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1、第五章第五章 量子力学的表象变换与量子力学的表象变换与矩阵形式矩阵形式1.量子态的不同表象，量子态的不同表象， 幺正变换幺正变换2.力学量的矩阵表示力学量的矩阵表示3. 力学量的表象变换力学量的表象变换2021/3/2915.1.1 坐标表象坐标表象通过坐标变换通过坐标变换,以引进量子力学中的以引进量子力学中的表象及表象变换表象及表象变换的概念的概念.表象表象: 量子力学中的量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为态和力学量的具体表示方式称为表象表象.x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O平面坐标系平面坐标系x1和和x2的基矢的基矢e1和和e2，长度为，长度为1，彼此正交，即，彼
2、此正交，即（1）平面上的任何一个平面上的任何一个矢量矢量都可用它都可用它们来展开们来展开, （2）A1和和A2表示矢量表示矢量A在两个分量坐标上的投影。在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象， 幺正变换2021/3/292假设另一个假设另一个x1x2直角坐标系，由直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转原来的坐标系顺时针旋转角角,其基矢为其基矢为e1e2, 满足满足（1）在此坐标中，矢量在此坐标中，矢量A表示成表示成（2）（3）对上式分别用对上式分别用e1, e2点乘点乘（4）2021/3/293写成矩阵的形式（5）R（）称为）称为变换矩阵元变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当，是
3、两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（6）x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O2021/3/294变换矩阵变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为与其转置矩阵之间的关系为因为因为R=R，（7）2021/3/2955.1.2 Representation Theory (表象理论表象理论) 一个粒子的态完全可由归一化的波函数一个粒子的态完全可由归一化的波函数(r,t)来描述，来描述， 将将(r,t)称为称为坐标表象坐标表象。下面将讨论用动量为。下面将讨论用动量为变量变量描述波函描述波函数。
4、数。 将将(r,t) 还可表示成还可表示成在整个动量空间积分。在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，为展开系数， p(r )是动量是动量的本征函数。的本征函数。 （11）（12） 2021/3/296显然，显然， c(p,t)描述的粒子态与描述的粒子态与(r,t)描述的粒子态同样完整。描述的粒子态同样完整。 已已知知c(p,t)，就可以求出，就可以求出(r,t)，反之也一样。即，反之也一样。即c(p,t)和和(r,t)描述描述的是粒子态同一个状态。因此，将的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的称为粒子态的动量表象。动量表象。 如果已知如果已知(r,t) 就可以通过上式得到
5、就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立，反过来也成立。（13）（14）2021/3/297那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。2021/3/298如果如果(x,t)描述的状态是动量描述的状态是动量p的自由粒子的状态的自由粒子的状态在动量表象中，具有在动量表象中，具有确定动量确定动量p 的粒子波函数是的粒子波函数是 函数。函数。2021/3/299例题：一维粒子运动的状态是例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化求求1）粒子动量的几率分布；）粒子动量的几率分布； 2）粒子的
6、平均动量）粒子的平均动量2021/3/29102021/3/2911动量的几率分布为动量的几率分布为动量的平均值为动量的平均值为2021/3/2912 考虑任意力学量考虑任意力学量Q本征值为本征值为 1, 2, n,对应的正交本对应的正交本征函数征函数 u1(x), u 2 (x), u n (x) , 则任意波函数则任意波函数 （x）按）按Q的的本征函数本征函数展开为展开为下标下标n表示能级表示能级，上式两边同乘以，上式两边同乘以u*m(x), 并积分并积分粒子态完全由粒子态完全由an完全集确定，即完全集确定，即能量表象能量表象。（16）（17）3. 能量表象能量表象2021/3/2913因
7、为因为所以所以是对应力学量是对应力学量Q取取不同能量本征值的不同能量本征值的几率几率2021/3/2914可表示成一可表示成一列矩阵的形列矩阵的形式式其共轭矩阵其共轭矩阵为一行矩阵为一行矩阵因为波函数是归因为波函数是归一化的，表示成一化的，表示成2021/3/2915例题例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:n=1:因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为2021/3/2916 直角坐标系中，矢量直角坐标系中，矢量A的的方向方向由由i,j,k三个单位矢量三个单位矢量基矢基矢决定，决定
8、，大小大小由由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个在量子力学中，选定一个F表象表象，将，将Q的本征函数的本征函数u1(x), u2(x), un(x),看作一组看作一组基矢基矢，有无限多个。，有无限多个。大小大小由由a1(t), a2(t), an(t),系数决定。系数决定。所以，所以，量子力学中态矢量所决定的空间是量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的无限维的空间函数，空间函数，基矢是正交归一的波函数基矢是正交归一的波函数。数学上称为。数学上称为希尔伯特（希尔伯特（Hilbert）空间）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和
