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1、第3课时 定积分与微积分 基本定理1定积分的概念定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念定积分的定义和相关概念如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上连续，上连续，用分点用分点ax0x1xi1xixnb将将区间区间a，b等分成等分成n个小区间，在每个小个小区间，在每个小区间区间xi1，xi上任取一点上任取一点i(i1,2，基础知识梳理基础知识梳理，n)，作和式，作和式 ，当当n时，上述和式无限接近时，上述和式无限接近 ，这个这个 叫做函数叫做函数f(x)在区间在区间a，b上的定上的定基础知识梳理基础知识梳理某个常数某个常数常数常数积分，记作积分，记作 ，即，即baf(x)dx 基础知识梳理
2、基础知识梳理a与与ba，b函数函数f(x)x基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理(3)定积分的基本性质定积分的基本性质kf(x)dx f1(x)f2(x)dx .f(x)dx 基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理你能从定积分的几何意义解释性你能从定积分的几何意义解释性质质吗？吗？【思考思考提示提示】如图所示，设在区如图所示，设在区间间a，b上恒有上恒有f(x)0，c是区间是区间(a，b)内的内的一点，那么从几何图形上看，直线一点，那么从几何图形上看，直线xc把把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形
3、的面积此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形是两个小曲边梯形的面积的面积S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定积，用定积分表示就是性质分表示就是性质.基础知识梳理基础知识梳理F(b)F(a)答案答案：A三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化答案答案：B三基能力强化三基能力强化答案答案：D三基能力强化三基能力强化答案答案：1三基能力强化三基能力强化求函数求函数f(x)的定积分，关键是求的定积分，关键是求出函数出函数f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)，即满足，即满足F(x)f(x)正确运用求导运算与求正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系原函数运算互为逆运算的关系课堂互
4、动讲练课堂互动讲练考点一考点一求已知函数的定积分求已知函数的定积分课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1【思路点拨思路点拨】(1)(2)先利用定积先利用定积分的性质将被积函数化简再求分的性质将被积函数化简再求(3)先先化简，再求定积分化简，再求定积分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律总结规律总结】计算简单定积分的步骤计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定
5、积分的和或差；为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到分别用求导公式找到F(x)，使得，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求出各个莱布尼兹公式求出各个定积分的值；定积分的值；(5)计算所求定积分的值计算所求定积分的值课堂互动讲练课堂互动讲练1分段函数的定积分分段函数的定积分(1)分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积上的定积分可分成几段定积分的和的形式分可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细的情况分，无需分得过细课堂互动讲
6、练课堂互动讲练考点二考点二求分段函数的定积分求分段函数的定积分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2【思路点拨思路点拨】(1)f(x)在在0,5上上的定积分，可按照的定积分，可按照f(x)的分段标准，分的分段标准，分成成0,1，(1,4，(4,5三段的定积分的三段的定积分的和；和；课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分上的定积分可分成几段定积分的和的形式的和的形式. 分段的标准只需依据已知分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可函数的分段标准即可课堂互动讲练
7、课堂互动讲练利用定积分求平面图形面积的利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值用微积分基本定理求出积分值课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三定积分的几何意义定积分的几何意义课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3利用定积分的性质和定义表示下利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积列曲线围成的平面区域的面积(2)yx2，xy2.【思路点拨思路点拨】先将区域面积表先将区域面积表示成若干个定积分的和
8、或差，再运用示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿牛顿莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算课堂互动讲练课堂互动讲练(2)曲线所围成的平面区域如图曲线所围成的平面区域如图(2)所示：所示：SA1A2.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练利用定积分解决变速运动问题利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，区间，得到积分表达式， 再利用微再利用微积分基本定理计算即得所求积分基本定理计算即
9、得所求课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4【思路点拨思路点拨】从图上可以看出从图上可以看出物体在物体在0t1时做加速运动，时做加速运动，1t3时时做匀速运动，做匀速运动，3t6时也做加速运动，时也做加速运动，但加速度不同，也就是说但加速度不同，也就是说0t6时，时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积分才能求出曲边梯形的面积课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)物体物体A以初速度为以初速度为2(速速度
10、度v的单位：的单位：m/s)、加速度为、加速度为a(t)6t(t的单的单位：位：s)在一直线上运动在此直线上与物在一直线上运动在此直线上与物体体A出发的同时，物体出发的同时，物体B在物体在物体A的正前方的正前方5 m处以处以v10t1(t的单位：的单位：s，v的单位：的单位：m/s)的速度运动的速度运动(1)求物体求物体A的速度；的速度；(2)两物体何时相遇？相遇地与物体两物体何时相遇？相遇地与物体A的出发地的距离是多少？的出发地的距离是多少？课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅解解：(1)设物体设物体A在时刻在时刻t的速度为的速度为v(t)，依题意有依题意有v(0)2， 2分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结2求定积分的常用技巧求定积分的常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求对被积函数，要先化简，再求积分积分(2)求被积函数为分段函数的定积求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分分，依据定积分“对区间的可加性对区间的可加性”，分段积分再求和分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分数，要先去掉绝对值号才能积分规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
