《2022年第三讲一元二次方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第三讲一元二次方程（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载第三讲一元二次方程一、一元二次方程知识梳理1. 方程中只含有_?未知数， ?并且未知数的最高次数是_，?这样的 _的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式为：_ _（） 其中二次项系数是_，一次项系数是 _，常数项是 _. 3. 一元二次方程的解是指， 也叫做一元二次方程的 . 考点呈现考点 1：一元二次方程的概念例 1（2011 甘肃兰州） 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210xxB.20axbxcC.(1)(2)1xxD.223250xxyy解析 ：本题考查了一元二次方程的概念：一个整式方程经化简后含一个未知数且未知数的最高次数为2 就是
2、一元二次方程.A 项分母中含有未和知数；B项中未强调a0； D项中含有两个未知数；把C项展开整理为x2-x-3=0 ，符合一元二次方程的概念，故选C. 评注 ：一元二次方程须同时满足三个条件：（1）只含有一个末知数， （2）末知数的最高次数是 2， （3）整式方程，这三个条件缺一不可. 考点 2：一元二次方程的各项系数例 2（2012 柳州市） 一元二次方程3x2+2x5=0 的一次项系数是解析 ：本题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0） ，其中a，b，c分别叫二次项系数， 一次项系数， 常数项根据定义即可求解. 一元二次方程3x2+2x5=0 的一次项系
3、数是：2，故填 2评注 ：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）中，每项的名称是解决该题的关键. 考点 3：一元二次方程的根例 3（2012 安顺） 已知 1 是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0 的一个根，则m的值是（）A.1 B.1 C.0 D.无法确定解析 ：本题考查了一元二次方程根的意义，只要将方程中的未知数换成相应的根，就可以使问题得到解决.据题意得：（m 1）+1+1=0，解得： m= 1，故选 B评注 ：在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题. 误区点
4、拨一元二次方程的概念不清致错例 1 方程（m+2）x| m |+3mx+1=0 是关于x的一元二次方程，则（）Am=2Bm=2 C m=-2 Dm2错解 ：由一元二次方程的定义，得|m|=2 ，所以m=2故选A剖析 ：一元二次方程须同时满足三个条件：一是只含有一个末知数，二是末知数的最高次数是 2，三是整式方程，这三个条件缺一不可. 错解忽视了二次项系数m+20 这一隐含条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载正解 ：因为方程（m+2）x|m|+3mx+1=0 是关于x的一元二次方程，所以220.
5、mm，解得m=2故选 B跟踪训练1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（）A.02112xx B.12132xxC.02cbxax D.122xxx2. 关于x的一元二次方程2(1)| 10axxa，则实数a的值为（）A 1 B0 C1 D 1 或 1 3. 已知关于x的方程x2bxa0 有一个根是a (a0)，则ab的值为（）A 1 B 0 C 1 D2 4. 方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_， 一次项系数为 _， 常数项为 _5. 一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是 . 6. 已知x = 1 是一元二次方程02nmxx的
6、一个根，则222nmnm的值为7. 当m为何值时， 关于x的方程22(9)(3)20mxmxm（1）是一元一次方程？ （2）是一元二次方程？8. 教材或资料会出现这样的题目：把方程2122xx化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项. 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答. （1）下列式子中，有哪几个是方程2122xx所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） . 21202xx21202xx224xx2240xx232 34 30xx（2）方程2122xx化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？精选学习资料 -
7、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载二、一元二次方程的解法知识梳理1. 解一元二次方程的一般解法有（1）_ _； （ 2）_ _ ； （ ?3）?_ _. 2. 配方法的一般步骤是： （ 1）变形 : ； （2）移项 : ； （3）配方: ； （ 4）开方 : ； （5）定解 : . 3. 公式法的一般步骤是：（ 1）化成一元二次方程的； （2）找出；（3）计算； （4）代入公式写出解. 4. 一元二次方程的求根公式是_5. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式是_，当 _时，它有两个不相等的实数根
8、；当_时，它有两个相等的实数根；当_ _时， ?它没有实数根6. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: （1）移：； （ 2）分：； （3）化：方程化为两个一元一次方程；（4）解： . 7. 一元二次方程的根与系数的关系：若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则 x1+x2=_；x1x2=_ _. 考点呈现考点 1：配方法例 1（2012 临沂） 用配方法解一元二次方程245xx时，此方程可变形为（） A.221x B.221x C.229x D.229x解析 ：本题考查了配方法，只要根据它的一般步骤，就可以得到正确答案. 在常数项在方程右边、二次项系数为1的情况下，两边加上一次项系
