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1、稳恒磁场稳恒磁场 习题课习题课一一 两个基本方程：两个基本方程：1. 磁场的高斯定理（磁通连续定理）磁场的高斯定理（磁通连续定理）磁场是磁场是无源场无源场。2. 安培环路定理安培环路定理磁场是磁场是非保守场非保守场。磁场性质：磁场性质：无源有旋。无源有旋。电场性质：电场性质：有源无旋。有源无旋。电流元电流元在空间某场点在空间某场点P产生的磁感应强度产生的磁感应强度dB二二 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律任意载流导线在场点任意载流导线在场点 P 处的磁感强度处的磁感强度几种典型的磁感应强度几种典型的磁感应强度B1. 载流直导线载流直导线（1）有限长载流直导线：）有限长载流直导线：电流流入与位矢之间
2、夹角电流流入与位矢之间夹角电流流出与位矢之间夹角电流流出与位矢之间夹角PCD（a）无限长载流直导线：）无限长载流直导线：（b）半无限长载流直导线）半无限长载流直导线：（c）P点位于直导线延长线上：点位于直导线延长线上：几种特殊情况几种特殊情况B =0 2）环心处）环心处1）若线圈有）若线圈有 匝匝*3）2. 圆电流轴线上的磁场圆电流轴线上的磁场.o（2R）I+R（3）oIIRo（1）x 半圆环中心半圆环中心 圆环中心圆环中心 圆环中心圆环中心oI（5）* Ad（4）*3.长直载流螺线管长直载流螺线管内部：内部：外部：外部：B=0三三 磁力磁力-三种三种1. 洛伦兹力：洛伦兹力：运动的带电粒子在
3、磁场中所受磁力运动的带电粒子在磁场中所受磁力匀速圆周运动匀速圆周运动2. 安培力安培力 （电流元在磁场中所受磁力电流元在磁场中所受磁力）3、线圈受力、线圈受力-磁矩磁矩 磁力矩磁力矩 磁磁力矩的功：力矩的功：1. 磁矩磁矩2. 磁力矩磁力矩3. 磁力矩的功磁力矩的功五五 安培环路定理安培环路定理真空中真空中存在磁介质时：存在磁介质时：一一. .已知电流分布，求磁感应强度已知电流分布，求磁感应强度 二、已知磁感应强度，求磁场对电流和运动电荷的作用二、已知磁感应强度，求磁场对电流和运动电荷的作用 两类基本问题两类基本问题2. 利用利用安培环路定理安培环路定理。1. 利用磁场的叠加原理：利用磁场的叠
4、加原理：毕奥萨伐尔定律；毕奥萨伐尔定律；两种方法：两种方法：三种情况：运动带电粒子，载流导线，载流线圈：三种情况：运动带电粒子，载流导线，载流线圈：电流密度电流密度 1. 利用磁场的叠加原理求磁感应强度：毕奥萨伐尔利用磁场的叠加原理求磁感应强度：毕奥萨伐尔定律定律步骤步骤:1.选取选取Idl，写出，写出dB的大小，方向的大小，方向2.建立坐标系，写出建立坐标系，写出dB的分量式的分量式3. 统一积分变量，确定上下限，统一积分变量，确定上下限， 求积分求出求积分求出Bx， By， Bz，写出合磁感应强度，写出合磁感应强度2. 利用安培环路定理求磁感应强度利用安培环路定理求磁感应强度3. 确定回路
5、包围的电流，求得确定回路包围的电流，求得B的大小的大小步骤步骤:1. 分析磁场分布的对称性；分析磁场分布的对称性；2. 作适当的闭合回路作适当的闭合回路L，确定，确定L绕向绕向(积分路径走向积分路径走向)；条件：条件：只有电流分布（磁场分布）具有只有电流分布（磁场分布）具有对称性对称性时才可利用安培环路定理求磁感应强度。时才可利用安培环路定理求磁感应强度。例例1.一无限长圆柱形导体一无限长圆柱形导体( 磁导率磁导率0 ) , 半径为半径为R, 通通有均匀电流有均匀电流I。今取一矩形平面。今取一矩形平面S(长为长为1 m, 宽为宽为2 R) , 如图中斜线阴影部分所示如图中斜线阴影部分所示, 求
6、通过该矩形平面的磁求通过该矩形平面的磁通量。通量。解：解： 本题的电流分布满足安培环本题的电流分布满足安培环路定理求磁场的条件，由安培环路定理求磁场的条件，由安培环路定理易求得圆柱体内外的磁感路定理易求得圆柱体内外的磁感应强度值为应强度值为在离圆柱体轴线在离圆柱体轴线r处的斜线平面上取宽处的斜线平面上取宽dr的面积条，的面积条，其磁通量为其磁通量为 解解 圆电流的磁场圆电流的磁场 例例2 半径半径 为为 的带电薄圆盘的电荷面密度的带电薄圆盘的电荷面密度为为 , 并以角速度并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转绕通过盘心垂直于盘面的轴转动动 ，求求圆盘圆盘中心中心的磁感强度的磁感强度.例例3 电
