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1、高二数学高二数学 选修选修2-1 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.5 定积分的概念1 1课堂节课课堂节课求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取取近近似似求求和和:任任取取x xi xi- -1, xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x
2、 yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x2 2课堂节课课堂节课一、定积分的定义一、定积分的定义 如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.3 3课堂节课课堂节课定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积
3、函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。4 4课堂节课课堂节课 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为定积分的定义：5 5课堂节课课堂节课1x yOf(x)=x2O Ov t t126 6课堂节课课堂节课1.与的差别3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有4规定： 是的
4、全体原函数 是函数是一个和式的极限 是一个确定的常数注：2 .当的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)a,b7 7课堂节课课堂节课(2)定积分的几何意义：Ox yab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。8 8课堂节课课堂节课 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：-S9 9课堂节课课堂节课a b yf (x)O x y探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分
5、表示图中如何用定积分表示图中阴影部分的面积阴影部分的面积?ab yf (x)Ox y1010课堂节课课堂节课三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 1111课堂节课课堂节课三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. Ox yab yf (x)1212课堂节课课堂节课 性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y1313课堂节课课堂节课 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 1414课堂节课课堂
6、节课例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-11515课堂节课课堂节课解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-11616课堂节课课堂节课解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-11717课堂节课课堂节课解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-11818课堂节课课堂节课例3：解：xyf(x)=sinx1-11919课堂节课课堂节课 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x21 20xy=f(x)y=g(x)aby2020课堂节课课堂节课例例4x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的2121课堂节课课堂节课