9、数一半的平方就可以了. x24x=5，x24x+4=5+4，（ x2）2=9故选 D评注 ：配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案. 考点 2：公式法例 2 方程 2x25x30 的解是 . 解析 ：本题可以用公式法，主要是根据公式法的一般步骤. 2,5,3abc，=b2-4ac=25-4 2（ -3）=49， x1=aacbb242=214495，x2=aacbb242=4495=-3. 故填x112，x2 3. 评注 ：在使用求根公式时，首先计算b24ac的值，然后代入求根公式即可求出方程的两个根考点 3：因
10、式分解法例 3（2012 南充） 方程 x（x-2 ）+x-2=0 的解是（）A.2 B.-2 ，1 C.1 D.2， 1 解析 ：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先利用提公因式因式分解，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载再化为两个一元一次方程，解方程即可 x（x 2）+ （ x-2 ）=0，（x-2 ） （x+1）=0，x -2=0，或 x+1=0，x1=2，x2=-1 故选 D评注 ：利用因式分解时要注意不要漏解，直接把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来进行解决即可. 考点
11、 4：根的判别式的应用例 4(2012 南昌） 已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则a的值是（）A 1 B 1 CD解析 ：本题考查的是根的判别式，根据关于x的一元二次方程x2+2xa=0 有两个相等的实数根可知 =0， 求出a的取值即可 . 关于x的一元二次方程x2+2xa=0 有两个相等的实数根， =22+4a=0，解得a= 1故选 B评注 ：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系： （1）当 0时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当 =0 时，方程有两个相等的两个实数根；（ 3）当 0 时，方程无实数根；反之也成立. 考点 5
12、：根与系数的关系例 5（2012 株洲）已知关于x 的一元二次方程x2bx+c=0 的两根分别为x1=1，x2= 2，则 b 与 c 的值分别为（）A.b=1，c=2 B.b=1，c=2 C.b=1，c=2 D.b=1，c=2 解析 ：本题考查了根与系数的关系. 由方程的两根分别为x1=1，x2=2，利用根与系数的关系，即可求得b 与 c 的值关于x 的一元二次方程x2 bx+c=0 的两根分别为x1=1，x2=2， x1+x2=b=1+（ 2）=1，x1?x2=c=1（ 2）=2， b=1，c=2故选 D评注 ：此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1， x2是方程 x2+px+q=0
13、的两根时，则 x1+x2=p，x1x2=q. 本题也可以利用根的定义，把x1，x2分别代入方程，得到b、 c 的方程组进行求解 . 误区点拨1. 配方时只在方程一边加一次项系数一半的平方致错例 1 用配方法解方程x2-2x-8=0 错解 ： 移项，得 x2-2x=8 ， 配方得 x2-2x+1=8 即(x-1)2=8， 两边开平方， 得221x，即122x1221x，1222x剖析 ： 配方法通常将一元二次方程ax2+bx+c=0， 化为02acxabx后， 再进行配方 要注意是方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后化成nmx2)(的形式，求出解即可 . 正解 ：移项，得x2-2x=8
14、，x2-2x+1=8+1 即(x-1)2=9, 两边开平方，得x-1= 3 x1=4，x2=-22. 用公式法时没有化成一般形式致错例 2 用公式法解方程4722xx错解：274abc，224742417bac剖析： 本例错在没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c的错误精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载正解 ：移项得：04722xx因为 a=2,b=7,c=-4 所以 b2-4ac=49-4 2(-4)=81 78179224x12142xx，3. 方程约分致错例 3 解方程（ 2x-3 ）
15、2=3（ 2x-3 ）错解： 方程两边都除以2x-3 ，得 2x-3=3 ，解得 x=3. 剖析 ：产生错误的原因是变形不属于同解变形，方程两边都除以)32( x时，没有考虑)32( x也可以为0，从而丢掉了23x这个根正解 ：移项得： （2x-3 ）2-3（ 2x-3 ）=0，因式分解得：（2x-3 ） （2x-3-3 ）=0，所以 2x-3=0或 2x-6=0 ，12332xx，4. 忽视概念致错例 4 关于 x 的方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，求k 的取值范围错解 ：12211akbkc，224( 21)4(1 2 ) ( 1)480backkk原方程有两个不相等的
16、实数根，,084k2k ，2k 又原方程中，021k，10k，112kk且1122kk且跟踪训练1. 用配方法解方程2x 2 + 3 = 7x时，方程可变形为（）A （x 72）2 = 374 B.（x 72）2 = 434C.（x 74）2 = 116 D.（x 74）2 = 25162. 方程0232xx的解是（）A11x，22x B11x，22xC11x，22x D11x，22x3. 解一元二次方程时，甲抄错了常数项，得根为一2 和一 3，乙抄错了一次项系数，得根为6 和一 1，则原方程为（）A.0652xx B.0652xxC.0652xx D.0562xx精选学习资料 - - - -