7、流均匀地流过宽为电流均匀地流过宽为b的无限长平面导体薄板的无限长平面导体薄板,电流电流为为I,沿板长方向流动沿板长方向流动.求求 (1) 在薄板平面内在薄板平面内,距板的一边距板的一边为为b的的P点处的磁感应强度点处的磁感应强度图图(a); (2) 通过板的中线并通过板的中线并与板面垂直的直线上一点与板面垂直的直线上一点 Q处的磁感应强度处的磁感应强度, Q点到板点到板面的距离为面的距离为x图图(b). 分析分析:宽为宽为b的无限长载流导的无限长载流导体薄板可视体薄板可视为由宽为为由宽为dy的无的无限长载流细条平行排列而成限长载流细条平行排列而成. 每个细条的电流为每个细条的电流为 平板在空间
8、任一点平板在空间任一点P处的磁感应强度处的磁感应强度dB可可利用无限长利用无限长载流直导线的磁感应强度载流直导线的磁感应强度规律求得规律求得. 解解: (1)建立坐标系建立坐标系. （2）取宽为）取宽为dy、载流为、载流为dI的细条在的细条在P点磁感应强度点磁感应强度方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里.由于所有细条在由于所有细条在P点处的磁感应强度点处的磁感应强度方向相同方向相同, 因而整块载流导体薄板因而整块载流导体薄板在在P点的磁感应强度的大小为点的磁感应强度的大小为方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里.(2) 建立坐标系如解图建立坐标系如解图 (b)所示所示,载流载流 的细条的细条,在在Q点处
9、的磁感应强度的大小为点处的磁感应强度的大小为 方向与方向与 r垂直垂直,在在 平面内平面内. 根据对称性可得根据对称性可得, 所以所以, Q点处总磁感应强度沿点处总磁感应强度沿y方向方向,大小为大小为利用如下关系统一变量利用如下关系统一变量:所以所以, 讨论讨论:1.离导体薄板很远处离导体薄板很远处, 在很远处在很远处, 有限宽度的载流导体薄板与有限宽度的载流导体薄板与长直导线长直导线的磁的磁感应强度没有区别感应强度没有区别.2.离载流薄板中心线外侧极近处离载流薄板中心线外侧极近处, 此时此时,宽为宽为b的薄板可视为的薄板可视为无限大无限大的薄板的薄板.i为单位宽度内电流为单位宽度内电流其中其
10、中: *又解：无限大载流薄板的磁感应强度也可利用安培环又解：无限大载流薄板的磁感应强度也可利用安培环路定理求得路定理求得.从上往下看从上往下看,如解图所示如解图所示,无限大载流平板无限大载流平板周围空间的磁感应强度均匀分布周围空间的磁感应强度均匀分布,方向平行于薄板方向平行于薄板,与与电流成右螺旋关系电流成右螺旋关系.过过Q点作安培环路点作安培环路abcda,有有 所以所以, 得得 例例4. 均匀带电细直线均匀带电细直线AB, 电荷线密度为电荷线密度为, 绕垂直于绕垂直于直线通过直线通过O 点的轴以角速度点的轴以角速度 匀速转动匀速转动( 线形状不线形状不变变, O 点在点在A B 延长线上延
11、长线上) , 求求:(1 ) O点的磁感应强度点的磁感应强度B;(2 ) 磁矩磁矩m ;（1）解）解 ：在带电细线离：在带电细线离O点点r处取线元处取线元dr，其带，其带 电量电量，旋转时相当于一圆电流，旋转时相当于一圆电流它在它在O点产生的磁感应强度值为点产生的磁感应强度值为整条带电线产生的磁感应强度为整条带电线产生的磁感应强度为当当时，时，B的方向垂直纸面向内；当的方向垂直纸面向内；当时，时，B的方向垂直纸面向外。的方向垂直纸面向外。B的方向：的方向：（2）解）解 ：上述带电线元旋转产生的磁矩值为上述带电线元旋转产生的磁矩值为整条带电线旋转产生的磁矩值为整条带电线旋转产生的磁矩值为m的方向