9、角常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象动量表象总结总结2021/3/2917例题例题2 质量为质量为m的粒子在均匀力场的粒子在均匀力场f(x)=-F(F0)中运动，中运动，运动范围限制在运动范围限制在x 0, 试在试在动量表象动量表象中求解束缚态能级中求解束缚态能级和本征函数。和本征函数。解解： 势能为势能为V（x）Fx， 总能量为总能量为在动量表象中，在动量表象中，x的的算符表示为算符表示为2021/3/2918定态的薛定谔方程定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解可由贝塞尔函数解出，基态能级为出，基态能级为2021/3/2919习题习题4.1 求在动量表象中角动量求在动量表象中
10、角动量Lx的矩阵元和的矩阵元和L2x的矩阵元的矩阵元解：解：Lx在动量表象中的矩阵元在动量表象中的矩阵元第第一一项项2021/3/2920第二项也可以导出，则第二项也可以导出，则Lx的矩阵元的矩阵元2021/3/29214. 2算符的矩阵表示算符的矩阵表示设算符设算符F有如下关系有如下关系 ：在在Q表象中，表象中，Q的本征值分别为的本征值分别为Q1，Q2，Q3，Qn, 对应的本征函数分别为对应的本征函数分别为u1(x), u2(x), un(x),.将将 (x,t)和和 (x,t)分别在分别在Q表项中由表项中由Q的本征函数展开的本征函数展开代入上式代入上式，2021/3/2922两边同乘以两边
11、同乘以u*n(x), 并在整个空间积分并在整个空间积分利用本征函数利用本征函数un(x)的正交性的正交性2021/3/2923引进记号引进记号这就是这就是在在Q表项中的表述方式。表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：表示成矩阵的形式：2021/3/2924（23）矩阵矩阵Fnm的共轭矩阵表示为的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，因为量子力学中的算符都是厄米算符，即即将满足该式的矩阵称为将满足该式的矩阵称为厄米矩阵厄米矩阵2021/3/2925 若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为得到的新矩阵称为F的共轭
12、矩阵的共轭矩阵Fnm的转置矩阵为的转置矩阵为根据厄根据厄米矩阵米矩阵的定义的定义所以所以例如例如例如例如2021/3/2926例题例题 （习题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的）求一维无限深势阱中粒子的坐标和坐标和动量动量在能量表象中的矩阵元在能量表象中的矩阵元能量表象能量表象2021/3/29272021/3/2928Q在自身表象中的矩阵元在自身表象中的矩阵元Qm为为Q在自身空间中的的在自身空间中的的本征值本征值如如X在坐标空间中在坐标空间中可表示为可表示为动量动量p在动量在动量空间中表示为空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵2021/
13、3/2929一维无限深势一维无限深势阱能量表象中阱能量表象中能量的矩阵元能量的矩阵元一维谐振子能一维谐振子能量表象中能量量表象中能量的矩阵元的矩阵元2021/3/2930 两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和为两矩阵之和 Cmn=AmnBmn （42）两矩阵之积两矩阵之积矩阵矩阵Fpp是动量空间。矩阵是动量空间。矩阵F（Fmnmn）称为）称为对角矩阵对角矩阵（diagonal matrix ）,当当Fmn=1, 称为单位矩阵（称为单位矩阵（unit matrix）,表示为表示为I(mn).在动量空间中，在动量空间中，算符算符F的矩阵元的矩阵元2
14、021/3/29314.3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述1. 平均值公式平均值公式2021/3/2932写成矩阵形式写成矩阵形式（51）简写为简写为2021/3/2933例题例题 求一维无限深势阱中，当求一维无限深势阱中，当n=1和和n=2 时粒子时粒子坐标坐标的平均值的平均值解：解：2021/3/29342. The Eigenvalue Problem 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符首先，算符F的本征函数满足的本征函数满足（54）（55）2021/3/2935有有非零解的条件是其系数行列式为
15、零非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数方程组这是一个线性齐次代数方程组这是一个这是一个久期（久期（secular）方程）方程。将有。将有 1， 2 . n n个解个解,就是就是F的本征值。的本征值。2021/3/2936例题：例题： 求算符求算符x在下面波函数中的本征值在下面波函数中的本征值, -a,a区间区间解：解：则2021/3/2937该行列式有解的条件是其系数行列式为零该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为两个本征值分别为2021/3/29383.矩阵形式的薛定谔方程矩阵形式的薛定谔方程The Schrdinger Equation in Matri
16、x Form薛定谔方程薛定谔方程（77）不显含时间的波不显含时间的波函数的函数的能量表象能量表象（78）波函数根据哈密顿本征函数展开波函数根据哈密顿本征函数展开（79）代入薛定谔方程代入薛定谔方程（80）2021/3/2939两边同乘以两边同乘以并积分并积分（81）（82）简写为简写为H， 均为矩阵元。均为矩阵元。2021/3/2940例题例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子线性谐振子的总能量为的总能量为解法一：在动量表象中，解法一：在动量表象中，x的算符表示为：的算符表示为：则则H算符算符表示为表示为定态的薛定定态的薛定谔方程写为谔方
