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1、3.3 3.3 圆周角和圆心角的圆周角和圆心角的关系关系(1)(1)大兴学校 卿丽萍1圆周角和圆心角圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦相等2圆周角和圆心角圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个如果两个圆心角圆心角、 两条两条弧弧、 两条两条弦弦中有中有一组量一组量相等，相等，中有中有一组量一组量相等，那么它们所对应的相等，那么它们所对应的其余各组量其余各组量都分别都分别相等相等3圆周角和圆心角1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶
2、点在圆心的角叫圆心角.4圆周角和圆心角.OBC圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 我们把顶点在圆心的周角等我们把顶点在圆心的周角等分成分成360360份时，每一份的份时，每一份的圆心角圆心角是是11的角。的角。 在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等弧的度数相等。 因为同圆中相等的圆心角所因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等对的弧相等，所以整个圆也被等分成分成360360份。我们把每一份这样份。我们把每一份这样的的弧弧叫做叫做11的弧。的弧。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，5圆周角和圆心角点
3、与圆的位置关系有哪些点与圆的位置关系有哪些? ?BC当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况? ?A.O.O.O.A.A.BCBC圆周角圆周角6圆周角和圆心角.OBCA特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫叫圆周角圆周角.7圆周角和圆心角练习：练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图2、指出
4、图中的圆周角。、指出图中的圆周角。8圆周角和圆心角有没有圆周角？有没有圆周角？有没有圆心角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们有什么共同的特点？它们都对着它们都对着同一条弧所对的同一条弧所对的9圆周角和圆心角 下列图形中，哪些图形中的圆心角下列图形中，哪些图形中的圆心角BOCBOC和和圆周角圆周角AA是同对一条弧。是同对一条弧。 10圆周角和圆心角 自己动手量一量自己动手量一量同一条弧同一条弧所对的圆心角和所对的圆心角和圆周角分别是多少度？圆周角分别是多少度？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 11圆周角和圆心角n 为了解决这个问题为了解
5、决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的圆我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系周角和圆心角之间有的关系. .类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等. .在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？ 想一想想一想OOOABCABCABC12圆周角和圆心角圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如图如图, ,观察观察弧弧ACAC所对的所对的圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC, ,它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系? ?说说你的
6、想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流. 议一议议一议n教师提示教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系注意圆心与圆周角的位置关系.OABCOABCOABC13圆周角和圆心角圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. . 议一议议一议nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC
7、=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC. ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .老师期望老师期望:你可要你可要理解并掌理解并掌握这个模握这个模型型.14圆周角和圆心角圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ? 议一议
8、议一议n老师提示老师提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = ABD = AOD,CBD = COD,COD,15圆周角和圆心角圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(AB
9、C)(ABC)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ? 议一议议一议n老师提示老师提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的圆周角等于它所一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半对的圆心角的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,ABC16圆周角和圆心角圆周角圆周角定理定理综上所述综上所述,
10、,圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC的大小关系是的大小关系是: :圆周角定理圆周角定理: :一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对 的的圆心角圆心角的一半的一半. . 议一议议一议n老师提示老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC. ABC = AOC.17圆周角和圆心角练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO.70x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数AO.X120130AO.X120 C C D B3、 如图，在
11、直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半为半圆上的两点，圆上的两点，COD=500，则，则CAD=_18圆周角和圆心角.做做看，收获知多少？做做看，收获知多少？一、判断一、判断1 1、顶点在圆上的角叫圆周角。、顶点在圆上的角叫圆周角。2 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。二、计算二、计算1 1、半径为、半径为R R的圆中，有一弦分圆周成的圆中，有一弦分圆周成1 1：2 2两两部分，则弦所对的圆周角的度数是部分，则弦所对的圆周角的度数是 。O6060或或1201202 2、如图、如图, ,在在OO中中,BOC=50,BO
12、C=50, 求求AA的大小的大小. .OBAC解解: A= BOC = 2: A= BOC = 255. .19圆周角和圆心角习题习题1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径 AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.证明：证明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角是所对圆周角是ACB, 圆心角是圆心角是AO
13、B. 则则ACB= AOB. BC所对圆周角是所对圆周角是 BAC , 圆心角是圆心角是BOC, 则则 BAC= BOC 21_21_20圆周角和圆心角习题习题1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径 AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.证明：证明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角是所对圆周角是AC
14、B, 圆心角是圆心角是AOB. 则则ACB= AOB. BC所对圆周角是所对圆周角是 BAC , 圆心角是圆心角是BOC, 则则 BAC= BOC 21_21_21圆周角和圆心角思考题思考题：如图，在如图，在 O中中, CE=BD, DE=2BC， EOD=64，求，求 A的度数。的度数。ABCDEO22圆周角和圆心角一一 、这节课主要学习了两个知识点：、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了明渗透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和的思想方法
15、和分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法。三、圆周角及圆周角定理的应用极其广三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用们灵活运用23圆周角和圆心角 2. 2.如图如图(2),(2),在在OO中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 为什么为什么? ? 3. 3.如图如图(3),AB(3),AB是直径是直径, ,你能确定你能确定CC的度数吗的度数吗? ?拓展拓展 化化心心动为动为行行动动1.1.如图如图(1),(1),在在OO中中,BAC=50,BAC=50,求求CC的大小的大小. . 猜一猜猜一猜OCABD(1)OBACDE(2)OABC(3)24圆周角和圆心角 练习：练习： 4、AB、AC为为 O的两条弦，延长的两条弦，延长CA到到D，使，使AD=AB，如果，如果ADB=350，求，求BOC的度数。的度数。 5、如图，在、如图，在 O中，中，BC=2DE， BOC=84，求，求 A的度数的度数。25圆周角和圆心角