17、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载4. （ 2012 常德市）若一元二次方程022mxx有实数解，则m的取值范围是（）A.1-m B.1m C.4m D.21m5. 方程（x 1） （x + 2 ）= 2 （x + 2 ）的根是6. 用适当的方法解下列方程7. 已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当 m=3时，判断方程的根的情况；（2）当 m= 3 时，求方程的根8. 阅读材料：如果12,x x是一元二次方程20(0)axbxca的两根，那么1212,bcxxxxaa，这就是著名的韦达定理. 现在我们利用韦达
18、定理解决问题：已知 m与 n 是方程22630xx的两根（1）填空： m+n= ， m n= . （2）计算11mn的值三、一元二次方程的实际应用知识梳理1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤是：（ 1）审题； （2）设元； （3）找； （ 4）列方程；（5）解方程；（6）答 . 2. 列一元二次方程解应用题的常见题型：（1）增长率问题（2）行程问题（3）工程问题（4）图形问题（5）销售问题（6）球赛问题考点呈现考点 1：增长率问题例 1（2012 娄底市） 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为256 元，设平均每次降价的百分率为x，
19、则下面所列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载方程正确的是（）A.289（ 1x）2=256 B.256（1x）2=289 C.289（ 12x）=256 D.256（12x）=289 解析 ：本题考查求平均变化率的方法. 设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x） 2=b设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289 （1x） ，则第二次降价为289 （1 x）2， 由题意得： 289 （ 1x）2=256故选 A评注 ：对于连续两次增长或降低
20、的问题，可以直接套用式子. 若初始数值为a，连续两次增长或降低后的数值为b，平均增产率或降低率相同，可建立方程：a(x1)2=b 考点 2：图形问题例 2（ 2012 青岛） 如图，在一块长为22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为 . 解析 ：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程设道路的宽应为 x 米，由题意有（22x） （ 17x） =3
21、00，故应填（ 22x） （17x）=300评注 ：解决该类问题， 主要把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，即采取“靠边站”的方法是做本题的关键，同时修多条路时也用此方法. 考点 3：球赛问题例 3（ 2012 南宁） 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，计划安排10 场比赛，则参加比赛的球队应有（）A.7 队 B.6队 C.5队 D.4队解析 ：本题与实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键. 设邀请x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（x2）场，
22、以此类推可以知道共打（ 1+2+3+ +x 1）场球，然后根据计划安排15 场比赛即可列出方程求解 .设邀请x 个球队参加比赛，依题意得1+2+3+ +x 1=10，即2) 1(xx=10， x2x20=0， x=5 或 x=4 （不合题意， 舍去） 故选 C评注 ：单循环赛、 握手等许多问题都可以看作是在一条直线上找n 个点共有的线段条数问题 . 此外还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解考点 4：销售问题例 4（ 2011 浙江义乌） 商场某种商品平均每天可销售30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现， 每件商品每降价1 元，商场
23、平均每天可多售出 2 件设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100 元？解析 ： （1）列表分析如下：盈利单价 ( 元 ) 日销售量50 30 501 30 2 502 30 22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载50x 30 2x 以便从中找到需要的关系式；故填 2x 50x . （2）题中的等量关系: 盈利单价日销售量日盈利总价. 由题意得：（
24、50x） （302x）2100，化简得：x235x+3000 解得：x115，x220 该商场为了尽快减少库存，则x 15 不合题意，舍去. x20 答：每件商品降价20 元，商场日盈利可达2100 元. 评注 ：解决该类问题关键要掌握销售中的几个基本关系式，利润=每件的利润总件数；总价 =单价销量等，同时要知道每降低（或升高）1 元，多（或少）卖的件数. 误区点拨例 1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每天盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出2 件若商场平均每天要盈利12
25、00 元，每件衬衫应降价多少元？错解 ：设每件衬衫应降价x 元，由题意得：(40-x)(20+x)=1200，即 x2-30x+200=0 解得 x1=10，x2=20 答：每件衬衫应降价10 元或 20 元剖析 ：由题意列出方程求出根后，一定要检验所求的根是否符合实际问题的要求错解中没有考虑题目中“尽量减少库存”的要求而造成错误正解 ：设每件衬衫应降价x 元，由题意得：(40-x)(20+x)=1200，即 x2-30x+200=0 解得x1=10，x2=20. 要尽快减少库存，x=20 答：每件衬衫应降价20 元例 2 将一条长为20cm的铁丝围成一个矩形，要使矩形的面积为24cm，请你求