12、：的方向：当当时，时， m的方向垂直纸面向内；的方向垂直纸面向内；时，时， m的方向垂直纸面向外。的方向垂直纸面向外。例例5 载有电流载有电流I1 的无限长直导线旁边有一载流正三角的无限长直导线旁边有一载流正三角形线圈形线圈, 其边长为其边长为b, 一边与直导线的距离为一边与直导线的距离为a, 电流电流为为I2 , 二者共面二者共面, 求三角形线圈受到无限长直载流导求三角形线圈受到无限长直载流导线的磁力。线的磁力。图中图中AB段受力段受力 方向如图。方向如图。 AC、BC对称分布，对称分布，y方向所受合力为零。方向所受合力为零。x方向上方向上作用在三角形上的合力值作用在三角形上的合力值方向沿方
13、向沿x方向方向（若（若F为正值，则合力的方向与为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。轴正向一致）。 例例6 半径分别为半径分别为R1和和R2的两个半圆弧与直径的两小段的两个半圆弧与直径的两小段 构成的通电线圈构成的通电线圈abcda (如图所示如图所示)，放在磁感强度，放在磁感强度为为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面则的均匀磁场中，平行线圈所在平面则 线圈的磁矩大小为线圈的磁矩大小为_， 线圈受到的磁力矩大小为线圈受到的磁力矩大小为_ I 例例7 有两个半径分别为有两个半径分别为 和和 的的“无限长无限长”同同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 的
14、的磁介质磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流当两圆筒通有相反方向的电流 时，试时，试 求求（1）磁介质中任意点）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的的磁感应强度的 大小大小;（2）圆柱体外面一点）圆柱体外面一点 Q 的的 磁感强度磁感强度.解解 对称性分析对称性分析I同理可求同理可求II 练习练习1. 在真空中有一无限长载流直导线在真空中有一无限长载流直导线, 试求：通试求：通过其右侧矩形线框的磁通量过其右侧矩形线框的磁通量.daIlldS=l dxdaIlxdx+B 练习练习1. 在真空中有一无限长载流直导线在真空中有一无限长载流直导线,试求：通过其右侧矩形线框的磁通量试求：通过其右侧矩形线框的
15、磁通量.练习练习2电子在磁感强度为电子在磁感强度为B 的均匀磁场中沿半径的均匀磁场中沿半径为为R的圆周运动，求电子运动所形成的等效圆电流的圆周运动，求电子运动所形成的等效圆电流强度强度I 及等效圆电流的磁矩及等效圆电流的磁矩m 已知电子电荷为已知电子电荷为e，电子的质量为电子的质量为me - evR 磁矩磁矩方向方向: 垂直纸面向外垂直纸面向外练习练习3 通有电流通有电流1无限长的载流直导线，与长度为无限长的载流直导线，与长度为b的的通有电流通有电流2 CD导线导线共面且垂直，相对位置如图共面且垂直，相对位置如图所示。求所示。求导线导线CD受的磁力受的磁力I1I2x0xdx解解练习练习4 一根
16、无限长的同轴线一根无限长的同轴线, 由实心的圆导线和套在由实心的圆导线和套在它外面的同轴导体圆筒组成它外面的同轴导体圆筒组成, 中间充满磁导率为中间充满磁导率为r 的各向同性均匀非铁磁绝缘性材料。其中内导线的的各向同性均匀非铁磁绝缘性材料。其中内导线的半径为半径为R1 , 外导线的内、外半径分别为外导线的内、外半径分别为R2 和和R3 。传导电流传导电流I 沿内导线向上流去沿内导线向上流去, 由外导线向下流回由外导线向下流回, 电流在截面上是均匀分布的。求同轴线内外的磁感电流在截面上是均匀分布的。求同轴线内外的磁感应强度大小和应强度大小和B 的分布。的分布。解解 由磁介质中的安培环路定理：由磁介质中的安培环路定理： （金属的相对磁导率近似为（金属的相对磁导率近似为1）答案答案A 练习练习5 边长为边长为l的正方形线圈中通有电流的正方形线圈中通有电流I，此线，此线圈在圈在A点点(见图见图)产生的磁感强度产生的磁感强度B为为 (A) (B) (C) (D) 以上均不对以上均不对
