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1、专题七不等式、推理与证明、算法与复数时间: 120分钟满分: 150分一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1(文) 若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( ) A1 B2 C1 或 2 D1 答案 B 解析 (a23a2)(a1)i 是纯虚数,a23a20a1,a2. 故选 B. ( 理)(2011 福建理, 1)i 是虚数单位,若集合S1,0,1 ,则( ) Ai S Bi2S Ci3S D.2iS 答案 B 解析 i21S,故选 B. 2(文)(2011 福建文, 6) 若关于 x 的方
2、程 x2mx 10 有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( ) A(1,1) B( 2,2) C(, 2)(2,)D( , 1)(1,) 答案 C 解析 “方程 x2mx 10 有两个不相等实数根” ? m2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页40,解得 m2或 m 2. ( 理)(2011 陕西文, 3)设 0ab,则下列不等式中正确的是( ) Aab abab2Baabab2b Ca abbab2D.abaab2b,则 ac2bc2B若 a,bR,且 ab0,则abba2C若 a,bR,且 a|b| ,则
3、 anbn(nN*) D若 ab,cd,则adbc 答案 C 解析 当 c0 时,A不成立;当 abbc不成立, D不成立,故选 C. 4(2011湖北理, 8)已知向量 a(x z,3) ,b(2 ,yz) ,且 ab,若 x,y 满足不等式 |x| |y| 1,则 z 的取值范围为 ( ) A2,2 B 2,3 C3,2 D 3,3 答案 D 解析 ab,ab0,即(x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页z,3) (2,yz) 0,z2x3y 不等式 |x| |y| 1 表示如图所示平面区域作直线 l0:2x3
4、y0,平移 l0过点 A(0,1) 时 z 取最大值 3. 平移 l0过点 C(0,1)时,z 取最小值 3,z 3,3 5(2011西安模拟 )观察下列数表规律:012345678910111213141516 则从数 2011 到 2012 的箭头方向是 ( ) A2011 B2011 C2011 D2011 答案 D 解析 由图可以看出,每隔4 个数,箭头方向相同,可认为T4,又 20115024 3,所以 2011 处的箭头方向同数字3 处的箭头方向,故选 D. 6(2011重庆理,7) 已知 a0,b0,ab2,则 y1a4b的最小值是 ( ) A.72B4 C.92D5 答案 C
5、解析 ab2,a2b21,y1a4b1a4ba2b2522abb2a,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页a0,b0,2abb2a22abb2a2,当且仅当2abb2a,且 ab2,即 a23,b43时取得等号,y 的最小值是92,选 C. 7(文)(2011 北京文, 6)执行如图所示的程序框图,若输入A的值为 2,则输出的 P值为( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 P1,S1P2,S11232P3,S3213116P4,S1161425122,所以输出 P4. ( 理)(2011 北京理, 4)执行如
6、图所示的程序框图,输出的s 值为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页A3 B12C.13D2 答案 D 解析 由框图知得: i :01234,则 s:2131232. 选 D. 8(2011新课标理, 1)复数2i12i的共轭复数是 ( ) A35i B.35i Ci Di 答案 C 解析 依题意:2i12i2i 11ii ,其共轭复数为 i ,选 C. 9(文)(2011 天津文, 3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 4,则输出 y 的值为 ( ) 精选学习资料 - - - - -
7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页A0.5 B1 C2 D4 答案 C 解析 第 1 次循环: x4,x| 43| 7 第 2 次循环: x7,x|7 3| 4 第 3 次循环: x4,x|43|1,y212. 输出 y. ( 理)(2011 天津理, 3)阅读下边的程序框图, 运行相应的程序,则输出 i 的值为 ( ) A3 B4 C5 D6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页 答案 B 解析 第一次运行结束: i 1,a2 第二次运行结束: i 2,a5 第三次运行
8、结束: i 3,a16 第四次运行结束: i 4,a65,故输出 i 4,选 B. 10(2011福建理, 8)已知 O是坐标原点,点 A(1,1) ,若点M(x,y) 为平面区域xy2,x1,y2上的一个动点,则 OAOM的取值范围是 ( ) A1,0 B0,1 C0,2 D 1,2 答案 C 解析 OAOM(1,1) (x ,y) yx,画出线性约束条件xy2x1y2表示的平面区域如图所示可以看出当 zyx 过点 D(1,1) 时有最小值 0,过点 C(0,2) 时有最大值 2,则OAOM的取值范围是 0,2 ,故选 C. 11(2011四川理,9) 某运输公司有 12 名驾驶员和 19
9、名工人,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车,某天需送往 A地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2 名工人,运送一次可得利润450 元;派用的每辆乙型卡车需配1 名工人;运送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z( ) A4650元B4700 元C4900元D5000 元 答案 C 解析 设派用甲车数 x 辆,乙车数 y 辆,由题意:约束条件:xy122xy1910x
10、6y72x8y7,目标函数: z450x350y 经平移 9x7y0 得过 A(7,5) 利润最大z45073505 4900元,故选 C. 12(文)(2011 陕西二检 ) 设 O(0,0) ,A(1,0) ,B(0,1) ,点 P是线段 AB上的一个动点, APAB,若OPABPAPB,则实数 的取值范围是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页A.121 B1221C.12122D122122 答案 B 解析 设 P(x,y) ,则由APAB得,(x 1,y) (1,1) ,x1y,解得x1y. 若OP
