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1、第五章疑难解答 1 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1) 试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小 解 设所求的点为C(0 0 z) 则 因为 ,所以ABC的面积为 令 得 所求点为 2 求过点(1, 0, 4) 且平行于平面3x4yz100 相交的直线的方程 又与直线 解 过点(1, 0, 4) 且平行于平面3x4yz100的平面的方程为 3(x1)4(y0)(z4)0 即3x4yz10 将直线化为参数方程 x1t y3t z2t 代入平面方程3x4yz10 得3(1t)4(3t)2t10 解得t16 于是平面3x4yz10与直线的 交点的坐标为(15 19 32) 这也是所求直
2、线与已知直线的交点的坐标 所求直线的方向向量为 s(15 19 32)(1, 0, 4)(16 19 28) 所求直线的方程为 3 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1) 试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小 解 设所求的点为C(0 0 z) 则 因为 所以ABC的面积为 令 得 所求点为 4 求曲线在三个坐标面上的投影 曲线的方程 解 在xOy面上的投影曲线方程为 即 在zOx面上的投影曲线方程为 即 在yOz面上的投影曲线方程为 即 5 设一平面垂直于平面z0 并通过从点(1, 1, 1)的垂线 求此平面方程 到直线 解 直线的方向向量为s(0 1 1)(1 0 0)(0 1
3、 1) 设点(1, 1, 1)到直线的垂线交于点(x0 y0 z0) 因为点(x0 y0 z0)在直线上 yy01y00 所以(x0 y0 z0)(0 y0 y01) 于是 垂线的方向向量为 s1(1 y01 y0) 显然有ss 10 即从而 所求平面的法线向量可取为所求平面的方程为 即x2y10 6 设a(1 3 2) b(2 3 4) c(3 12 6) 证明三向量a、b、c共面 并用a和b表示c 证明 向量a、b、c共面的充要条件是(ab)c0 因为 (ab)c(6)(3)012(3)60 所以向量a、b、c共面 设cab 则有 (2 33 24)(3 12 6) 即有方程组解之得5 1 所以c5ab 7 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1) 试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小 解 设所求的点为C(0 0 z) 则 因为 所以ABC的面积为 令 得 所求点为 8 画出下列各曲面所围立体的图形 (1)抛物柱面2y2x 平面z0及 (2)抛物柱面x21z 平面y0 z0及xy1 (3)圆锥面及旋转抛物面z2x2y2
