馈港篡怕铺萝泡贮镐含酵瓣瑰拣狰希浑评九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法24（4 4）小波变换的步骤）小波变换的步
23、骤: : 第一步：第一步： 取一个小波与信号的最前面部分比较取一个小波与信号的最前面部分比较; 第二步：第二步： 计算相关因子计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性代表小波和这段数据的相关性 即即:C越大越大,两者越相似两者越相似;第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换衍哀投阑恒宏话她违基笆颗尖儡松芥驰簇滩揩蹭挠乱崎红环内角很危须蕊九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法25 第三步：移动小波第三步：移动小波, ,重复步骤一和二重复步骤一和二, ,一直遍历整个数据一直遍历整个数据;
24、; 第四步：对小波进行缩放第四步：对小波进行缩放, ,重复步骤一到三重复步骤一到三; ;第五步：在所有小波尺度下第五步：在所有小波尺度下, ,重复上述步骤重复上述步骤. .第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换垦诉暴恢拾踊燥躁递矿旦刮汇建撩脊脆耳阳桶匿橇苔萌厅影厘嘶淮坷未祷九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法26（5）小波尺度和信号频率的关系小尺度 信号的高频大尺度 信号的低频第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小
25、波变换小波变换役斗他指源旧聂味个舅铆移罪售钠烤墙锚痈丸败撼靖纹怜瘩燕绣舞红豢托九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法 1 1）双域性：小波分析是时频分析，可在时域和频域两个域内）双域性：小波分析是时频分析，可在时域和频域两个域内揭示信号的特征，但与揭示信号的特征，但与STFTSTFT相比，又具有优越的时频窗。在海相比，又具有优越的时频窗。在海森堡测不准原理的约束下，频率较高时，它具有较宽的频率窗；森堡测不准原理的约束下，频率较高时，它具有较宽的频率窗；而在频率较低时，它就有较宽的时间窗。而在频率较低时，它就有较宽的时间窗。 2 2）灵活性：小波基函数不是唯一的，只要满足小
26、波的允许条）灵活性：小波基函数不是唯一的，只要满足小波的允许条件即可，因而就可以有许多构造小波的方法。不同小波有不同件即可，因而就可以有许多构造小波的方法。不同小波有不同的特性。可分别用来逼近不同性质的信号，以便得到最佳结果。的特性。可分别用来逼近不同性质的信号，以便得到最佳结果。而傅里叶函数只用正弦函数去逼近任意信号，没有选择余地。而傅里叶函数只用正弦函数去逼近任意信号，没有选择余地。（6 6）连续小波函数变换的特点）连续小波函数变换的特点第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法9.2.2连续小波变换 9.29.2. .小波变换小波变换啸掖肋近顿榴愚卞春仿挥迈蔫江佐
27、骡予靠乐祖挟朔国勋鸵刷蹬负弃梯匠状九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法3）快速性：由于有了多分辨率分析这一工具，大大提高了）快速性：由于有了多分辨率分析这一工具，大大提高了小波分析的效率小波分析的效率4）尺度转换性：若）尺度转换性：若f(t)的的CWT是是 ，则，则f(t/)的的CWT为为 表明信号函数表明信号函数f(t)作某一伸缩时，其作某一伸缩时，其CWT将在将在a,b两轴上两轴上 作同一比例的伸缩，且不发生失真变形。作同一比例的伸缩，且不发生失真变形。9.2.2连续小波变换第九章第九章 小波理论及小波滤波去噪方法小波理论及小波滤波去噪方法 9.29.2. .小波变换小波变换垫脂恒接磺暖讯试缘客故葡奴退伊鳞锻葱揍眩矾湾姚亮化同闲邹锻钳拄束九章小波理论及小波滤波去噪方法九章小波理论及小波滤波去噪方法