26、出这个矩形的长与宽分别是多少？错解 ： 设矩形的长为xcm， 则宽为（20-x ） cm， 由题意得 x(20-x)=24， 整理得 x2-20x+24=0 解得x1=10+219,x2=10-219 ( 舍去 ) ，故所求矩形的长与宽分别是（10+219）cm 和（10-219） cm. 剖析 ：本例主要忽视了矩形是由四条边组成的，长与宽的和应该是周长的一半. 正解 ： 设矩形的长为xcm， 则宽为（10-x ） cm， 由题意得 x(10-x)=24， 整理得 x2-10x+24=0 解得 x1=6,x2=4(舍去 ) ，故所求矩形的长与宽分别是6cm和 4cm. 跟踪训练1. 有一人患了
27、流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感， 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.8 人B.9 人 C.10 人 D.11人2. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070 张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（）A.(1)2070x xB.(1)2070x x C.2 (1)2070x xD.(1)20702x x3. 某工厂今年元月份的产量是50 万元， 3 月份的产值达到了72 万元。若求2、3 月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（）A.72(x+1) 2=50 B.50(x+1
28、)2=72 C.50（x-1 ）2=72 D.72（x-1 ）2=50 4. 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m 若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载围墙DCBA5. 我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动。部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6 场，则共有 _人进入半决赛 . 6. 某超市经销一种成本为40 元/kg
29、的水产品，市场调查发现，按50 元 /kg 销售，一个月能售出 500kg，销售单位每涨1 元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？7. （ 2012 湘潭市）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD （围墙 MN最长可利用25m ） ，现在已备足可以砌50m长的墙的材料， 试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m28. 学校为了美化校园环境，在一块长40 米，宽 20 米的长方形空地上计划新建一块长9 米、宽 7 米的长方形花圃。（1
30、）请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建长方形花圃的面积多 1 平方米，给出你认为合适的三种不同的方案在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积能否增加2 平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽，如果不能，清说明理由？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载跟踪训练参考答案：一、一元二次方程1.B 2.A 3.A 4.3，-2 ，-4 5.x2-3x+3=0 6.1 7. （ 1）3m； （2）3m. 8. （ 1）答：； （2）若说它的二次系数为a（a0） ，
31、则一次项系数为-2a 、常数项为-2a.二、一元二次方程的解法1.D 2.A 3.B 4.B 5.x1=-2 ，x2=3 6. （1）223,22321xx（2）2173,217321xx（ 3）5, 321xx7. （ 1）当 m=3时， =b24ac=2243= 80，原方程无实数根；（2）当 m= 3 时，原方程变为x2+2x3=0，（ x1） （x+3） =0， x1=0， x+3=0， x1=1，x2=38. （ 1）3，32（2）113232nnmnmn+=三、一元二次方程的实际应用1.B 2.A 3.B 4.1 5.4 6. 设涨了 x 元，则有 (50+x-40)(500-10
32、x)=8000，整理得 x2-40x+300=0 ，解得 x1=10，x2=30.又因为月成本不超过10000 元，所以 40 （500-10x ）10000，解得 x25，所以舍去 x=10，故销售单价定为50+30=80（元） . 7. 设 AB=xm ，则 BC= （50 2x）m 根据题意可得，x（502x）=300，解得： x1=10，x2=15，当 x=10，BC=50 1010=3025，故 x1=10（不合题意舍去） ，答：可以围成AB的长为 15 米， BC为 20 米的矩形8. （1）学校计划新建长的花圃的面积是6397（平方米），比它多1 平方米的长方形花圃的面积是64
33、平方米，因此可设计以下方案：方案一：长和宽都是8 米; 方案二：长为10 米，宽是 6.4 米; 方案三：长为20 米，宽为 3.2米（说明此题方案很多，但要注意空地的大小实际）（2）假设在计划新建的长方形花圃周长不变的情况下长方形花圃的面积能增长2 平方米，计划新建的长方形花圃的周长为32792米，设面积增加后的长方形花圃的长为x米，则宽是xx162232米，依题意得：6516xx整理得065162xx, 因为04654162因此方程没有实数根. 所以在计划新建的长方形花圃周长不变的情况下长方形花圃的面积不能增长2 平方米 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