17、程写为2021/3/2941c（p）是动量表象中的本征函数）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。解法二解法二2021/3/2942当n0时，2021/3/2943讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符设算符A的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数1(r ) ， 2(r )， n(r );设算符设算符B的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数 1(r ) ， 2(r )， n(r );（64）（66）1. Unitary Transformation（幺正变换）（幺正变换
18、）（65）算符算符F在在A表象中表象中（67）算符算符F在在B表象中表象中2021/3/2944确定确定Fmn与与F之间联系的转换矩阵之间联系的转换矩阵。将算符将算符B的本征函数的本征函数 (x)用算符用算符A的本征函数的本征函数 n(x)展开。展开。两边同乘以两边同乘以 并积分得并积分得（69）（68）同理同理2021/3/2945（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质应用厄密共轭矩阵性质2021/3/2946得到算符在两个表象中的变换矩阵得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为简写为这就是力学量这就是力学量F从从A表象变换到表象变换到B表象的变换公式。表象的变换公式。（72）2021/3/294
19、7因为因为和和都是正交归一都是正交归一的波函数，的波函数，（68）2021/3/2948S与与S+的积等于单位矩阵。即的积等于单位矩阵。即SS+I, S+S-1（74） 将满足上式的矩阵称为将满足上式的矩阵称为幺正矩阵幺正矩阵, 由幺正矩阵表示的变换称幺正矩阵表示的变换称为为幺正变换幺正变换.物理意义物理意义: 在不同的表象中在不同的表象中几率是守恒的几率是守恒的。如果一个粒子在态。如果一个粒子在态n中的几率为中的几率为1， 在态在态n中的几率为中的几率为 Sn 2,那么那么, S1 2, S2 2, Sn 2,给出粒子在态给出粒子在态n中出现的几率分布。下面的式子必定成立。中出现的几率分布。
20、下面的式子必定成立。（75）2021/3/2949例题：例题： 求转动矩阵求转动矩阵R( ）的特征值、特征矢量和幺正变换矩）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵阵.解：设在解：设在A表象中表象中B表象中特征矢为表象中特征矢为本征值为本征值为 代入原方程，求代入原方程，求解解b1、b2 2021/3/2950当变换矩阵变换矩阵2021/3/2951下面讨论态矢量下面讨论态矢量 u(x,t)从从A表象变换到表象变换到B表象的公式表象的公式b=S+a2021/3/2952总结：幺正变换的性质总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值设算符设算符F在在A表项中的本征值方
21、程为表项中的本征值方程为a为态矢为态矢将将F和和a从从A表象变换到表象变换到B表象表象在B表象象中因为b=S+a S1a2021/3/29532）幺正变换下，）幺正变换下， 矩阵的矩阵的迹迹（trace) 不变。用不变。用TrF表示，定义表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么为矩阵的对角单元之和。那么TrFA=TrFB, 矩阵的积不依赖于特别的表象矩阵的积不依赖于特别的表象。2021/3/29545.4 狄喇克符号狄喇克符号 在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。同样
22、，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。表象的选取是为了处理问题方便。 在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。标系。 同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。这样一套符号称为这样一套符号称为狄喇克符号狄喇克符号。2021/3/29551.右矢右矢 (ket) 和左矢（和左矢（bra） 左矢左矢 表示右矢的表示右矢的共轭共轭，例如，例如 ，表示为表示为的的共轭态矢。共轭态矢。 的共轭态
23、矢。的共轭态矢。 量子体系的一切可能的态构成一个量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间，空间， Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。 2.标积标积在在Hilbert空间中。一个标积空间中。一个标积(scalar product)定义为一对函数定义为一对函数和和的乘积。的乘积。标积记为标积记为 一个量子态用右矢一个量子态用右矢 来表示。例如用来表示。例如用 表示波函数表示波函数描述描述的状态。的状态。2021/3/2956标积运算规则：标积运算规则：若若 0，则称，则称正交。正交。若若 1，则称，则称
24、为归一化态矢。为归一化态矢。表示态矢是正交归一的完备系表示态矢是正交归一的完备系2021/3/2957例题例题：轨道角动量：轨道角动量l=r p，证明在，证明在lz的任何一个本征的任何一个本征态下，态下，lx和和ly的平均值为零的平均值为零证明证明：设：设 m为为lz=的本征态，属于本征值状态为的本征态，属于本征值状态为m因为对易关系因为对易关系2021/3/2958类似地，利用对易类似地，利用对易关系关系可以证明可以证明2021/3/2959|A在在Q表象中的分量为表象中的分量为a1(t), a2(t),., 和和| B在同一个表象在同一个表象Q中的标记中的标记2021/3/29643. 算
25、符在具体表象中的狄喇克表示方法算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符设算符F存在如下关系存在如下关系将态矢将态矢A、B分别在分别在Q表象中展开表象中展开用用|m左乘上式，再利用正交性左乘上式，再利用正交性2021/3/2965则则称为算符称为算符F在在Q表象中的矩表象中的矩阵元阵元2021/3/2966例题例题 薛定谔方程薛定谔方程表示为表示为两边左乘以两边左乘以，计算，计算x, p，x2，p2的平的平均值及均值及 x、 p。解：因为解：因为利用正交性，同样得到利用正交性，同样得到2021/3/2981利用正交性，得到利用正交性，得到2021/3/2982对于基态，对于基态，n=0，刚好是测不
