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1、曲线的参数方程曲线的参数方程？救援点救援点救援点救援点投放点投放点投放点投放点 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处高处高处100m/s100m/s的速的速的速的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空
2、气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？机呢？机呢？机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？投放物资？投放物资？投放物资？如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。 因此因此因此因此, ,不易直接建立不易直接建立不易直接建立不易直接建立x,yx,y所满所满所满所满足的关系式。足的关系式。足的关系式。足的关系式。 x x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资
3、的水平位移量，y y表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度， 由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1 1）沿）沿）沿）沿oxox作初速为作初速为作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动
4、；的匀速直线运动；（2 2）沿）沿）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？什么关系？什么关系？什么关系？ t t时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为x=100tx=100t，离地面高度，离地面高度，离地面高度，离地面高度y y，即：，即：，即：，即：y=500-gty=500-gt2 2/2/2，物资落地时，应有物资落
5、地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得得得x10.10mx10.10m；即即即即500-gt500-gt2 2/2=0/2=0，解得，解得，解得，解得，t10.10st10.10s， 因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投米时投米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。 参数方程的概念：参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一一
6、般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标点的坐标 x，y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数 那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数，联系变数 x, y 的变数的变数 t 叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。 并且对于并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，都在这条曲线上， 参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数x, yx, y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义
7、或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。例例例例1: 1: 已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 （为参数）（为参数）（为参数）（为参数）
8、(1)(1)判断点判断点判断点判断点MM1 1(0(0，1)1)，MM2 2(5(5，4)4)与曲线与曲线与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系；的位置关系；的位置关系；(2)(2)已知点已知点已知点已知点MM3 3（6 6，a a）在曲线）在曲线）在曲线）在曲线C C上，求上，求上，求上，求a a的值。的值。的值。的值。 解：解：解：解：(1)(1)把点把点把点把点MM1 1的坐标的坐标的坐标的坐标(0,1)(0,1)代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所以所以所以所以MM1 1在曲线上在曲线上在曲线上在曲线上把点把点把点把点MM2 2的坐标的坐标
9、的坐标的坐标(5,4)(5,4)代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点MM2 2不在曲线不在曲线不在曲线不在曲线C C上上上上(2)(2)因为点因为点因为点因为点MM3 3(6,a)(6,a)在曲线在曲线在曲线在曲线C C上，所以上，所以上，所以上，所以解得解得解得解得t=2, a=9 t=2, a=9 所以，所以，所以，所以，a=9.a=9.练习练习练习练习 1 1、曲线、曲线、曲线、曲线与与与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )( )B BA(1A(1
10、，4)4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0) B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0)2 2、方程、方程、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是( )( )D DA(2A(2，7)7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1 B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)0)3 3 已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 点点点点M(5,4)M(5,4)该曲线上该曲线上该曲线上该
11、曲线上. .(1)(1)求常数求常数求常数求常数a; a; （2 2）求曲线）求曲线）求曲线）求曲线C C的普通方程的普通方程的普通方程的普通方程 (1)(1)由题意可知由题意可知由题意可知由题意可知: 1+2t=5: 1+2t=5，atat2 2=4=4；a=1a=1，t=2t=2； 代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得: y=(x-1): y=(x-1)2 2/4 /4 （4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程. .参数方程求法参数方程
12、求法参数方程求法参数方程求法: : （1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系, , 设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点P P坐标为坐标为坐标为坐标为; ;（2 2）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数; ; （3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, , 物理意义物理意义物理意义物理意义, , 建立点建立点建立点建立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式; ;圆的参数方程圆的参数方程复习
13、：复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为，表示圆心坐标为 (a,b),半径为半径为r的圆。的圆。2.三角函数的定义？三角函数的定义？3.参数方程的定义？参数方程的定义？一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变都是某个变数数t的函数，即的函数，即探求：圆的参数方程探求：圆的参数方程点点P在在P0OP的终边上的终边上, , 如图如图,设设O的圆心在原点的圆心在原点,半径是半径是r.与与x 轴正半轴的交轴正半轴的交点为点为P0 ,圆上
14、任取一点圆上任取一点P,若若OP0 按逆时针方向旋转到按逆时针方向旋转到OP位置位置所形成的角所形成的角P0 OP =,求求P点的坐标。点的坐标。根据三角函数的定义得根据三角函数的定义得解解: :设设P（x,y）,(1) 我们把方程组我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为叫做圆心为原点、半径为r的的圆的参数方程。圆的参数方程。 其中参数其中参数表示表示OP0到到OP所成旋转角，所成旋转角， 。圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程. . 其中参数其中参数其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是的几何意
15、义是的几何意义是OMOM0 0绕点绕点绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，的位置时，的位置时，OMOM0 0转过的角度转过的角度转过的角度转过的角度 圆心为圆心为圆心为圆心为 ，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范
16、围。另外，要注明参数及参数的取值范围。1.写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为 :_;(2)圆心为圆心为(-2,-3),半径为半径为1: _.x = cosy = sinx =-2+cosy =-3+sin2.若若圆的参数方程为圆的参数方程为 ,则其标准则其标准方程为方程为:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的则它的参数方程为参数方程为_.x =1+2cosy =-3+2sin 例例2 如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上
17、的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(2cos(2cos ,2sin,2sin ). ).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是例例例例3 3 已知已知已知已
18、知x x、y y满足满足满足满足, ,求求求求的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为 例例例例7 7 已知已知已知已知A A（11，0 0）、）、）、）、B B（1 1，0 0）,P,P为圆为圆为圆为圆上的一点上的一点上的一点上的一点, ,求求求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点点点点的坐标的坐标的坐标的坐标. . 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化
19、为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; cos=x-3, sin=y; 于是于是于是于是(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1，轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了 在例在例在例在例1 1中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程直接判断点直接判断点直接判断点直接判断点MM的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便， 一般地一般地一般地一般地, , 可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参
20、数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；方程；方程；方程； 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取的取的取的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，
21、否则，互化就是不等价的. .把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：（1 1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。式消元等）消去参数化为普通方程。如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0x0）。）。注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化
22、中，必须使x x，y y的取值范围的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的保持一致。否则，互化就是不等价的. 例例例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？解解解解: : (1)(1)由由由由得得得得代入代入代入代入得到得到得到得到这是以（这是以（这是以（这是以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以所以所以把把把把得到得到得到得到(1)(2)(
23、3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x(2) y=1- 2x2 2（- 1x1- 1x1）(3) x2- y=2（x2或或x- 2）练习、练习、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。练习练习练习练习 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程(2)(2)B B例例例例2 2 求参数方程求参数方程求参数方程求参数方程表示（表示（表示（表示（ ）（A A）双曲线的一支）双曲
24、线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/21, 1/2）; ;（B B）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/21, 1/2）; ;（C C）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/2);1, 1/2);（D D）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/2).1, 1/2).例例3 3、把下列参数方程化为普通方
25、程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？例、例、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）注意取值范围。）注意取值范围。 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种
26、：法有三种：法有三种：法有三种：1. 1.代入法：代入法：代入法：代入法： 利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t, t,然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数2. 2.三角法：三角法：三角法：三角法： 利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3. 3.整体消元法：整体消元法：整体消元法：整体消元法： 根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征, , 整体上消去整体上消去整体上消去整体上消去 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中：在消参过程中：在消参过程中：在消参过程中注意注意注意注意变量变量变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值范围，确定范围，确定范围，确定范围，确定f(t)f(t)和和和和g(t)g(t)值域得值域得值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。小小小小 结结结结