11、ABPAPB,则(x ,y) (1,1) (1x,y) (x,1 y) ,x2y22y0, (1)2220,122122. 又点 P是线段 AB上的一个动点, 01,1221. 故选 B. ( 理)(2011 山西二模 ) 已知函数 f(x) x3px2qxr,且 p23q0,若对 xR都有 f(m2sinx) f(m2cosx) 成立,则实数 m的取值范围为 ( ) A0,1 B2 ,5 C1 ,2 D0 ,2 答案 A 解析 由题知, f (x) 3x22pxq,其判别式 4p212q4(p23q)0,f (x)0 ,f(x) 在 R上单调递减又 f(m2sinx) f(m2cosx) ,
12、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页m2sinx m 2cosx,即 m2m 2sinx cosx. 记 t sinx cosx,则问题等价于m2m 2tmin. 又 t sinx cosx2sin(x 4),xR,tmin2,所以 m2m 22,解得 0m 1,实数 m的取值范围是 0,1 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填写在题中横线上 ) 13(2011山东潍坊三模 ) 在各项为正数的数列 an 中,数列的前 n 项和 Sn满足 Sn12(an1an),则 a3_,猜想数列
13、 an 的通项公式为 _ 答案 32 nn1 解析 (1) 由 Sn12(an1an)可计算出 a11, a221, a332. (2) 由 a1,a2,a3可归纳猜想出 annn1. 14( 文)(2011 浙江理, 12)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是_ 答案 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页 解析 第一次执行循环体时, k3,a4464,b3481,由于 ab,退出循环结构,输出k5,应填: 5. ( 理)(2011 山东理, 13)执行下图所示的程序框图,输入l 2,m 3,n
14、5,则输出的 y 的值是 _ 答案 68 解析 依题意, l 2,m 3,n5,则 l2m2n20,y702213155 278,又 278105 y278105173. 又 173105,y173105680,a10,得1a222. 有一解,令 g(t) t2at a1, ,则 g(0)50000的最小正整数 n 的算法并画出相应的程序框图 解析 算法如下:S1 S1,i 3. S2 如果 S50000,则执行 S3,否则执行 S5. S3 SSi.S4 i i 2,返回执行 S2. S5 i i 2. S6 输出 i. 程序框图如图所示:精选学习资料 - - - - - - - - - 名
15、师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页21(本小题满分 12 分)观察下表:1,2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15,问:(1) 此表第 n 行的最后一个数是多少?(2) 此表第 n 行的各个数之和是多少?(3)2012 是第几行的第几个数?(4) 是否存在 nN*,使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为227213120?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由 解析 (1) 第 n1 行的第 1 个数是 2n,第 n 行的最后一个数是2n1. (2)2n1(2n11)(2n12) (2n1) n12nn 12322n 32n
16、2. (3) 2101024,2112048,102420122048,2012在第 11 行,该行第 1 个数是 2101024,由 201210241989,知 2012是第 11 行的第 989个数(4) 设第 n 行的所有数之和为an, 第 n 行起连续 10 行的所有数之和为 Sn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页则 an322n 32n2,an 1322n12n1,an 2322n12n,an9322n 152n7,Sn3(22n322n 1 22n 15)(2n22n12n7)322n 3104
17、12n 2102122n1722n32n 82n2, n5时,S52271282138227213120. 存在 n5 使得第 5 行起的连续 10 行的所有数之和为227213120. 22(本小题满分 14 分)( 文)(2011 四川文, 20)已知an是以 a为首项, q 为公比的等比数列, Sn为它的前 n 项和(1) 当 S1,S3,S4成等差数列时,求q 的值;(2) 当 Sm,Sn,Si成等差数列时,求证:对任意自然数k,am k,an k,ai k也成等差数列 解析 (1) 若公比 q1,则 S1a,S33a,S44a,而 2S36aS1S45a不满足 S1,S3,S4成等差
18、数列, q1若 q1,由前 n 项和公式知, Snqn1q,S1,S3,S4成等差数列2S3S1S4,即q31qaq41q即 2a(1q3)a(1q)a(1q4) a0,2(1q)(q2q1) (1 q) (1 q)(1 q)(1 q2) 又1q02(1qq2) 1(1q2)(1 q) 即 q2q1? q2q10,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页q152(2) 若公比 q1,则 am kankai ka,am k,ank,ai k成等差数列若公比 q1,由 Sm,Sn,Si成等差数列得 SmSi2Sn即qm1q
19、qi1qqn1q2qnqmqi又 2an k2aqnk 1而 am kai kaqm k1aqi k 1aqk1(qmqi)aqk12qn2aqnk1am kai k2ank,am k,ank,ai k也成等差数列( 理)在数列 an中,a11,an1114an,bn22an1,其中 nN*. (1) 求证:数列 bn 是等差数列;(2) 求证:在数列 an 中对于任意的 nN*,都有 an1an;(3) 设 cn(2)bn,试问数列 cn中是否存在三项,它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由 解析 (1) 证明:因为 bn 1bn22an1122an1214an1
20、22an14an2an122an12(nN*)所以数列 bn是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页(2) 证明:要证 an 1an,只要证 an1an0. 因为 a11,所以 b122a112,所以 bn2(n1)22n. 由 bn22an1,得 2an12bn1n(n N*) ,所以 ann12n,所以 an1ann2n12n10,所以在数列 an中对于任意的 nN*,都有 an1an. (3)cn(2)bn2n,设cn中存在三项 cm,cn,cp(mnp ,m ,n,pN*)成等差数列,则22n2m2p,所以 2n12m2p,2nm 112pm,因为 mnp ,m ,n,pN*,所以 nm 1,pm N*,2nm 1为偶数,12pm为奇数,所以 2nm 1与 12p m不可能相等,所以数列 cn中不存在可以构成等差数列的三项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页