26、准关系的下限，刚好是测不准关系的下限2021/3/29834. Interpretation of and +我们知道谐振子的能量是等间隔的我们知道谐振子的能量是等间隔的, n所具有的能量大于所具有的能量大于n, 将该能量分成将该能量分成n份，一份称为份，一份称为声子声子(phonons), 那么将那么将n称为称为n声声子态子态(n-phonon state), 中表示声子数中表示声子数,零声子态零声子态(zero-phonon state)，称为，称为真空真空.（66）解释解释: 如果如果 作用于波函数作用于波函数, 则湮灭则湮灭(annihilate)了一个声子了一个声子, 因而因而称为称
27、为湮灭算符湮灭算符; +作用于函数作用于函数, 则产生一个声子则产生一个声子, +产生算符产生算符. 2021/3/2984由于由于称为声子数算符称为声子数算符(phonon number operator), （67）谐振子波场中的量子正是声子谐振子波场中的量子正是声子. 如果与光子相类比的话如果与光子相类比的话, 就更清就更清楚了楚了. |3 Annihilation of a phonon +2 |1 Creation of two ohonons谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图En/7/25/23/21/2x2021/3/2985计算计算a,a+
28、, a,a+a, a+,a+a2021/3/29865.6力学量随时间的演化力学量随时间的演化厄米算符 L其平均值为（1） 因为因为波函数和算符都是时间相关波函数和算符都是时间相关的，的， 则平均值则平均值也是时间相关的。也是时间相关的。（2）第一项表示算符第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，的瞬时偏导数的平均值， 第二项积分则利用第二项积分则利用（3）应用算符应用算符H的厄密性得到的厄密性得到H =E 2021/3/2987（4）简化为简化为（5）结论：结论： 平均值随时间的变化就等于平均值随时间的变化就等于 的平均值的平均值。若若 L 不显含时间，即不显含时间，即（6）如果如果则则202
29、1/3/29886.2 Ehrenfests Theorem考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立对其它分量， 有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为2021/3/2989位置和动量之间的关系与经典力学中位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。的坐标与动量之间的关系一致。2021/3/2990形式与经典的牛顿方程相似。形式与经典的牛顿方程相似。对三维的位置和动量，有对三维的位置和动量，有这就是这就是Ehrenfests theorem 2021/3/29916.3 Laws of
30、Conservation则该算符对时间的导数为零，其运动可视为常数, 即匀速运动。如果一个算符本身不显含时间， 即它又与H对易， 算符H是总能量算符，显然H与它本身对易。即使它显含时间, 其运动仍为常量，这就是能量守恒定律能量守恒定律。匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。1. 守恒量2021/3/2992动量算符P不显含时间，如果Vx=0, 则称为动量守恒定律.对中心力, 势能只是半径r的函数, 角动量算符与势能V(r )对易。整个哈密顿量为因此 有角动量守恒定律成立。还可得出2021/3/2993 2. The Virial Theorem 位力位力定律是从动能算符和势能的平均
31、值得到的公式既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，的瞬时平均值在周期运动中为零在周期运动中为零。时间导数 在量子力学中， 我们考虑的表观值。最后一个等式证明如下2021/3/2994得到位力定律。我们注意到，从 得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到对所有的n都成立,当然的表观值存在.2021/3/2995The Schrdinger Representation 前面我们应用了与时间相关的态函数(r,t)描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间 的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符则不
32、随时间变化， 因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。 波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。2021/3/2996 为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符L的矩阵元 在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵幺正矩阵实现。The Heisenberg Representation The Heisenberg Representation( Heisenberg Picture )是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化 即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。2021/3/2997对波函数，我们写出它的能量表象定态的时间相关性与指数因子有关，将（93）代入到（92）（92）（93）（94）（95） 在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（92）和（95）只是时间相关性不同，（92）中式波函数与时间相关，而（95）是算符与时间相关。2021/3/2998
